2023年重慶長壽中考數(shù)學(xué)真題及答案(A卷)

這是一份2023年重慶長壽中考數(shù)學(xué)真題及答案(A卷)，共29頁。試卷主要包含了 如圖，，若，則的度數(shù)為， 估計(jì)的值應(yīng)在等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1. 試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答
2. 作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；
3. 作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；
4. 考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回參考公式：拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 8的相反數(shù)是（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．
【詳解】解：8的相反數(shù)是，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 四個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【詳解】從正面看第一層是個(gè)小正方形，第二層右邊個(gè)小正方形，
故選：D．
【點(diǎn)睛】考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
3. 反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意將各項(xiàng)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可解答．
【詳解】解：將代入反比例函數(shù)得到，故項(xiàng)不符合題意；
項(xiàng)將代入反比例函數(shù)得到，故項(xiàng)不符合題意；
項(xiàng)將代入反比例函數(shù)得到，故項(xiàng)符合題意；
項(xiàng)將代入反比例函數(shù)得到，故項(xiàng)不符合題意；
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，只要點(diǎn)在函數(shù)圖象上則其坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
4. 若兩個(gè)相似三角形周長的比為，則這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比即可解答．
【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形周長的比為，
∴相似三角形的對應(yīng)邊比為，
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得的度數(shù)，根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)即可得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，熟知兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．
6. 估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A. 7和8之間B. 8和9之間
C 9和10之間D. 10和11之間
【答案】B
【解析】
【分析】先計(jì)算二次根式的混合運(yùn)算，再估算結(jié)果的大小即可判斷．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
7. 用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（ ）

A. 39B. 44C. 49D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案．
【詳解】解：第①個(gè)圖案用了根木棍，
第②個(gè)圖案用了根木棍，
第③個(gè)圖案用了根木棍，
第④個(gè)圖案用了根木棍，
……，
第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是根，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，為切點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴在，，
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，
∴，
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．
10. 在多項(xiàng)式（其中）中，對相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對值運(yùn)算，稱此為“絕對操作”．例如：，，……．
下列說法：
①存在“絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為；
③所有的“絕對操作”共有種不同運(yùn)算結(jié)果．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“絕對操作”的定義及絕對值的性質(zhì)對每一項(xiàng)判斷即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴存在“絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，
故①正確；
根據(jù)絕對操作的定義可知：在多項(xiàng)式（其中）中，經(jīng)過絕對操作后，的符號都有可能改變，但是的符合不會改變，
∴不存在“絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為，
故②正確；
∵在多項(xiàng)式（其中）中，經(jīng)過“絕對操作”可能產(chǎn)生的結(jié)果如下：
∴，
，
，
，
，
共有種不同運(yùn)算結(jié)果，
故③錯(cuò)誤；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“絕對操作”，絕對值的性質(zhì)，整式的加減運(yùn)算，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11. 計(jì)算_____.
【答案】1.5
【解析】
【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪化簡，再根據(jù)有理數(shù)的加法計(jì)算.
【詳解】.
故答案1.5.
【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的意義，任何不等于0的數(shù)的負(fù)整數(shù)次冪，等于這個(gè)數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù)，非零數(shù)的零次冪等于1.
12. 如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為_____．
【答案】36°
【解析】
【分析】首先利用多邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和，再求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC的度數(shù)．
【詳解】正五邊形內(nèi)角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴，
∴ .
故答案為36°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）×180°是解答此題的關(guān)鍵．
13. 一個(gè)口袋中有1個(gè)紅色球，有1個(gè)白色球，有1個(gè)藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，搖勻后再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率是___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意列表如下：
由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的有1種結(jié)果，
所以兩次摸到球的顏色相同的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14. 某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意得，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長率問題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長度為___________．
【答案】3
【解析】
【分析】證明，得到，即可得解．
【詳解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是矩形，
∴是的直徑，
∵，
∴，
∴的半徑為，
∴的面積為，矩形的面積為，
∴陰影部分的面積為；
故答案為；
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17. 若關(guān)于x的一元一次不等式組，至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集為，
∵不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得：；
∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范圍是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18. 如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為___________；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是___________．
【答案】 ①. ②. 8165
【解析】
【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵ 遞減數(shù)，
∴，
∴，
∴這個(gè)數(shù)為；
故答案為：
∵一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，
∴，
∵最大的遞減數(shù)，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此時(shí)，
∴這個(gè)最大的遞減數(shù)為8165．
故答案為：8165．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，平方差公式，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）先通分計(jì)算括號內(nèi)，再利用分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．
20. 學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分． 她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)O．
求證：．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴ ① ．
∵垂直平分，
∴ ② ．
又___________③ ．
∴．
∴．
小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：
過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線 ④ ．
【答案】作圖：見解析；；；；被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分
【解析】
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，即為所求；

證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴ ．
∵垂直平分，
∴．
又．
∴．
∴．
故答案為：；；；
由此得到命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分，
故答案為：被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．
21. 為了解A、B兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機(jī)在一次充滿電后運(yùn)行的最長時(shí)間，有關(guān)人員分別隨機(jī)調(diào)查了A、B兩款智能玩具飛機(jī)各架，記錄下它們運(yùn)行的最長時(shí)間（分鐘），并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（運(yùn)行最長時(shí)間用x表示，共分為三組：合格，中等，優(yōu)等），下面給出了部分信息：
A款智能玩具飛機(jī)架一次充滿電后運(yùn)行最長時(shí)間是：
B款智能玩具飛機(jī)架一次充滿電后運(yùn)行最長時(shí)間屬于中等的數(shù)據(jù)是：
兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長時(shí)間統(tǒng)計(jì)表，B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長時(shí)間扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中___________，___________，___________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）若某玩具倉庫有A款智能玩具飛機(jī)架、B款智能玩具飛機(jī)架，估計(jì)兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1），，；
（2）B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好；因?yàn)锽款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差比A款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差小，運(yùn)行時(shí)間比較穩(wěn)定；
（3）兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的大約共有架．
【解析】
【分析】（1）由A款數(shù)據(jù)可得A款的眾數(shù)，即可求出，由B款扇形數(shù)據(jù)可求得合格數(shù)及優(yōu)秀數(shù)，從而求得中位數(shù)及優(yōu)秀等次的百分比；
（2）根據(jù)方差越小越穩(wěn)定即可判斷；
（3）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，分別求出兩款飛機(jī)中等及以上的架次相加即可．
【小問1詳解】
解：由題意可知架A款智能玩具飛機(jī)充滿電后運(yùn)行最長時(shí)間中，只有出現(xiàn)了三次，且次數(shù)最多，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，即；
由B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的扇形圖可知，合格的百分比為，
則B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間合格的架次為：（架）
則B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間優(yōu)等的架次為：（架）
則B款智能玩具飛機(jī)的運(yùn)行時(shí)間第五、第六個(gè)數(shù)據(jù)分別為：，
故B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的中位數(shù)為：
B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間優(yōu)等的百分比為：
即
故答案為：，，；
【小問2詳解】
B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好；因?yàn)锽款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差比A款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差小，運(yùn)行時(shí)間比較穩(wěn)定；
【小問3詳解】
架A款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的架次為：
（架）
架A款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的架次為：
（架）
則兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有：架，
答：兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的大約共有架．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)、百分比，用方差做決策，用樣本估計(jì)總體；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識綜合求解．
22. 某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購買牛肉面多少份？
【答案】（1）購買雜醬面80份，購買牛肉面90份
（2）購買牛肉面90份
【解析】
【分析】（1）設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，由題意知，，解方程可得的值，然后代入，計(jì)算求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，由題意知，，計(jì)算求出滿足要求的解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，
由題意知，，
解得，，
∴，
∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，
由題意知，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
∴購買牛肉面90份．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程．
23. 如圖，是邊長為4的等邊三角形，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別以每秒1個(gè)單位長度的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E沿折線方向運(yùn)動，點(diǎn)F沿折線方向運(yùn)動，當(dāng)兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，點(diǎn)E，F(xiàn)的距離為y．

（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長度時(shí)t的值．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（2）圖象見解析，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
（3）t的值為3或
【解析】
【分析】（1）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答；當(dāng)時(shí)，利用周長減去即可；
（2）在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線即可；
（3）利用分別求解即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，
連接，

由題意得，，
∴是等邊三角形，
∴；
當(dāng)時(shí)，；
【小問2詳解】
函數(shù)圖象如圖：

當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，即；
當(dāng)時(shí)，即，解得，
故t的值為3或．
【點(diǎn)睛】此題考查了動點(diǎn)問題，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解一元一次方程，正確理解動點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．
24. 為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①；②．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：

（1）求AD的長度．（結(jié)果精確到1千米）
（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？
【答案】（1）AD的長度約為千米
（2）小明應(yīng)該選擇路線①，理由見解析
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，進(jìn)而得出，然后解直角三角形即可；
（2）分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意可得：四邊形是矩形，
∴千米，
∵點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，
∴，
∴千米，
答：AD的長度約為千米；
【小問2詳解】
由題意可得：，，
∴路線①的路程為：（千米），
∵，，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
由題意可得，
∴，
∴，，
所以路線②的路程為：千米，
∴路線①的路程路線②的路程，
故小明應(yīng)該選擇路線①．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，掌握特殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【答案】（1）
（2）周長的最大值，此時(shí)點(diǎn)
（3）以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或
【解析】
【分析】（1）把、代入計(jì)算即可；
（2）延長交軸于，可得，進(jìn)而得到，，求出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計(jì)算即可．
【小問1詳解】
把、代入得，，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
延長交軸于，

∵過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)最大時(shí)周長的最大
∵拋物線的表達(dá)式為，
∴，
∴直線解析式為，
設(shè)，則
∴，
∴當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)
∵周長為，
∴周長的最大值為，此時(shí)，
即周長的最大值，此時(shí)點(diǎn)；
【小問3詳解】
∵將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，可以看成是向右平移2個(gè)單位長度再向下平移一個(gè)單位長度，
∴平移后的解析式為，此拋物線對稱軸為直線，
∴設(shè)，
∵，
∴，，，
當(dāng)為對角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴與互相平分，且
∴，解得
∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，解得，
此時(shí)；
當(dāng)為邊長且和是對角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴與互相平分，且
∴，解得
∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，解得，
此時(shí)或；
同理，當(dāng)為邊長且和是對角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程無解；
綜上所述，以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或；
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長度．
26. 在中，，，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，若，，求線段的長．
（2）如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)． 若，求證：．
（3）在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到． 連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時(shí)的值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；
（2）延長使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點(diǎn)共圓，則，，得出，結(jié)合已知條件得出，可得，即可得證；
（3）在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，在半徑為的上運(yùn)動，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．
【小問1詳解】
解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點(diǎn)則，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴四點(diǎn)共圓，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，
設(shè)，則，，
∴，，
∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．
∴
∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，
取的中點(diǎn)，連接，
則是的中位線，
∴在半徑為的上運(yùn)動，
當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴是等邊三角形，
則，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如圖所示，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

∴，是的中點(diǎn)，
∴
即是的中位線，同理可得是的中位線，
∴，
∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
∴
∴
則
在中，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點(diǎn)到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．紅球
白球
藍(lán)球
紅球
（紅球，紅球）
（白球，紅球）
（藍(lán)球，紅球）
白球
（紅球，白球）
（白球，白球）
（藍(lán)球，白球）
藍(lán)球
（紅球，藍(lán)球）
（白球，藍(lán)球）
（藍(lán)球，藍(lán)球）
類別
A
B
平均數(shù)
中位數(shù)
b
眾數(shù)
a
方差