例1．已知計算的結(jié)果中不含和的項，求m、n的值．
【答案】m＝1.5，n＝?10．
【詳解】解：(5?3x＋mx2?6x3)?(?2x2)?x(?3x3＋nx?1)
＝?10x2＋6x3?2mx4＋12x5＋3x4?nx2＋x
＝12x5＋(3?2m)x4＋6x3＋(?10?n)x2＋x，
由結(jié)果中不含x4和x2項，得到3?2m＝0，?10?n＝0，
解得：m＝1.5，n＝?10．
【變式訓(xùn)練1】已知將展開的結(jié)果不含和項，(m、n為常數(shù))
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的條件下，求的值．(先化簡，再求值)
【答案】(1)；(2)，-1792
【詳解】(1)，
，由題意得：，解得：；
(2)，
當，時，原式
【變式訓(xùn)練2】已知的展開式中不含和項．
(1)求的值．
(2)先化簡，再求值：．
【答案】(1)；(2)；．
【詳解】(1)
．
展開式中不含和項，．解得．
(2)
．
當時，原式．
【變式訓(xùn)練3】(1)試說明代數(shù)式的值與、的值取值有無關(guān)系；
(2)已知多項式與的乘積展開式中不含的一次項，且常數(shù)項為，試求的值；
(3)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．
【答案】(1)代數(shù)式的值與s的取值有關(guān)系，與t的取值無關(guān)系，理由見詳解；(2)1；(3)k=20，另一個因式為：．
【詳解】解：(1)＝s2＋2st＋s?2st?4t2?2t＋4t2＋2t＝s2＋s．
故代數(shù)式的值與s的取值有關(guān)系，與t的取值無關(guān)系；
(2)∵()()=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多項式與的乘積展開式中不含的一次項，且常數(shù)項為，
∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，=；
(3)∵二次三項式有一個因式是，
∴==，∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一個因式為：．
【變式訓(xùn)練4】(1)先化簡，再求值：已知，求的值．
(2)若中不含，項，求m，n的值．
【答案】(1)，22；(2)，．
【詳解】(1)，，，
∴且，解得：，，
．
(2)，
∵展開式中不含x、x2項，
∴，，
解得：，．
類型二、與幾何的綜合問題
例1.如圖，將邊長為的正方形剪出兩個邊長分別為，的正方形(陰影部分)．觀察圖形，解答下列問題：
(1)根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．
方法1：______，方法2：________；
(2)從中你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？_________；
(3)運用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)①28；②．
【詳解】解：(1)方法1，陰影部分的面積是兩個正方形的面積和，即，
方法2，從邊長為的大正方形面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，
故答案為：，；
(2)在(1)兩種方法表示面積相等可得，，
故答案為：；
(3)①，，又，
；
②設(shè)，，則，，
，
答：的值為．
【變式訓(xùn)練1】【知識生成】通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，兩個邊長分別為，的直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成如如圖(1)所示的梯形，請用兩種方法計算梯形面積．
(1)方法一可表示為______；方法二可表示為______；
(2)根據(jù)方法一和方法二，你能得出，，之間的數(shù)量關(guān)系是______(等式的兩邊需寫成最簡形式)；
(3)由上可知，一直角三角形的兩條直角邊長為6和8，則其斜邊長為______；
(4)【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖(2)是邊長為的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為______；(等號兩邊需化為最簡形式)
【答案】(1)；(2)；(3)10
(4)
【解析】(1)方法一可表示為：
方法二可表示為：
故答案為：
(2)
，
故答案為：
(3)
故答案為：10
(4)方法一可表示為：(a+b)3；
方法二可表示為：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式為：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案為：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
【變式訓(xùn)練2】閱讀理解下列材料：
“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：(如圖1)．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個圖形的面積，從而得到一個等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個邊長為的正方形，一個邊長為的正方形，兩個長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因為它們表示的是同一個圖形的面積，所以這兩個代數(shù)式應(yīng)該相等，即．
同理，圖2可以得到一個等式：．
根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：
(1)由圖3可得等式：___________；
(2)由圖4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①為了解決這個問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個幾何圖形得到一個含有，，的等式．
②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；
③利用①的結(jié)論，求的值．
【答案】(1)(a+2b)2=a2+4ab+4b2；
(2)(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2；
(3)①見解析；②(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【解析】(1)大正方形的面積可表示為=(a+2b)2，
大正方形的面積=各個長方形的面積之和=a2+4ab+4b2，
所以(a+2b)2=a2+4ab+4b2，
故答案為：(a+2b)2=a2+4ab+4b2；
(2)大長方形的面積可表示為=(2a+b)(a+2b)，
大長方形的面積=各個長方形的面積之和=2a2++5ab+2b2，
所以(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2，
故答案為：(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2；
(3)①所畫圖形如下：
②正方形的面積可表示為=(a+b+c)2；
正方形的面積=各個矩形的面積之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案為：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=92-26×2=81-52=29．
【變式訓(xùn)練3】(發(fā)現(xiàn)問題)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助我們更容易理解數(shù)學(xué)問題．
例如，求圖1陰影部分的面積，可以得到乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
請解答下列問題：
(1)請寫出求圖2陰影部分的面積能解釋的乘法公式(直接寫出乘法公式即可)
(2)用4個全等的、長和寬分別為a、b的長方形，拼擺成如圖3的正方形，請你觀察求圖3中陰影部分的面積，蘊含的相等關(guān)系，寫出三個代數(shù)式：(a＋b)2、(a－b)2、ab之間的等量關(guān)系式(直接寫出等量關(guān)系式即可)
(自主探索)
(3)小明用圖4中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬為a，長為b的長方形紙片拼出一個面積為(3a＋2b)(2a＋3b)長方形，請在下面方框中畫出圖形，并計算x＋z＝_____
(拓展遷移)
(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖5表示的是一個邊長為a＋b的正方體，請你根據(jù)圖5求正方體的體積，寫出一個代數(shù)恒等式：______
【答案】(1)(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(2)(a＋b)2－4ab＝(a－b)2；
(3)圖見解析，19；(4)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
【詳解】(1)陰影部分面積=大正方形面積-非陰影區(qū)域面積
即，故答案為；
(2)陰影部分面積=，大正方形面積=，長方形面積=
大正方形面積-4*長方形面積=陰影部分面積，即：；
(3)將面積為的長方形畫出后，按比例分割，圖如下：
看圖即可得：，，所以，，故答案為19；
(4)大正方體體積=各小長方體體積之和，即：
故答案為．
【變式訓(xùn)練4】提出問題：怎么運用矩形面積表示(y+2)(y+3)與2y+5的大小關(guān)系(其中y>0)？
幾何建模：
(1)畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖方式分割
(2)變形：2y+5=(y+2)+(y+3)
(3)分析：圖中大矩形的面積可以表示為(y+2)(y+3)；陰影部分面積可以表示為(y+3)×1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
歸納提煉：
當a>2，b>2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系．根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟(用鉛筆畫圖，并標注相關(guān)線段的長)
【答案】ab＞a+b．見解析
【詳解】解：(1)畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按圖方式分割．
(2)變形：a+b=(2+m)+(2+n)
(3)分析：圖中大矩形面積可表示為(2+m)(2+n)；陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，(2+m)(2+n)＞(2+m)+(2+n)，即ab＞a+b．
類型三、規(guī)律性問題
例1.(1)填空：
；
；
．
(2)猜想：
．(其中n為正整數(shù)，且)．
(3)利用(2)猜想的結(jié)論計算：
①
②
【答案】(1)，，；(2)；(3)①；②
【詳解】(1)；
；
；
故答案分別為：，，；
(2)由(1)的規(guī)律可得：原式，
故答案為：；
(3)①
；
②∵
即
．
【變式訓(xùn)練1】閱讀下文，尋找規(guī)律：
已知：，觀察下列各式：
；
；
；
；
…
(1)填空：
①_________；
②_________．
(2)根據(jù)你的猜想，計算：
①_________；
②那么的末尾數(shù)字為_________．
【答案】(1)①；②；(2)①；②1
【解析】(1)解：①根據(jù)規(guī)律可得：；
②原式；
(2)解：①∵，
把x=2，n=2020代入，
得：，
②∵的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…，
∵，
∴的末尾數(shù)字是2，
∴的末尾數(shù)字是1.
【變式訓(xùn)練2】我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”(如圖所示)就是一例．
這個三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方(左右)兩數(shù)之和．事實上，這個三角形給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1、2、1，恰好對應(yīng)(a+b)2＝a2+2ab+b2展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1、3、3、1，恰好對應(yīng)著(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項的系數(shù)等等．
(1)根據(jù)上面的規(guī)律，(a+b)4展開式的各項系數(shù)中最大的數(shù)為 ；
(2)求出25+5×24×(﹣3)+10×23×(﹣3)2+10×22×(﹣3)3+5×2×(﹣3)4+(﹣3)5的值；
(3)若(x﹣1)2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．
【答案】(1)6；(2)﹣1；(3)﹣1
【詳解】解：(1)第五行即為1、 4、 6、 4 、1對應(yīng)(a+b)4展開式中各項的系數(shù)，
∴(a+b)4展開式的各項系數(shù)中最大的數(shù)為6，故答案為6；
(2)∵(a+b)2＝a2+2ab+b2，
(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．．
根據(jù)展式中的2最大指數(shù)是5，首項a =2，末項b=-3,
∴25+5×24×(﹣3)+10×23×(﹣3)2+10×22×(﹣3)3+5×2×(﹣3)4+(﹣3)5＝[2+(﹣3)]5＝(2﹣3)5＝﹣1；
(3)∵(x﹣1)2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，
∴當x＝1時，(1﹣1)2020＝a1×12020+a2×12019+a3×12018+……+a201912+a2020×1+a2021，
即a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021＝0，
當x＝0時，(0﹣1)2020＝a1×02020+a2×02019+a3×02018+……+a2019×02+a2020×0+a2021，即a2021＝1，
∴a1+a2+a3+……+a2019+a2020= a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021- a2021＝0﹣1＝﹣1．
【變式訓(xùn)練3】“回文”是漢語特有的一種使用詞序回環(huán)往復(fù)的修辭方法，正著讀，倒著讀，文字一樣，韻味無窮例如：處處飛花飛處處，潺潺碧水碧潺潺．數(shù)學(xué)中也有像回文聯(lián)一樣的“回文等式”，例如，以下是三個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”：
，
，
．
(1)下列選項中能構(gòu)成“回文等式”的是______．(填上所有正確的序號)
A．與；B．與；
C．與；D．與；
E.與
(2)請寫出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”的一般規(guī)律，并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識證明．
【答案】(1)CDE；(2)見解析
【解析】(1)解：A、，，，故該選項不符合題意；
B、與不是回文等式，故該選項不符合題意；
C、，，所以，故該選項符合題意；
D、，故該選項符合題意；
E、， ，所以，故該選項符合題意；
所以能構(gòu)成“回文等式”的是CDE
故答案為：CDE；
(2)解：“回文等式”左邊(右邊)的兩個兩位數(shù)中十位數(shù)的積等于個位數(shù)的積，理由如下：
設(shè)回文等式左邊的兩個兩位數(shù)為，，其中a，b，c，d為小于10的正整數(shù)，
依題意得：，
，解得：，所以．

相關(guān)試卷

2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題 專題08 分式方程解的三種考法（學(xué)生版+教師解析）：

這是一份2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題 專題08 分式方程解的三種考法（學(xué)生版+教師解析），文件包含2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題專題08分式方程解的三種考法教師版含解析docx、2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題專題08分式方程解的三種考法學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共13頁， 歡迎下載使用。

2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題 專題04 軸對稱問題的三種考法（學(xué)生版+教師解析）：

這是一份2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題 專題04 軸對稱問題的三種考法（學(xué)生版+教師解析），文件包含2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題專題04軸對稱問題的三種考法教師版含解析docx、2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題專題04軸對稱問題的三種考法學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

2023年初中數(shù)學(xué)7年級下冊同步壓軸題專題04 直角坐標系的三種考法全攻略（學(xué)生版+教師版）：

這是一份2023年初中數(shù)學(xué)7年級下冊同步壓軸題專題04 直角坐標系的三種考法全攻略（學(xué)生版+教師版），文件包含2023年初中數(shù)學(xué)7年級下冊同步壓軸題專題04直角坐標系的三種考法全攻略教師版docx、2023年初中數(shù)學(xué)7年級下冊同步壓軸題專題04直角坐標系的三種考法全攻略學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊2.1 整式同步練習(xí)題

初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊2.1 整式同步練習(xí)題
初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊2.1 整式課時練習(xí)

初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊2.1 整式課時練習(xí)
初中人教版14.1.4 整式的乘法同步練習(xí)題

初中人教版14.1.4 整式的乘法同步練習(xí)題
專題04 整式中加減無關(guān)型的三種考法-初中數(shù)學(xué)7年級上冊同步壓軸題（教師版含解析）

專題04 整式中加減無關(guān)型的三種考法-初中數(shù)學(xué)7年級上冊同步壓軸題（教師版含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部