(試卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘)
一、單項(xiàng)選擇題（每道小題只有一個(gè)正確答案，共8道小題，每小題5分，共計(jì)40分）
1. 在直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將直線方程化為斜截式，即可得到斜率，從而得到傾斜角.
【詳解】直線即，則直線的斜率，
所以傾斜角為.
故選：D
2. 已知向量，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，即，，，2，，分析可得、的值，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，
則設(shè)，即，，，2，，
則有，則，，
則，，，故；
故選：A．
3. 如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.
【詳解】依題意
，所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
4. 雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，則等于（ ）
A. 1B. C. 1或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程形式確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)半焦距關(guān)系列式求參數(shù).
【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，
所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
依題意得
解得.
故選：A
5. “”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求曲線表示橢圓的的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷選項(xiàng)．
【詳解】曲線表示橢圓，即或.
或?，
“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B．
6. 已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由兩點(diǎn)的距離公式可得，再化簡可得解.
【詳解】解：設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>即 ，兩邊平方整理得：，，
兩邊平方整理得：，即 ，
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的距離公式，主要考查了軌跡方程的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力.
7. 若圓M：上只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求a的取值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為1，即可求解a的取值.
【詳解】由圓M：，得，
可得圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑，
如圖，
若要使圓M到直線的距離為1的點(diǎn)只有三個(gè)，
因?yàn)閳A的半徑，所以圓心到直線的距離為1，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即，
解得，.
故選：D.
8. 正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)得到，然后利用線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】
由正八面體的性質(zhì)可得，，則，
.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題（每道小題至少有兩個(gè)正確答案，共4道小題，每小題5分，共計(jì)20分）
9. 已知空間中三點(diǎn)，，，則（ ）
A. 向量與互相垂直
B. 與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是
C. 與夾角的余弦值是
D. 在上的投影向量的模為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合投影向量的定義、空間向量夾角公式逐一判斷即可.
【詳解】由已知可得，，.因?yàn)椋耘c互相垂直，故A正確；，
所以與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是，故B正確；，，，所以，故C正確；在上的投影向量的模為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10. 直線（A，B不同時(shí)為0）下列說法正確的是（ ）
A. 則該直線與兩坐標(biāo)軸都相交B. ，則該直線與軸平行
C. 則該直線為軸所在直線D. ，則該直線過原點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)，，與零的關(guān)系得到直線方程的形式，然后判斷即可.
【詳解】若，則，，該直線與兩坐標(biāo)軸都有交點(diǎn)，故A正確；
，則直線方程為，該直線與軸平行或重合，故B錯(cuò)；
，，則直線方程為，表示軸所在的直線，故C正確；
，則直線方程為，經(jīng)過原點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知直線()與圓：，則（ ）
A. 對，直線恒過一定點(diǎn)
B ，使直線與圓相切
C. 對，直線與圓一定相交
D. 直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為
【答案】ACD
【解析】
【分析】通過直線轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)；說明直線被圓截得的弦長最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線垂直，由勾股定理即可得到最短弦長．
【詳解】解：直線，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，故A正確；
圓：即圓：，圓心，半徑，則，即點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，
最短弦長，故D正確；
故選：ACD
12. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（ ）
A.
B. 平面
C. 向量與的夾角是60°
D. 直線與AC所成角的余弦值為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可．
【詳解】解：對于，
，
所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于
，所以，即，
，所以，即，因?yàn)椋矫?，所以平面，選項(xiàng)正確；
對于：向量與 的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以選項(xiàng)正確．
故選：AC．
三、填空題（共四小題，每小題5分，共計(jì)20分）
13. 若圓與圓外切，則值為________；
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，解方程即可.
【詳解】圓即，圓心為，半徑為且，
圓即，圓心為，半徑為4，
因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.
故答案為：4.
14. 已知點(diǎn)，則點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是__．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的幾何性質(zhì)列出方程組，即可求得答案.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，，
故點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：
15. 如圖，在大小為60°的二面角中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用，求出向量間的夾角，結(jié)合向量乘法即可求
【詳解】由題意可知，，則∠BFC為二面角的平面角，
故．又，故異面直線BF，ED所成角也為．
∵，∴，
∴．
故答案為：
16. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，滿足，若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓，圓都內(nèi)切；其中，則橢圓的離心率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意畫出圖形，由已知向量等式可得，再由圓與圓的位置關(guān)系及橢圓定義求得、，然后利用勾股定理列式求解．
【詳解】解：如圖，
由，可得，
即，所以，
所以，
又以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓，圓都內(nèi)切，
，，
即，又由橢圓定義可得，，
聯(lián)立可得，，
在△中，由，可得，
即，可得．
故答案為：．
四、解答題（要求有詳細(xì)的解題步驟，共6道小題，共計(jì)70分）
17. 已知直線過點(diǎn)．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）若直線與兩坐標(biāo)軸上圍成三角形面積為，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，求出橫截距、縱截距，利用可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)直線的方程為
過點(diǎn)，
的方程：；
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
橫截距為，縱截距為，
，
或，
方程為或.
18. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，并經(jīng)過點(diǎn)
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，求的面積
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和橢圓的定義得到，根據(jù)得到，然后寫橢圓方程即可；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程得到，然后求三角形面積即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓定義得：，
所以，
又，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，
聯(lián)立消得：，所以，
所以.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn)．
（1）這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？如果是，求出這個(gè)圓的方程；如果不是，請說明理由；
（2）以線段為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．
【答案】（1）在，；
（2）或﹒
【解析】
【分析】(1)設(shè)出經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程，將三點(diǎn)代入解方程，求出，，的值，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論；
(2)求出以線段為直徑的圓的方程，設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求解即可．
【小問1詳解】
設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程為，
∴，解得，，，
∴經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程為，
由于，故點(diǎn)也在這個(gè)圓上，
因此，四點(diǎn)，，，都在圓上．
【小問2詳解】
以線段為直徑作圓，圓心，半徑為：1，
過點(diǎn)作圓的切線，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，即
可得：，解得，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，也滿足題意，
∴切線方程為：或．
20. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC上靠近P的三等分點(diǎn)．
（1）求二面角的余弦值；
（2）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
【答案】（1）；（2）直線AG在平面AEF內(nèi)，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系并標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)，找出平面AEP的法向量，求出平面AEF的法向量，最后求二面角的余弦值即可；
（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)和的坐標(biāo)表示，再求利用平面AEF的法向量，證明直線AG在平面AEF內(nèi)即可.
【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，
AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，則平面AEP的法向量．
設(shè)平面AEF的法向量，
則，
取，得，
設(shè)二面角的平面角為，
則．
∴二面角的余弦值為．
（2）直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下：
∵點(diǎn)G在PB上，且，∴，
∴，
∵平面AEF的法向量，，
故直線AG在平面AEF內(nèi)．
【考點(diǎn)】本題考查線面的位置關(guān)系，利用空間向量求二面角，是基礎(chǔ)題.
21. 在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐，，，.
（1）求三棱錐的體積
（2）用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標(biāo)系中，以為方向向量，過點(diǎn)的直線方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出平面一個(gè)法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，在利用夾角公式求出，從而求出，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得；
（2）取該直線上任意一點(diǎn) (異于點(diǎn))，依題意可得，則存在實(shí)數(shù)，使得，消去參數(shù)，即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則有，令，則，，所以，
點(diǎn)到平面的距離，即棱錐的高
又，所以，
所以，
所以三棱錐的體積.
【小問2詳解】
取該直線上任意一點(diǎn) (異于點(diǎn))，則，
依題意可得，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，
即，消去參數(shù)可得，
將代入上式，適合此方程，
所以該直線方程為：.
22. 如圖，已知點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，軸(垂足為N)，點(diǎn)Q在NM的延長線上，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）直線l：與1中動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，圓O上存在兩點(diǎn)C、D，滿足，，求m的取值范圍；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）根據(jù)直線與的軌跡交于兩個(gè)不同的點(diǎn)列方程得到，將圓上存在兩點(diǎn)、，滿足，轉(zhuǎn)化為的垂直平分線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，然后列不等式求解即可.
小問1詳解】
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，
由點(diǎn)在圓上，則，
由，則，，
把，代入，
得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
【小問2詳解】

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