廈門外國語學校2023-2024學年高二上學期10月階段性檢測數(shù)學試卷(含答案)

這是一份廈門外國語學校2023-2024學年高二上學期10月階段性檢測數(shù)學試卷(含答案)，共19頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1、過,兩點的直線的傾斜角是( )
A.B.C.D.
2、如果存在三個不全為零的實數(shù)x,y,z,使得,則關于,,( )
A.兩兩相互垂直B.只有兩個向量互相垂直
C.共面D.有兩個向量互相平行
3、“”是“直線和直線互相垂直”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4、已知,兩點到直線的距離相等,則( )
A.2B.C.2或D.2或
5、已知,,是不共面的三個向量,則能構成空間的一個基底的一組向量是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6、已知直線,若直線l與連接,兩點的線段總有公共點,則直線l的傾斜角范圍為( )
A.B.C.D.
7、如圖,圓柱的軸截面為矩形ABCD,點M,N分別在上,下底面圓上,,,,,則異面直線AM與CN所成角的余弦值為( )
A. B.C.D.
8、斜拉橋是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋,它由梁,斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜拉索大橋,共有10對永久拉索,在索塔兩側對稱排列.如圖2,已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距均為18m.最短拉索的錨,滿足,,以所在直線為x軸,所在直線為y軸,則最長拉索所在直線的斜率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9、已知空間中三點,,,則( )
A.B.
C.D.A,B,C三點共線
10、如圖,在平行六面體中,,,.若,,則( )
A.B.
C.A,P,三點共線D.A,P,M,D四點共面
11、若直線,,不能構成三角形,則m的取值為( )
A.B.C.D.
12、已知正方體的棱長為1,P是空間中任意一點.下列結論正確的是( )
A.若點P在線段上運動,則始終有
B.若點P在線段上運動,則過P,B,三點的正方體截面面積的最小值為
C.若點P在線段上運動,三棱錐體積定值
D.若點P在線段上運動,則的最小值為
三、填空題
13、寫出一個截距相等且不過第三象限的直線方程______.
14、已知直線過點,它的一個方向向量為,則點到直線AB的距離為___________.
15、在四棱錐中,底面ABCD是平行四邊形,點M,N分別為棱CD,PC的中點,平面AMN交PB于點F,則___________.
16、已知P?Q分別在直線與直線上,且,點,,則的最小值為___________.
四、解答題
17、如圖,平行四邊形ABCD(A,B,C,D按逆時針順序排列),AB,AD邊所在直線的方程分別是,,且對角線AC和BD的交點為.
（1）求點A的坐標
（2）求CD邊所在直線方程
18、已知向量,,.
（1）若,求的值;
（2）若,,求的值.
19、在平面直角坐標系xOy中,已知點P,B,C坐標分別為,,,E為線段BC上一點,直線EP與x軸負半軸交于點A.
（1）當E點坐標為時,求過點E且在兩坐標軸上截距絕對值相等的直線方程;
（2）求與面積之和S的最小值.
20、如圖所示,直角梯形和三角形所在平面互相垂直,,,,,異面直線DE與AC所成角為,點F,G分別為CE,BC的中點,點H是線段靠近點G的三等分點.
（1）求證:A,B,F,H四點共面;
（2）求二面角的余弦值.
21、如圖,在直三棱柱中,,,.M是的中點,P是與的交點,Q是上底面的動點.
（1）是否存在點Q,使得平面?若存在,請確定Q點的位置;若不存在,請說明理由;
（2）在（1）的條件下,當PQ最短時,求平面PQM與平面的夾角的余弦值.
22、已知的三個頂點分別為,,.
（1）若過的直線將分割為面積相等的兩部分,求b的值;
（2）一束光線從點出發(fā)射到BC上的D點,經(jīng)BC反射后,再經(jīng)AC反射到x軸上的F點,最后再經(jīng)x軸反射,反射光線所在直線為l,證明直線l經(jīng)過一定點,并求出此定點的坐標.
參考答案
1、答案：D
解析：由已知直線的斜率為,,
所以傾斜角.
故選:D.
2、答案：C
解析：不妨設,因為,
則,故向量,,共面.
故選:C.
3、答案：B
解析：直線和直線的充要條件為即,
可以推出,但推不出,
故“”是“直線和直線互相垂直”的必要而不充分條件,
故選:B.
4、答案：D
解析：（1）若,在的同側,
則,所以,,
（2）若,在的異側,
則,的中點在直線上,
所以解得,
故選:D.
5、答案：C
解析：向量,,是不共面的三個向量,
對于A,,則向量,,共面,A不能構成空間基底;
對于B,,則向量,,共面,B不能構成空間基底;
對于D,,則向量,,共面,D不能構成空間基底;
對于C,假定向量,,共面,則存在不全為0的實數(shù),,使得,
整理得,而向量,,不共面,則有,顯然不成立,
所以向量,,不共面,能構成空間的一個基底,C能構成空間基底.
故選:C
6、答案：D
解析：直線,由,解得,即直線l過定點,
設直線的斜率為k,直線l的傾斜角為,則,
顯然直線PA的斜率為,直線的斜率為,
由于直線l經(jīng)過點,且與線段AB總有公共點,則,即,
又,于是,因此或,
所以直線l的傾斜角的取值范圍是.
故選:D
7、答案：D
解析：連接DM,CM,AN,BN,BM,設,則P是BM的中點,
設Q是AB的中點,連接PQ,則,
則是異面直線AM與CN所成角或其補角.
由于,,
所以,,由于,
而AB是圓柱底面圓的直徑,則,
所以,,則,,
,,而,
在三角形PQN中,由余弦定理得.
故選:D
8、答案：B
解析：如圖,以O為原點建系,
根據(jù)題意,最短拉索的錨,滿足,,
且均為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距均為18m,
則,即點,
同理,
又,即點,
所以,
即最長拉索所在直線的斜率為.
故選:B.
9、答案：AB
解析：易得,,,,A正確;
因為,所以,B正確,D錯誤;
而,C錯誤.
故選:AB.
10、答案：BD
解析：,A選項錯誤.
,B選項正確.
則P是的中點,
,
,
則不存在實數(shù)使,所以C選項錯誤.
,
由于P,直線AD,所以A,P,M,D四點共面,所以D選項正確.
故選:BD
11、答案：ABD
解析：因為直線,,不能構成三角形,
所以存在,,過與的交點三種情況,
當時,有,解得;
當時,有,解得;
當過與的交點,則聯(lián)立,解得,代入,得,解得;
綜上:或或.
故選:ABD.
12、答案：ACD
解析：
對于A:因為為正方體,所以平面,,
因為平面,所以,
因為,AB,平面,所以平面,
因為平面,所以,故A正確;
對于B:過點作,則過P,B,的截面為,
設,,則,四邊形為平行四邊形,,,
,
所以,
,
所以當時截面面積最小,最小為,故B錯;
對于C:因為為正方體,所以,
因為平面,平面,所以平面,
所以點P到平面的距離為定值,三棱錐,即三棱錐的體積為定值,故C正確;
對于D:展開三角形和矩形得到下圖:
連接,此時最小,,解得,故D正確.
故選:ACD.
13、答案：(答案不唯一)
解析：當截距相等且為0時,直線過原點,又直線不過第三象限,
則直線方程為;
當截距相等且不為0時,直線截距式方程為,又直線不過第三象限,有,
則直線方程為.
故答案為:(答案不唯一,或).
14、答案：2
解析：因為,,
點到直線AB方向上的投影為,
所以點到直線AB的距離為,
故答案為:2
15、答案：或1:12
解析：延長BC,交AM的延長線于點E,連接EN并延長,交BP于點F,連接AF,
因為M為CD中點,由三角形相似可得:,
即C為BE中點,
設
因為N是PC中點,
所以
,
因為F,N,E三點共線,所以存在a使得,即,
整理得,其中,
所以,解得:,
所以.
故答案為:
16、答案：或
解析：由直線與間的距離為得,過作直線l垂直于,如圖,
則直線l的方程為:,將沿著直線l往上平移個單位到點,有,
連接交直線于點P,過P作于Q,連接BQ,有,即四邊形為平行四邊形,
則,即有,顯然是直線上的點與點A,距離和的最小值,
因此的最小值,即的最小值,而,
所以最小值為,
故答案為:
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）AB,AD邊所在直線的方程分別是,
聯(lián)立兩直線方程為
解得所以.
（2）解法一:A關于M的對稱點為C,
又
邊所在的直線方程為
即:
解法二:A關于M的對稱點為C,
設CD邊所在的直線方程為:
得
邊所在的直線方程為
解法三:設為CD邊所在的直線上的任一點,
P關于點M的對稱點為,
則得
又在直線AB上,
即
邊所在的直線方程為
18、答案：（1）7
（2）
解析：（1）由,則存在實數(shù),使,即,
所以,解得,,所以.
則,所以.
（2）由,可得,即,解得,
又由,可得,解得,
當時,,,
所以.
當時,,,
所以
19、答案：（1）或或
（2）
解析：（1）令過點且在兩坐標軸上截距絕對值相等的直線為l,
當直線l過原點時,直線l在x,y軸上的截距都為0,其方程為,
當直線l不過原點時,設直線l的方程為或,于是得或,
解得或,直線l的方程為或,
所以所求方程為:或或.
（2）依題意,直線,因點E在線段BC上,則設點,,設,
,,由得:,顯然,則,有,
,,
,
當且僅當,即時取等號,
所以與面積之和S的最小值.
20、答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）取中點O,連接OC,OE,因為,故為銳角,
又,故即為異面直線DE與AC所成角,則,
則,即,
因為直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直,,
平面平面,平面ABDE,故平面ABC,
又,,即四邊形OBDE為平行四邊形,故,
所以平面ABC,
故以O為坐標原點,,,為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,
則,,,,,,,
由于,可得,
則,,,
則,故A,B,F,H四點共面;
（2）由于平面ABC,平面ABC,且,
,DB,平面BCD,故平面BCD,
所以可作為平面BCD的一個法向量,
設平面HCD的法向量為,
,,
則,即有,
令,則,
故,
根據(jù)原圖可知二面角為銳角,
故二面角余弦值為.
21、答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）因為,,故為正三角形,又是的中點,
故,則以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系.
則,,,,,故.
設,平面的法向量,
則,,,
則,即,設,則.
若平面,則,即,故,即.
故Q在中底邊的中線上.
.
（2）由（1）,故,
故當時取最小值.
此時,,故,.
設平面PQM的法向量,則,即,
設,則,又平面的法向量,
故平面PQM與平面的夾角的余弦值.
22、答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）直線BC的方程為:,
直線只能與BC,AB相交,其與BC的交點為Q點,
由得,,
直線與x軸交點為,,
由,即,
化簡得:,又,
,解得:,
而,.
（2）設,直線AC的方程為:,直線BC的方程為:,
設關于直線AC的對稱點為,
則,解得,
同理可得關于直線BC的對稱點為,
則在直線ED上,所以直線ED的斜率為,
的斜率為,l方程為,即,
過定點.