本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁.
祝各位考生考試順利！
第I卷
注意事項(xiàng)：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂在答題卡上；
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；
3．本卷共9小題，每小題5分，共45分.
參考公式：
·球的表面積公式，其中R表示球的半徑.
·臺體的體積公式，其中，S分別為上、下底面面積，h為臺體高.
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，，則（ ）.
A. B. C. D.
2. 命題p的否定為“，使得”，則命題p為（ ）．
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
3. 已知函數(shù)部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（ ）.
A. B.
C. D.
4. “”的充要條件的是（ ）．
A. B.
C. D.
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. D.
7. 圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)表面積為的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（ ）．
A. B. C. 61D. 183
8. 已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：
①函數(shù)為偶函數(shù)；
②；
③；
④曲線在處切線斜率為
所有正確結(jié)論序號是（ ）
A. ①②B. ①③④C. ③④D. ②③④
9. 對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)y，使得成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；
2．本卷共11小題，共105分.
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.
10. 若（為虛數(shù)單位），則__________．
11. 已知，則__________．
12. 棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，AB的中點(diǎn)，P為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．
13. 已知，則__________，__________．
14. 在中，已知，點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，且，若，則__________；若，則取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)y的值為__________．
15. 已知函數(shù)，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m取值范圍．
17. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知.
（1）證明：；
（2）求a；
（3）求的值．
18. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中點(diǎn)，
（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．
19. 設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn).
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式，并說明你的理由．
20 已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線斜率為1，求a的值；
（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若時(shí)，不等式恒成立，求a的最小值．
2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測（一）
高三年級 數(shù)學(xué)學(xué)科 2023．11
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁.
祝各位考生考試順利！
第I卷
注意事項(xiàng)：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂在答題卡上；
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；
3．本卷共9小題，每小題5分，共45分.
參考公式：
·球的表面積公式，其中R表示球的半徑.
·臺體的體積公式，其中，S分別為上、下底面面積，h為臺體高.
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，，則（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，，
，則.
故選：C
2. 命題p的否定為“，使得”，則命題p為（ ）．
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)特稱命題否定是全稱命題，寫出對應(yīng)命題即可.
【詳解】命題p的否定為“，使得”，
所以命題，使得，
故選：D
3. 已知函數(shù)的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊點(diǎn)可排除D，即可求解
【詳解】由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，
對于B：由，
得：，為偶函數(shù)，故可排除B；
對于C：由，
得：，為偶函數(shù)，故可排除C；
由圖知圖象不經(jīng)過點(diǎn)，
而對于D：，故可排除D；
故選：A
4. “”的充要條件的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合充要條件的定義逐個(gè)判斷即可.
【詳解】由“”， 解集為，
A，解集為，A錯(cuò)誤；
B，由，解集，B正確；
C，由，即，即，解集，C錯(cuò)誤；
D，由，即，即解集為，D錯(cuò)誤.
故選：B
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指對函數(shù)的單調(diào)性和中間值比較大小即可.
詳解】由，則，
由，，則，
由，則.
則.
故選：C
6. 已知函數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得出， ，從而確定，它們關(guān)于對稱，從而可得結(jié)論．
【詳解】由已知，即，同理，
又，即，，，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
故選：B．
7. 圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)表面積為的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（ ）．
A. B. C. 61D. 183
【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得球的半徑和圓臺的高，然后利用圓臺的體積公式即可求得其體積.
【詳解】設(shè)球的半徑為，則，則，
圓臺的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，
如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺上底面的圓心為，
則圓臺的高，
據(jù)此可得圓臺的體積：.
故選：A.
8. 已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：
①函數(shù)為偶函數(shù)；
②；
③；
④曲線在處的切線斜率為
所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①②B. ①③④C. ③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)①②③，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷④．
【詳解】由題意，，，∴，
又，又，∴，
∴，
不是偶函數(shù)，①錯(cuò)；
是的最小值，②正確；
，，當(dāng)時(shí)可得是圖象的一個(gè)對稱中心，∴，③正確；
，，④正確．
正確的有②③④，
故選：D．
9. 對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)y，使得成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分離，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，然后畫出圖像，根據(jù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
令，則，
令，解得或者，
令，解得，
所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，如圖所示，
要使得直線與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，則直線要在點(diǎn)上方，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，所以，
所以只需滿足即可，
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)后再構(gòu)造函數(shù)，由解的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題是處理含參導(dǎo)數(shù)問題的常用方法.
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；
2．本卷共11小題，共105分.
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.
10. 若（為虛數(shù)單位），則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及除法運(yùn)算即可化簡求解.
【詳解】由可得，
所以，
故答案為：
11. 已知，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)和差角公式，結(jié)合同角關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得，
所以，即，
故答案為：
12. 棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，AB的中點(diǎn)，P為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．
【答案】1
【解析】
【分析】換底（頂點(diǎn)），即由計(jì)算．
【詳解】由題意到平面的距離等于，
又，
∴，
故答案為：1.

13. 已知，則__________，__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令，求得后，由計(jì)算，由計(jì)算．
【詳解】∵，令，則 ，
∴，．
故答案：；．
14. 在中，已知，點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，且，若，則__________；若，則取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)y的值為__________．
【答案】 ①. ②. ##0.625
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解空1，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】,
所以，故，
當(dāng)時(shí)，，
，
由于，
所以，
故當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故最小，
故答案為：，
15. 已知函數(shù)，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合參數(shù)對應(yīng)的幾何意義求參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題意知，，
則是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對稱.
令，解得（舍），或.
此時(shí)，，
令，解得.
此時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
由函數(shù)的解析式與圖象的對稱性作出函數(shù)的圖象.
直線過定點(diǎn)，且為直線的斜率，
若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，
則直線與的圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，
由圖可知，解得，
故答案為：.
三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換將函數(shù)化簡，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域即可化簡集合，再由集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分，以及討論，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
，
因?yàn)椋裕?br>所以，即.
若，則，
從而或．
所以．
【小問2詳解】
，
①當(dāng)，即時(shí)，，所以．
②當(dāng)，即時(shí)，，所以．
③當(dāng)，即時(shí)，，
若，則，所以.
綜上，.
17. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知.
（1）證明：；
（2）求a；
（3）求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理將原式化簡，再由正弦定理可得，即可證明；
（2）由結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；
（3）由條件可得，然后結(jié)合兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由余弦定理可得，
即
又由正弦定理，得，
因?yàn)榻茿，B為的內(nèi)角，所以．
【小問2詳解】
由（1）知，所以．又，
由余弦定理，得，
即，解得.
【小問3詳解】
由，得，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以B為銳角，
所以.
所以
.
18. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中點(diǎn)，
（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）．
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由兩平面的法向量垂直得證兩平面垂直；
（2）（i）由空間向量法求線面角；（ii）由空間向量法求面面角.
【小問1詳解】
因?yàn)?，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則，
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
故以CM為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
所以．
因?yàn)椋?br>所以，
所以平面PBC，即為平面PBC的法向量．
設(shè)，
則．
設(shè)平面EAC的法向量為，，
則即
令，則．
因?yàn)椋云矫嫫矫鍼BC．
【小問2詳解】
因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以．
（i）設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，
則，
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．
（i）顯然平面PDC的法向量為，
設(shè)平面PDC和平面EAC的夾角為，
則．
故平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值為．
19. 設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn).
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式，并說明你的理由．
【答案】（1）2 （2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和過定點(diǎn)，代入即可；
（2）結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性性，可化為對恒成立，整理的，分與討論即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，即，
整理得，解得，
所以，
又的圖象過點(diǎn)，
則，解得或，
又，且，
所以．
【小問2詳解】
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，得．
由（1）可得，，
因?yàn)椋?br>所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以對恒成立．
因?yàn)?，?br>所以，
整理得，*
當(dāng)時(shí)，左邊是一個(gè)一次因式乘一個(gè)恒正（或恒負(fù)）的二次三項(xiàng)式，
或者是三個(gè)一次因式的積，
無論哪種情況，總有一個(gè)一次因式的指數(shù)是奇次的，這個(gè)因式的零點(diǎn)左右的符號不同，
因此不可能恒非負(fù)，所以．
所以*式化為恒成立，
所以．
①若，則；
②若，則，即，與矛盾，舍去．
綜上，，
所以為滿足條件的的一個(gè)解析式．（答案不唯一）
20. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線斜率為1，求a的值；
（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若時(shí)，不等式恒成立，求a最小值．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切線的斜率和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系直接代入求解即可；
（2）求導(dǎo)后需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值求不同情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）先要通過變形把不等式左右兩邊同構(gòu)，然后研究新函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)最小時(shí)為負(fù)確定單調(diào)性區(qū)間，最后求出的最小值.
【小問1詳解】
，
依題意，，解得．
【小問2詳解】
零點(diǎn)的根．
設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù)．
取，取，
所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而．
當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
取，取，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
【小問3詳解】
，
構(gòu)造函數(shù)，則．
而， 令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增，
令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，
而當(dāng)時(shí)，，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，
兩邊取對數(shù)得，，所以，
令，則，
令得，，令得，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，
故a的最小值是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題難度大，需要不斷的化簡最后同構(gòu)得到相關(guān)函數(shù)，再通過相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)，要求較高.

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天津市南開區(qū)2022—2023學(xué)年度高三第一學(xué)期階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷及參考答案

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