六年級奧數(shù)——同余法解題(學(xué)生版）

這是一份六年級奧數(shù)——同余法解題(學(xué)生版），共14頁。試卷主要包含了帶余除法的定義及性質(zhì)，三大余數(shù)定理，中國剩余定理等內(nèi)容，歡迎下載使用。
余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。
知識梳理

一、帶余除法的定義及性質(zhì)
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：
(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商
(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商
二、三大余數(shù)定理：
1.余數(shù)的加法定理
a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。
當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。
2.余數(shù)的乘法定理
a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。
3.同余定理
若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b ( md m )，左邊的式子叫做同余式。
同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：
若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除
用式子表示為：如果有a≡b ( md m )，那么一定有a－b＝mk,k是整數(shù)，即m|(a－b)
三、中國剩余定理
1.中國古代趣題
韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。
我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。
2.核心思想和方法
對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:
今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？
題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。
先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1
類似的，我們再構(gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。
最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：
，其中k是從1開始的自然數(shù)。
也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。
例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，
那么我們可以計(jì)算得到所求
如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,
我們只要對最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
典例分析

一、帶余除法的定義和性質(zhì)
例1、兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．
例2、用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？
例3、一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù)．
二、三大余數(shù)定理的應(yīng)用
例1、一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和．那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？
例2、被除所得的余數(shù)是多少？
例3、除以41的余數(shù)是多少？
例4、求所有的質(zhì)數(shù)P，使得與也是質(zhì)數(shù)．
例5、甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393．某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求等于多少？
余數(shù)綜合應(yīng)用
例1、設(shè)是質(zhì)數(shù)，證明：，，…，被除所得的余數(shù)各不相同．
例2、從1，2，3，……，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？
例3、已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？
例4、有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8，求兩個(gè)三位數(shù)的和。
例5、設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？
中國剩余定理
例1、一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)．
例2、一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？
例3、一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，問滿足條件的最小自然數(shù)為多少？
例4、在200至300之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中，最小的能被3整除，中間的能被7整除，最大的能被13整除，那么這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是多少？
．
例5、一個(gè)數(shù)除以3、5、7、11的余數(shù)分別是2、3、4、5，求符合條件的最小的數(shù)．
實(shí)戰(zhàn)演練

課堂狙擊
1、有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個(gè)數(shù).
2、求的最后兩位數(shù)．
3、試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數(shù)n的和．
4、將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位1234567891011121320072008，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù)．
5、的末三位數(shù)是多少？
6、有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？
課后反擊
1、一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。
2、求除以7的余數(shù)．
3、若為自然數(shù)，證明．
4、將自然數(shù)1，2，3，4……依次寫下去，若最終寫到2000，成為，那么這個(gè)自然數(shù)除以99余幾？
5、一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1，除以5余2，除以11余7，問滿足條件的最小自然數(shù)是多少？
6、對任意的自然數(shù)n，證明能被1897整除．
直擊賽場

1、(南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營試題) 與的和除以7的余數(shù)是________．
2、(全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個(gè)數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另—個(gè)人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．(第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競賽初賽)
3、(奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？
4、(“華杯賽”試題)3個(gè)三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的是多少？
5、(華杯賽試題)如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(不到100個(gè))，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔．他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎?
重點(diǎn)回顧

一、帶余除法的定義及性質(zhì)
二、三大余數(shù)定理：
1.余數(shù)的加法定理
2.余數(shù)的乘法定理
3.同余定理
四、中國剩余定理
1.中國古代趣題
2.核心思想和方法
名師點(diǎn)撥

棄九法原理
在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們在計(jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：
例如：檢驗(yàn)算式
1234除以9的余數(shù)為1
1898除以9的余數(shù)為8
18922除以9的余數(shù)為4
678967除以9的余數(shù)為7
178902除以9的余數(shù)為0
這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2
而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。
上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。
而我們在求一個(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。
所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。
以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。
利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用
注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。
例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的
但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。
學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)課我學(xué)到
我需要努力的地方是