【模型】如圖，已知,要證∽,只需再知道一組對應角相等（兩組對角分別相等的兩三角形相似）或（兩組對應邊成比例且其夾角對應相等的兩三角形相似）即可證明∽
【例1】如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（ ）
A．1對B．2對C．3對D．4對
【例2】如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．
【例3】定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．
(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；
(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．
一、單選題
1．如圖，點是的邊上的一點，若添加一個條件，使與相似，則下列所添加的條件錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，要使△ACD∽△ABC，則具備的條件可以是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，下列條件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為BC邊的中線，過點C作CE⊥AD于點E，交AB于點F．若AC＝2，則線段EF的長為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在△ABC中，DEBC，過點A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，則AN：NM的值是（ ）
A．4：9B．3：2C．9：4D．2：1
7．如圖，在中，點在AB邊上，若，，，，則線段CD的長為（ ）
A．4B．5C．D．
8．如圖，在中，，將繞頂點A逆時針旋轉至，此時點D在上，連接，線段分別交于點H、K，則下列四個結論中：①；②是等邊三角形；③；④當時，；正確的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
二、填空題
9．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，則AC的長為 ．
10．如圖，，和分別是和的高，若，則與的周長之比為_____．與的面積之比為______．
11．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O．點E在CD上，且DE：EC＝1：3，連接BE交AC于點F，若OF＝，則正方形的邊長為_______．
12．如圖，已知，，點M、N分別是、的中點，則________．
13．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AF平分∠BAC，交DE于點G，交BC于點F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝_____．
14．將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則＝________．
15．如圖，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，則BC＝_______．
16．如圖，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中點，E是BC上一點，BE=，∠AED=∠B，則CE的長為_____________．
三、解答題
17．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運動，何時QBP與ABC相似？
18．已知，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點，BD＝1，AD+AC=8．
（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；
（2）求AC長．
19．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．
20．已知：如圖，在中，D是AC上一點，聯(lián)結BD，且∠ABD =∠ACB．
（1）求證：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的長.
21．【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．
（1）求證 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．
23．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝6，求MC?MN的值．
24．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求的值．
25．（1）如圖1，在中，為上一點，．求證：．
（2）如圖2，在中，是上一點，連接，．已知，，．求證：．
（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，、相交于點．已知的半徑為2，，，，求四邊形的面積．
26．如圖1，四邊形內(nèi)接于是的直徑，．延長交的延長線于點．
（1）證明：．
（2）當時，
①求的長度．
②如圖2，作平分交于點，連結，求的面積．
27．如圖1，在菱形ABCD中，AC是對角線，AB＝AC＝6，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點G．
（1）求的度數(shù)．
（2）如圖2，作交CE于點H，若CF＝4，，求GH的值．
（3）如圖3，點O為線段CE中點，將線段EO繞點E順時針旋轉60°得到線段EM，當構成等腰三角形時，請直接寫出AE的長．
28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．
（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；
（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．
29．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．
30．我們定義：對角線垂直的凸四邊形叫做“準箏形”．如圖 1，四邊形 ABCD 中，AC⊥BD，則四邊形 ABCD 是“準箏形”．
（1）“三條邊相等的準箏形是菱形”是 命題；（填“真” 或“假”）
（2）如圖 1，在準箏形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的長．
（3）如圖 2， 在準箏形 ABCD 中，AC 與 BD 交于點 O，點 P 在線段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移動的線段EF，E 在 F 的左側，且 EF＝1，使四邊形 AEFP 周長最小，求此時OE 的長度．

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