第I卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
下列交通指示標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
下列四個圖形中，線段是的高的是( )
A. B.
C. D.
年月日上午，谷愛凌在女子滑雪大跳臺決賽中，獲得了北京冬奧會雪上項目的首金．如圖所示，大跳臺的，，，則關(guān)于的關(guān)系式是( )
A. B. C. D.
如圖，在中，交邊于點，設(shè)點是的重心，若點在線段上，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.
B.
C. 平分
D. 且平分
小華利用已學(xué)知識用尺規(guī)作一個角等于已知角，具體情況如圖所示，則小華得到與全等的依據(jù)是( )
A. B. C. D.
如圖，在中，，是邊上的一個動點不與頂點重合，則的度數(shù)可能是( )
A.
B.
C.
D.
在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中，，測得厘米，厘米，圓形容器的壁厚是( )
A. 厘米
B. 厘米
C. 厘米
D. 厘米
如圖，在中，的垂直平分線與邊，交于點，，已知與
的周長分別是和，則的長為( )
A.
B.
C.
D.
如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為和，則的面積為( )
A.
B.
C.
D.
如圖，中，，，，，平分，如果點，分別為，上的動點，那么的最小值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）
若點與點關(guān)于軸對稱，則點的坐標(biāo)為______．
在中，，，則______．
等腰三角形中，，，則的長為______．
如圖，在中，，點在上，將沿折疊，點落在邊的點處．若，則為______
如圖，在等腰中，，且，則的面積為______．
如圖，點是軸上一個定點，點是軸正半軸上的一個動點，以線段為邊在軸右側(cè)作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點的移動，下列說法中，正確的有______填序號
≌；
；
直線與軸所夾的銳角恒為；
隨點的移動，線段的值逐漸增大．
三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
本小題分
一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的倍少，求這個多邊形的邊數(shù)．
本小題分
如圖，在和中，，，，求的度數(shù)．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
在圖中作出關(guān)于軸對稱的，并寫出，，的坐標(biāo)；
在軸上畫出點，使最?。?br>本小題分
如圖，已知，平分它的外角，，證明：為等腰三角形．
本小題分
如圖所示，是的中線，，，垂足分別為，，求證：平分．
本小題分
如圖，在中，，點是線段上一點且．
尺規(guī)作圖：已知點在線段上，且，求作點保留作圖痕跡，不寫作法；
在所作的圖中，連接，求證：．
本小題分
如圖，四邊形中，，，為邊上的一點，平分交于點，為的中點，連接．
求證：平分；
．
本小題分
如圖，在中，，為三角形外一點，且為等邊三角形．
求證：直線垂直平分；
以為一邊作等邊如圖，連接、，試判斷是否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．
本小題分
如圖，在中，，，點，分別在坐標(biāo)軸上．
如圖，若點的橫坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為______；
如圖，若軸恰好平分，交軸于點，過點作垂直軸于點，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
如圖，，，連接交軸于點，點在軸正半軸上運動時，與的面積比是否變化？若不變，求其值，若變化，求其取值范圍．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：，，選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2.【答案】
解析：解：、圖形中線段不是的高，本選項不符合題意；
B、圖形中線段不是的高，本選項不符合題意；
C、圖形中線段不是的高，本選項不符合題意；
D、圖形中線段是的高，本選項符合題意；
故選：．
根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．
3.【答案】
解析：解：是的外角，，，，
，
即．
故選：．
直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．
本題主要考查三角形的的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
4.【答案】
解析：解：點是的重心，
為的中線，
，所以選項符合題意；
只有當(dāng)時，，平分，所以選項、選項、選項不符合題意．
故選：．
先根據(jù)三角形重心的定義得到為的中線，然后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷．
本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．
5.【答案】
解析：解：由作圖痕跡得，，
所以≌，
所以．
故選：．
利用作圖痕跡得到，，則根據(jù)全等三角形的判定方法得到≌，所以有，
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的判定．
6.【答案】
解析：解：，
，
，
，
，
，
，
故選：．
只要證明即可解決問題．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
7.【答案】
解析：解：在和中，
，
≌，
厘米，
圓形容器的壁厚為：厘米，
故選：．
利用三角形全等的定理證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出圓形容器的壁厚．
本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】
解析：解：是的垂直平分線，
，，
的周長是，
，
，
，
的周長是，
，
，
，
故選：．
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)的周長是，可得，然后根據(jù)的周長是，可得，最后進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】
解析：解：如圖，過點作于，
是的角平分線，，
，
在和中，
，
≌，
，
設(shè)的面積為，
同理≌，
，
即，
解得．
故選：．
過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得，設(shè)的面積為，然后根據(jù)列出方程求解即可．
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】
解析：解：如圖所示：

過點作于點，交于點，
過點作于點，
平分，
，
．
中，，，，，，
，
，
．
即的最小值是，
故選：．
先作垂直交于點，再作垂直，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點到角的兩邊距離相等，即可找到動點和，進(jìn)而求得的最小值．
本題考查了軸對稱最短路線問題、角分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到使最小時的動點和．
11.【答案】
解析：解：點與點關(guān)于軸對稱，則的坐標(biāo)為．
故答案為：．
根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
本題考查了關(guān)于軸、軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
12.【答案】
解析：解：，
，
又，
，
是等邊三角形，
．
故填．
根據(jù)知，，由，可根據(jù)等邊三角形的判定知，答案可得．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；得到角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角和求解時比較重要的方法，注意掌握．
13.【答案】
解析：解：根據(jù)題意得，
即，
因為三角形是等腰三角形，
所以．
故答案為：．
根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，然后找出此范圍內(nèi)的奇數(shù)即可．
本題考查了三角形三邊的關(guān)系：三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．
14.【答案】
解析：解：在中，，

，
將沿折疊，點落在邊的點處，
，
是的一個外角，，
，
即，
解得：．



故答案為：．
由三角形的內(nèi)角和定理可得，由折疊的性質(zhì)可得，再由是的一個外角，則有，從而可求解．
本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，折疊的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形明確清楚角與角之間的關(guān)系．
15.【答案】
解析：解：如圖，作邊上的高，

，
，，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)題意作出圖形，求得邊上的高，再根據(jù)面積公式計算即可．
本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．
16.【答案】
解析：解：和都是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
故正確；
，，
，
故正確；
延長交軸于點，
，，
，
，
，
直線與軸的夾角恒為，
故正確；
點是軸上一個定點，
的長為定值，
≌，
，
的長為定值，
隨點的移動，線段的值不變，
故錯誤，
故答案為：．
由和都是等邊三角形，得，，，則，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明≌，可判斷正確；
由，，得，可判斷正確；
延長交軸于點，由，，得，而，則，可判斷正確；
因為點是軸上一個定點，所以的長為定值，由≌，得，可知的長為定值，可判斷錯誤，于是得到問題的答案．
此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，證明≌是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是，
依題意得，
，
．
這個多邊形的邊數(shù)是．
解析：多邊形的外角和是度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的倍少，即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù)．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是，與邊數(shù)無關(guān)．
18.【答案】解：在和中，
，
≌，
．
解析：由“”可證≌，可得．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：如圖所示，即為所求，，，；

如圖所示，點即為所求．
解析：分別作出三個頂點關(guān)于軸的對稱點，再首尾順次連接即可；
作點關(guān)于軸的對稱點，再連接，與軸的交點即為所求．
本題主要考查作圖軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱變換的定義和性質(zhì)得出變換后的對應(yīng)點．
20.【答案】證明：平分，
，
，
，，
，
，
為等腰三角形．
解析：利用角平分線的定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用等角對等邊，即可解答．
本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定，以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】證明：如圖，是的中線，
．
又，，
，
在與中，，
≌，
．
平分．
解析：先證≌，所以根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等推知再結(jié)合已知條件“，”可以證得結(jié)論．
本題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
22.【答案】解：如圖，點為所作；

證明：，
而，
，
，
，
，
，
，
，
．
解析：作的垂直平分線交于點，則，所以，從而得到；
由得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，所以，所以，于是可判斷．
本題考查了作圖基本作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．
23.【答案】證明：如圖，過點作于點，
，
，，
平分，，，
，
又為的中點，
，
，
，，
平分；
在和中，
，
≌，
，
同理可證，
，
．
解析：過點作于點，由角平分線的性質(zhì)得，再證，即可得出結(jié)論；
證≌，得，同理可證，即可得出結(jié)論．
本題考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24.【答案】解：為等邊三角形，
，
點在的垂直平分線上，
又，
點在的垂直平分線上，
直線垂直平分；
構(gòu)成直角三角形，理由如下：
和為等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
且，
，
，
，即構(gòu)成直角三角形．
解析：由，得出點在的垂直平分線上，同理得出點在的垂直平分線上，即可得出結(jié)論；
由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，證出，由證明≌，得出，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、等腰三角形的性質(zhì)；本題綜證明三角形全等是解決的關(guān)鍵．
25.【答案】
解析：解：如圖，過點作軸于，

，
，
，
點的橫坐標(biāo)為，
，
在和中，
，
≌，
，
點；
故答案為：；
，理由如下：
如圖，延長，交于點，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
與的面積比不會變化，
理由：如圖，作軸于，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
：．
過點作軸于，由“”可證≌，可得，可求解；
延長，交于點，由“”可證≌，可得，由“”可證≌，可得，可得結(jié)論；
如圖，作軸于，由“”可證≌，可得，，由“”可證≌，可得，可得，由三角形面積公式可求解．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．

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