一、單選題
1．集合，且的真子集的個數(shù)是（ ）
A．32B．31C．16D．15
【答案】D
【分析】化簡集合，再由真子集個數(shù)公式可得.
【詳解】由得且，又，
則，
其子集個數(shù)共有，除去集合本身，
則其真子集個數(shù)為，
故選：D.
2．設(shè)，集合，，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【分析】按照集合相等的定義，計算可求解.
【詳解】，，.
故選：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷.
【詳解】若，則未必成立，如時，．
若，則，則一定成立．
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：B.
4．已知集合，，，則集合M，S，P的關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過整理集合中的表達式，由此確定正確答案.
【詳解】∵，
，
，
因為，所以，
∴.
故選：B.
5．下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的基本性質(zhì)結(jié)合作差比較大小逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項：令，但，故A選項錯誤，
對于B選項：令，不妨取，但此時不成立，故B選項錯誤，
對于C選項：若，則，所以，故C選項正確，
對于D選項：令，但，故D選項錯誤.
故選：C.
6．命題，都有，則（ ）
A．是假命題，B．是真命題，
C．是假命題，D．是真命題，
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，再根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題可寫出命題的否定.
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故是真命題．
根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題可得：
，使得．
故選：．
7．已知集合且，則下列判斷不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知集合表示奇數(shù)集，集合表示偶數(shù)集，是奇數(shù)，是偶數(shù)，然后依次對，，，進行判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)集合可知，
集合表示奇數(shù)集，集合表示偶數(shù)集，又，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)；
對于A，因為兩個奇數(shù)的乘積為奇數(shù)，所以，即A正確；
對于B，因為一個奇數(shù)和一個偶數(shù)的乘積為偶數(shù)，所以，即B正確；
對于C，因為兩個奇數(shù)的和為偶數(shù)，所以，即C正確；
對于D，因為兩個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和為偶數(shù)，所以，所以D錯誤；
故選：D
8．已知，，且，則的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
故選：D．
二、多選題
9．設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】先求出，再得到，分與，求出相應(yīng)實數(shù)的值.
【詳解】，
因為，所以，
當(dāng)時，，滿足要求，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，
綜上：實數(shù)的值可以為或.
故選：ABC
10．下列不等式正確的有（ ）
A．若，則函數(shù)的最小值為2
B．最小值等于4
C．當(dāng)
D．函數(shù)最小值為
【答案】CD
【分析】利用基本不等式的性質(zhì)和對勾函數(shù)單調(diào)性依次判斷選項即可.
【詳解】對選項A，，令，則，，，
根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，，故A錯誤；
對選項B，當(dāng)時，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知：為減函數(shù)，所以，故B錯誤；
對選項C，因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；
對選項D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.
故選：CD.
11．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”
【答案】ABD
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件，逐一檢驗，可得答案.
【詳解】對于A，由不等式，則或，所以，但，
所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；
對于B，由，則且；
當(dāng)，時，則，顯然，，
所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；
對于C，“，有”的否定是“，使”，故C錯誤；
對于D，根據(jù)方程實數(shù)根的定義，故D正確.
故選：ABD.
12．下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是
B．當(dāng)時，的最小值是
C．當(dāng)時，的最大值是
D．若正數(shù)滿足，則的最小值為
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式，并結(jié)合其取等條件依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，
，即無解，取等條件不成立，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
的最小值為，B正確；
對于C，當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
的最大值為，C正確；
對于D，，，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
的最小值為，D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．若，為假命題，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意可得，為真命題，結(jié)合判別式即可求得答案.
【詳解】因為，為假命題，
故，為真命題，
故，解得，
即的取值范圍為
故答案為：
14．已知，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【詳解】因為，則，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立.
故當(dāng)時，的最大值為.
故答案為：.
15．設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】先得到，從而由交集為空集得到的取值范圍.
【詳解】由題意得，故，
因為，所以，故的取值范圍是.
故答案為：
16．若，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有四個整數(shù)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將不等式化為，討論的取值范圍，確定不等式的解集，根據(jù)題意確定解集中僅有的四個整數(shù)，由此列出關(guān)于的相應(yīng)的不等式，求得的取值范圍.
【詳解】由，可得，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
若滿足解集中僅有四個整數(shù)，為，則，
此時，又，所以，
②當(dāng)，即時，不等式的解集為；
若滿足解集中僅有四個整數(shù)，為，則，
此時，與矛盾，不符合題意；
③當(dāng)時，即，不等式的解集為，不符合題意；
④當(dāng)，即時，不等式的解集為；
若滿足解集中僅有四個整數(shù)，可能為，或，
當(dāng)整數(shù)解為時，，且，無解，
當(dāng)整數(shù)解為時， 且，解得，
當(dāng)整數(shù)解為時，且，無解；
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
四、解答題
17．已知全集，集合．
(1)求,；
(2)已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據(jù)集合的交并補運算，即可得到本題答案；
（2）結(jié)合題意，列出不等式組求解，即可得到本題答案.
【詳解】（1）全集，集合；
∴；
，
∴；
（2）∵，
又集合，且，
∴，解得，
∴實數(shù)的取值范圍是．
18．已知命題，；命題，.
(1)若命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題p，q中恰有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）根據(jù)判別式即可求解,
（2）分別求解為真命題時的范圍，即可分兩種情況求解.
【詳解】（1）由題意可知，得或
（2）命題p為真命題時，
若時，顯然滿足，
當(dāng)時，則，解得，
綜上可得p為真命題時，；
當(dāng)命題p真q假時，，解得；
當(dāng)命題p假q真時，得或
所以當(dāng)命題p，q中恰有一個為真命題時，實數(shù)m的取值范圍為或或.
19．設(shè).
(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知解關(guān)于的不等式
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對一切實數(shù)恒成立，分和，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得的兩個根為，分類討論，即可求解.
【詳解】（1）解：由對一切實數(shù)恒成立，
即對一切實數(shù)恒成立，
當(dāng)時，，不滿足題意；
當(dāng)時，則滿足，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
（2）解：由不等式，即，
方程的兩個根為，
①當(dāng)時，不等式的解集為
②當(dāng)時，不等式的解集為
③當(dāng)時，不等式的解集為.
綜上所述，
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，解集為.
20．已知不等式的解集是．
(1)求常數(shù)的值；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由題意可得－1和3是方程的解，將代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集為，可得，從而可求出m的取值范圍.
【詳解】（1）因為不等式的解集是．
所以,且和3是方程的解，
把代入方程解得．
經(jīng)驗證滿足題意.
（2）若關(guān)于的不等式的解集為，
即的解集為，
所以，解得，
所以m的取值范圍是.
21．若二次函數(shù)滿足.
(1)求的解析式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[1，4]上不單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知條件，列出方程組求解，得到函數(shù)的解析式；
（2）通過與的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)，則，
所以，
所以化簡可得：，
則有：，解可得：，
所以.
（2）函數(shù)，
當(dāng)時，函數(shù)，
此時函數(shù)的對稱軸為，
當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)的對稱軸為，
因為在區(qū)間[1，4]上不單調(diào)，只需.
故實數(shù)t的取值范圍為：.
22．設(shè)某水庫的最大蓄水量為，原有水量為，泄水閘每天泄水量為，在洪水暴發(fā)時，預(yù)測注入水庫的水量（單位：）與天數(shù)n（，）的函數(shù)關(guān)系是．若山洪暴發(fā)的第一天就打開泄水閘，則這10天中堤壩會發(fā)生危險嗎？若會，計算第幾天發(fā)生危險；若不會，說明理由．（水庫蓄水量超過最大蓄水量時，堤壩會發(fā)生危險）
【答案】第9天會有危險
【分析】根據(jù)進水量與出水量，以及最多總增加水量列不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解不等式求得第天會有危險.
【詳解】設(shè)第n天發(fā)生危險，由題意得，
整理得，解得或（舍去），
且，，可得的最小值為9，
所以汛期的第9天會有危險.

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