（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）．
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線：與直線：互相垂直，則（ ）
A．0B．1C．2D．-1
2．雙曲線（，）的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
3．若圓E：與圓F：僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．3B．C．D．1
4．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．2B．C．-1D．2023
5．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和拋物線C分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．2B．C．D．4
7．已知橢圓M：，點(diǎn)在其上，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABC的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是雙曲線C：（，）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)傾斜角為150°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)A，B，若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓
B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線
C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則
D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則
10．已知直線l：，圓M：的圓心坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線l恒過(guò)點(diǎn)
B．，
C．直線l被圓M截得的最短弦長(zhǎng)為
D．當(dāng)時(shí)，圓M上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱
11．已知斜率為2的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值
B．線段AB的中點(diǎn)在一條定直線上
C．為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為直線OA、OB的斜率）
D．為定值（F為拋物線的焦點(diǎn)）
12．已知橢圓C：，，是其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．滿足是直角三角形的點(diǎn)P有四個(gè)
B．直線l為橢圓C在P點(diǎn)處的切線，過(guò)作于H，則可能為4
C．過(guò)點(diǎn)作圓M：的一條切線，交橢圓C于另一點(diǎn)Q，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）則
D．過(guò)點(diǎn)作圓M：的兩條切線，分別交橢圓C于E，H兩點(diǎn)，則直線EH過(guò)定點(diǎn)
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知拋物線C：，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
14．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且，則________．
15．雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為_(kāi)_______．
16．若，則的最小值是________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知是等差數(shù)列，若，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明是等差數(shù)列．
18．（12分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知雙曲線C：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)P在雙曲線C上，且，求的面積．
19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．①點(diǎn)P到的距離比P到y(tǒng)軸的距離大；②過(guò)點(diǎn)的動(dòng)圓恒與y軸相切，F(xiàn)P為該圓的直徑．在①和②中選擇一個(gè)作為條件．
（1）選擇條件：________，求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值．
20．（12分）已知橢圓C：點(diǎn)，分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的最小值為1，．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)N．求的取值范圍．
21．（12分）已知圓C與直線相切于點(diǎn)，且圓心C在x軸的正半軸上．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交圓C于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)均不在x軸上，點(diǎn)，直線BN和直線OM交于點(diǎn)G．證明：點(diǎn)G在一條定直線上，并求此直線的方程．
22．（12分）設(shè)是雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)，離心率，過(guò)F的直線l交雙曲線C的右支于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于A，過(guò)點(diǎn)Q作軸于B，直線AQ交直線于M，記△MAB的面積為，△MPQ的面積為．求的值．
高2025屆2023—2024學(xué)年（上）12月名校聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題參考答案
1—5 CBBAB6—8 DBD
9．BC10．ACD11．BC12．BCD
13．14．15．16．
17．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，
所以，
（2）因?yàn)?br>所以是公差為-8的等差數(shù)列
18．解：（1）根據(jù)題意，顯然，且雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得雙曲線C方程為：，設(shè)其左右焦點(diǎn)分別為，，故可得，；不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上，
由雙曲線定義可得：，
又三角形為直角三角形，則，
即
故的面積．
19．解：（1）選①：即點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到的距離，由拋物線定義可得．
選②：過(guò)P作y軸的垂線，垂足為H，交直線于點(diǎn)，
設(shè)動(dòng)圓的圓心為E，半徑為r，則E到y(tǒng)軸的距離為r，
在梯形OFPH中，由中位線性質(zhì)可得，
所以，又，所以，
由拋物線的定義知，點(diǎn)P是以為焦點(diǎn)的拋物線，
所以曲線C的方程為：．
（2）設(shè)，，將代入，
消去y整理得．
當(dāng)時(shí)，
，．
，
化簡(jiǎn)得：，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故．
20．解：（1）由題即的最小值為1，故，又，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）①設(shè)直線l的方程為：，，
聯(lián)立得，
由得，，
∴，，
直線MN的方程：
令，，∴
令∴，在單調(diào)遞增
∴，∴
②若直線l傾斜角為0時(shí)，則直線l方程為，此時(shí)M，N重合，
綜上：
21．解：（1）設(shè)圓心，點(diǎn)C在與切線垂直且過(guò)切點(diǎn)的直線：上
∴，半徑
∴圓C的方程為：
（2）設(shè)，直線MN方程為：
聯(lián)立得，
，，
直線OM方程為：，直線BN方程為：
聯(lián)立
可得
∴點(diǎn)G在直線上
22．解：（1）由題，得，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)，，易知PQ斜率不為0，故設(shè)直線PQ的方程為
聯(lián)立得，
，，，
由PQ直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)得
直線AQ的方程為所以
法一：
下證明P，B，M三點(diǎn)共線
，
即證，也即證
由韋達(dá)定理顯然成立。
∴
∴
∴
法二：
又，
∴①
又，
∴②
由①、②結(jié)合韋達(dá)定理得

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