4、考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。
一、單選題（每小題3分，共30分）.
1．已知代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
2．下列計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若某三角形的三邊長分別為，，，則化簡的結果為（ ）
A．B．C．D．
4．已知關于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．B． 且
C． 且D．且
5．讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符．（詩詞大意；周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡），設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則列出的方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．探討關于x的一元二次方程總有實數(shù)根的條件，下面三名同學給出建議：甲：a，b同號；乙：；丙：．其中符合條件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正確B．只有甲不正確C．甲，乙，丙都不正確D．只有乙正確
7．如圖，各正方形的邊長均為1，則四個陰影三角形中，一定相似的一對是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
8．如圖，平行四邊形對角線與交于點，且，，在延長線上取一點，使，連接交于，則的長為（ ）

A．B．C．D．1
9．如圖，在中，，分別是，的中點，和相交于點，若，則的長度為（ ）

A．2B．3C．4D．5
10．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如果一個無理數(shù)a與的積是一個有理數(shù)，寫出a的一個值是 ．
12．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝ ．
13．將一元二次方程化成（a、b為常數(shù)）的形式，則的值為 ．
14．黃金分割大量應用于藝術、大自然中，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割，如圖，為的黃金分割點，如果的長度為，則的長度為 ．
15．如圖，在等邊三角形中，，為的中點，在延長線上截取，將沿向右平移，點的對應點為，當平移后的和重疊部分的面積是面積的時，平移的距離為 ．

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．解方程：
(1)．
(2)
(3)．
17．（1）計算：．
（2）化簡：
18．如圖，已知、、是直角坐標平面上三點．

(1)將先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，畫出平移后的圖形；
(2)以點為位似中心，位似比為2，將放大，在軸右側畫出放大后的圖形，并寫出點的坐標．
(3)求出面積．
19．已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為，（其中），若y是關于m的函數(shù)，且，求y與m的函數(shù)關系式．
20．如圖，已知在中，D是邊上的一點，的平分線交于點E，且．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
21．如圖，小亮想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得高為的竹竿影長為，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，他先測得留在墻上的影高，又測得地面部分的影長，請你幫助小亮求樹高．

22．山西平遙古城吸引著全國各地的游客前來游玩．某紀念品商店購進一批紀念品進行銷售，購進20個甲種紀念品和10個乙種紀念品共花費1100元，購進10個甲種紀念品和20個乙種紀念品共花費1300元．
(1)求單個甲種紀念品和乙種紀念品的進價．
(2)店員小麗追蹤乙商品銷售情況，發(fā)現(xiàn)當乙種紀念品售價為60元時，每天能賣出100件，每個乙種紀念品每漲價1元，就少售出2件．某天商店將乙種紀念品漲價m元，且相關部門規(guī)定乙種紀念品售價不得超過75元，若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，求銷售乙種紀念品的數(shù)量．
23．在探索平面圖形的性質時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路．
知識回顧
例如，在證明三角形中位線定理時，可以采用如圖（1）的剪拼方式，將三角形轉化為平行四邊形使問題得以解決．
實踐操作
如圖（2），在梯形中，，是腰的中點，請你沿著將上圖的梯形剪開，重新拼成一個完整的三角形，并畫出來．（不用剪開，作圖即可）
猜想證明
如圖（3），在梯形中，，、分別是兩腰、的中點，我們把叫做梯形的中位線．請類比三角形的中位線的性質，猜想和、有怎樣的位置和數(shù)量關系？請結合“實踐操作”完成猜想的證明．
知識運用
（1）已知梯形的中位線長為，高為，則梯形面積是______；
（2）直線為外的任意一條直線，過、、、分別作直線的垂線段、、、，線段、、、之間的數(shù)量關系為______．
參考答案與解析
1．D
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件得到且，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：且，
解得：且，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件是分母不為零，是解題的關鍵．
2．A
【分析】利用二次根式的運算法則逐一判斷即可求解．
【詳解】解：A．，故A選項符合題意；
B．，故B選項不符合題意；
C．，故C選項不符合題意；
D．，故D選項不符合題意，
故選A．
【點睛】本題考查了二次根式的加減和乘除運算，利用二次根式的性質化簡，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．
3．A
【分析】根據(jù)三角形三邊關系求出的取值范圍，再結合二次根式的性質和絕對值的性質化簡即可．
【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為，，，
∴，即，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的性質和絕對值的性質，根據(jù)三角形三邊關系求出的取值范圍是解答本題的關鍵．
4．B
【分析】根據(jù)一元二次方程中：，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，方程有兩個相等的實數(shù)根，，方程沒有實數(shù)根；從而得到關于的不等式，解不等式，同時，即可求解．
【詳解】解：由題意得：
，
原方程兩個不相等的實數(shù)根，
，
解得：，
，
且 ．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與方程根的個數(shù)之間的關系，掌握此關系是解題的關鍵．
5．B
【分析】設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字為，根據(jù)“個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡”，列出方程，即可得出答案．
【詳解】解：設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字為，
根據(jù)題意，可得：．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在理清題意，正確列出方程．
6．B
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求解，然后根據(jù)各種說法的條件逐項驗證即可．
【詳解】解：關于x的一元二次方程根的判別式為：，
甲：當a，b同號時，若兩數(shù)均為負數(shù)，就不能確保的符號為正，不符合題意；
乙：當時，得到，從而，總有實數(shù)根，符合題意；
丙：當時，得到，從而，總有實數(shù)根，符合題意；
綜上所述，甲的建議不能滿足題意、乙和丙的建議滿足題意，
故選：B．
【點睛】本題考查一元二次方程有實數(shù)根的條件，根據(jù)題中所給條件，結合一元二次方程根的判別式討論是解決問題的關鍵．
7．A
【分析】利用勾股定理，求出四個圖形中陰影三角形的邊長，然后判斷哪兩個三角形的三邊成比例即可.
【詳解】解：由圖，根據(jù)勾股定理，可得出
①圖中陰影三角形的邊長分別為：；
②圖中陰影三角形的邊長分別為：；
③圖中陰影三角形的邊長分別為：；
④圖中陰影三角形的邊長分別為：；
可以得出①②兩個陰影三角形的邊長，
所以圖①②兩個陰影三角形相似；
故答案為：A.
【點睛】本題考查相似三角形的判定，即如果兩個三角形三條邊對應成比例，則這兩個三角形相似；本題在做題過程中還需注意，陰影三角形的邊長利用勾股定理計算，有的圖形需要把小正方形補全后計算比較準確.
8．A
【分析】首先作輔助線：取的中點，連接，由平行四邊形的性質與三角形中位線的性質，即可求得：與的值，利用相似三角形的對應邊成比例即可求得的值．
【詳解】解：取的中點，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
故選：．

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識．解此題的關鍵是準確作出輔助線，合理應用數(shù)形結合思想解題．
9．C
【分析】先證是的中位線，推出，，再證，根據(jù)對應邊成比例可得，結合即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

，分別是，的中點，
∴是的中位線，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查三角形中位線的性質，相似三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．
10．D
【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點的坐標就可以，過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系數(shù)法即可．
【詳解】解：過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．
設點A的坐標是（m，n），則AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因為點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則mn＝2，
∵點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴B點的坐標是（?2n，2m），
∴k＝?2n?2m＝?4mn＝?8．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉化為求點的坐標的問題，求出圖象上點的橫縱坐標的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．
11．（答案不唯一）．
【分析】直接化簡二次根式，進而得出符合題意的值．
【詳解】解：∵＝2，
∴無理數(shù)a與的積是一個有理數(shù)，a的值可以為：（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查實數(shù)的性質以及同類二次根式的性質，解題的關鍵是掌握有理數(shù)和無理數(shù)的基本定義以及同類二次根式的積為有理數(shù)即可．
12．﹣2
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解關于m的方程，最后利用一元二次方程的定義確定m的值．
【詳解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
13．7
【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
則，即，
∴，
則，
故答案為：7．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程--配方法，解題的關鍵是掌握完全平方公式．
14．
【分析】本題考查了黃金分割的定義，熟記黃金比是解題的關鍵．根據(jù)黃金分割的定義可知：，由此求解即可．
【詳解】解：∵為的黃金分割點，，
∴，
∴；
故答案為：．
15．或
【分析】分與相交，與相交，兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：①如解圖1所示，當與交于點時，重疊部分為四邊形．

∵重疊部分的面積是面積的，．
由平移的性質，可知，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即平移的距離為．
②如圖2所示，當交于點時，，過點作于點，

則．
∴．
∵，，
∴，即．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即平移的距離為．
綜上所述，平移的距離為或．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，平移的性質，相似三角形的判定與性質．熟練掌握相關性質，利用數(shù)形結合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
16．(1)，
(2)，
(3)：，
【分析】本題考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
熟練掌握因式分解法及公式法解一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：移項，得：，
分解因式，得，
即：或，
解得：，．
（2）移項得：，
因式分解得：，即：，
即或，
解得：，．
（3）方程整理得：，
，，，
，
，
解得：，．
17．（1）；（2）
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪、分式的化簡：
（1）根據(jù)實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則即可求解；
（2）利用分式的的混合運算法則即可求解；
熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：（1）原式
．
（2）
．
18．(1)見解析
(2)見解析，
(3)6
【分析】本題考查坐標與圖形變換—平移與位似．
（1）根據(jù)平移規(guī)則，畫出，即可；
（2）根據(jù)位似圖形的性質，畫出，寫出點的坐標即可；
（3）分割法求的面積即可．
掌握平移的性質，位似的性質，是解題的關鍵．
【詳解】（1）如圖，即為所求；

（2）如圖，即為所求作的三角形．
（3）面積．
19．(1)見解析
(2)
【分析】（1）先計算判別式得到，再根據(jù)非負數(shù)的意義及已知條件得到，然后根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）先解出方程的兩個根，，判定根的大小，代入原式即可．
【詳解】（1）證明：，
∵，
∴，即，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）∵，
∴，
∴方程的兩個根分別為和1．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式及一元二次方程的解法，解題的關鍵是掌握當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
20．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE=∠CBE，根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可求出∠ABD=∠C，然后根據(jù)相似三角形的判定定理即可證出結論；
（2）先求出AC，根據(jù)相似三角形的性質即可求出AB，從而求出結論．
【詳解】解：（1）∵BE平分
∴∠DBE=∠CBE
∵
∴∠ABE=∠AEB
∴∠ABD＋∠DBE=∠C＋∠CBE
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴；
（2）∵，，
∴AC=AD＋CD=7
∵
∴
即
解得：AB=
∴=．
【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質和等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定及性質和等邊對等角是解題關鍵．
21．
【分析】延長交延長線于點，根據(jù)同一時刻，物體與影長成正比可得，根據(jù)可得，可得，即可得出，由可求出的長，根據(jù)求出的長即可．
【詳解】解：如圖所示，延長和相交于點，則就是樹影長的一部分，
∵某一時刻測得高為的竹竿影長為，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
∴，
∴，
∴樹高為．

【點睛】本題考查相似三角形的應用，熟練掌握同一時刻，物體與影長成正比及相似三角形判定定理是解題關鍵．
22．(1)30元，50元
(2)80件
【分析】（1）設甲種紀念品和乙種紀念品的進價分別為：元、元，根據(jù)購進20個甲種紀念品和10個乙種紀念品共花費1100元，購進10個甲種紀念品和20個乙種紀念品共花費1300元，列方程組解決問題即可．
（2）若商店將乙種紀念品漲價m元，則乙種紀念品售價為元，銷量為件，當乙種紀念品售價為60元時，利潤為元，若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，根據(jù)：銷量（售價-進價）利潤，則有，解方程并根據(jù)題意對方程的解進行取舍，從而解決問題．
【詳解】（1）解：設甲種紀念品和乙種紀念品的進價分別為：元、元，
由題意得，，
解得，，
甲種紀念品和乙種紀念品的進價分別為：30元，50元．
（2）若商店將乙種紀念品漲價m元，則乙種紀念品售價為元，銷量為件，
當乙種紀念品售價為60元時，利潤為（元），
若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，則有，
，
，
，
，
，
，，
乙種紀念品售價不得超過75元，即，，
不符合題意，
故：，，
若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，則銷售乙種紀念品80件．
【點睛】本題考查了二元一次方程組以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組與一元二次方程．
23．實踐操作：見解析；猜想證明：，，見解析；知識運用：（1）30；（2）
【分析】實踐操作：梯形沿著剪開，是腰的中點，將點D和點C重合即可求得；
猜想證明：連接并延長，交延長線于點，根據(jù)題意可證明，則有和，結合三角形中位線定理即可證明和；
知識運用：（1）根據(jù)梯形面積公式和梯形中位線定理即可求得答案；（2）連接和交于點O，過點O作交l于點J，四邊形為平行四邊形，則有O為和的中點，由于四邊形為梯形，得到為梯形的中位線，則，同理，得到成立．
【詳解】實踐操作：
解：如圖所示，即為所作．
圖②
猜想：，．
連接并延長，交延長線于點，
圖③
，
．
是的中點，
．
又，
．
，．
點是的中點，又點是的中點，
是的中位線，
，．
．
，，
．
，．
知識運用：（1）根據(jù)梯形中位線定理得上底加下底等于兩倍的中位線，結合梯形面積公式有；
（2），
連接和交于點O，過點O作交l于點J，如圖，
∵四邊形為平行四邊形，
∴點O為和的中點，
∵，，
∴四邊形為梯形，
∴為梯形的中位線，
則，
同理四邊形為梯形，則，
那么，．
【點睛】本題主要考查三角形中位線定理、平行四邊形的性質、梯形中位線定理和梯形的面積公式，解題的關鍵是利用已證的結論求解后續(xù)問題，并作輔助線構造梯形利用中位線．

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