1．（2分）下面幾幅圖片是校園中運動場上代表體育項目的圖標，其中可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如圖，△ABC的邊AC上的高是（ ）
A．線段AEB．線段BAC．線段BDD．線段BC
3．（2分）在下列長度的四組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．2、3、6B．3、5、9C．3、4、5D．2、3、5
4．（2分）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5．（2分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，添加下列一個條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F
6．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，CD＝AD＝4（ ）
A．10B．12C．14D．16
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．（3分）匠人制作馬扎時，支撐架都設計成如圖形狀，這種方法是利用了三角形的 ．
8．（3分）如圖，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直線上，BC＝9，則BD＝ ．
9．（3分）等腰三角形的一邊為3，另一邊為7，則這個三角形的周長為 ．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝15，BD是AC邊上的中線．若△ABD的周長為35，則△BCD的周長是 ．
11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，若點D在直線MN上，連接AD，則△ABD周長的最小值為 ．
12．（3分）如圖，為了測量A、B兩點之間的距離，在地面上找到一點C，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長線上確定點D，那么只要測量出AD的長度就得到A、B兩點之間的距離，其中△ABC≌△ADC的依據(jù)是 ．
13．（3分）如圖，AB是線段CD的垂直平分線，E，F(xiàn)分別是AB上的兩點，∠CDF＝40°，則∠ECF的度數(shù)為 ．
14．（3分）邊長相等的正五邊形與正六邊形按如圖所示拼接在一起，則∠ABO的度數(shù)為 ．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．（5分）一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的6倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
16．（5分）如圖所示，在△ABC中，CB⊥AB，F(xiàn)是AB延長線上一點，點A在BC上
17．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BD的垂直平分線與AB的交點，連接DE交AC于點F．求證：點E在AF的垂直平分線上．
18．（5分）如圖所示，AB＝CD，BF＝DE，E，且AE＝CF．請你判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19．（7分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度數(shù)；
（2）證明：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．（7分）如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1、B1、C1的坐標（點A、B、C的對應點分別是點A1、B1、C1）；
（2）在x軸上找一點P，使得PA+PB的距離最短，在圖中作出點P的位置．
21．（7分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BDC的度數(shù)；
（2）若DE＝4，BC＝12，求△BCD的面積．
22．（7分）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，ED的延長線交BC的延長線于F，且CD＝CF．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當∠F＝ 度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23．（8分）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB于點F，且AB＝DE．
（1）求證：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的長．
24．（8分）四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點E，∠ADC的角平分線交直線AE于點O．
（1）若點O在四邊形ABCD的內(nèi)部，
①如圖1，若AD∥BC，∠B＝40°，則∠DOE＝ °；
②如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過程寫下來．
（2）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．（10分）如圖，AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，AF＝AC，連接EF
（1）若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度數(shù)；
（2）延長AD至點H，使DH＝AD，連接BH；
（3）在（2）的條件下，請直接寫出線段EF和線段AD之間的數(shù)量關(guān)系．
26．（10分）如圖，等邊△ABC的邊長為7cm，現(xiàn)有兩動點M、N分別從點A、B同時出發(fā)，點N沿折線BA﹣AC﹣CB向終點B運動，已知點M的速度為1cm/s，當有一點到達終點時另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．
（1）當M、N兩點重合時，求出此時t的值；
（2）當點M、N均在邊BC上運動時，連接AM、AN，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？若能；若不能，請說明理由；
（3）在點M、N的運動過程中，當以點M、N及△ABC中的某一頂點為頂點構(gòu)成的三角形是等邊三角形時，請直接寫出此時t的值．
2023-2024學年吉林省松原市前郭縣農(nóng)村名校調(diào)研八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題2分，共12分）
1．（2分）下面幾幅圖片是校園中運動場上代表體育項目的圖標，其中可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答即可．
【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（2分）如圖，△ABC的邊AC上的高是（ ）
A．線段AEB．線段BAC．線段BDD．線段BC
【分析】根據(jù)三角形高的定義即可得到答案．
【解答】解：∵BD⊥AC于點D，
∴△ABC的邊AC上的高是線段BD，
故選：C．
【點評】本題主要考查了三角形的高，熟練掌握三角形高的定義是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2分）在下列長度的四組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．2、3、6B．3、5、9C．3、4、5D．2、3、5
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．
【解答】解：A、3+3＝7；
B、3+5＝8＜9；
C、3+5＝7＞5；
D、6+3＝5．
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．
4．（2分）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根據(jù)直線a∥b，可得∠3＝∠1＝40°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A＝60°，根據(jù)∠2＝180°﹣∠A﹣∠3求解即可．
【解答】解：∵直線a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
在等邊△ABC中，∠A＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故選：A．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，添加下列一個條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F
【分析】根據(jù)全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，CD＝AD＝4（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAD＝90°，由含30°直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD，求出BD的長，即可求出BC的長．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵CD＝AD，
∵∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴AD＝BD，
∴BD＝8AD＝2×4＝3，
∴BC＝CD+BD＝4+8＝12．
故選：B．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．（3分）匠人制作馬扎時，支撐架都設計成如圖形狀，這種方法是利用了三角形的 穩(wěn)定性 ．
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可解決．
【解答】解：支撐架設計成如圖形狀，主要利用了三角形的穩(wěn)定性．
故答案為：穩(wěn)定性．
【點評】本題主要考查了三角形的性質(zhì)，三角形具有穩(wěn)定性，馬扎的支撐架設計成三角形是為了保持穩(wěn)定．
8．（3分）如圖，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直線上，BC＝9，則BD＝ 4 ．
【分析】設BD＝x，由△ABO≌△DCO，可得AB＝CD＝x+1，故2x+1＝9，即可解得BD＝4．
【解答】解：設BD＝x，則AB＝x+1，
∵△ABO≌△DCO，
∴AB＝CD＝x+1，
∴BC＝BD+CD＝x+（x+8）＝2x+1，
∵BC＝3，
∴2x+1＝5，
解得x＝4，
∴BD＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)及應用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應邊相等．
9．（3分）等腰三角形的一邊為3，另一邊為7，則這個三角形的周長為 17 ．
【分析】本題可先根據(jù)三角形三邊關(guān)系，確定等腰三角形的腰和底的長，然后再計算三角形的周長．
【解答】解：當腰長為3時，則三角形的三邊長為：3、3、7；
∵3+3＜7，
∴不能構(gòu)成三角形；
因此這個等腰三角形的腰長為7，則其周長＝2+7+3＝17．
故答案為：17．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；對于已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝15，BD是AC邊上的中線．若△ABD的周長為35，則△BCD的周長是 29 ．
【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得AD＝CD，由△ABD的周長為35，AB＝15，求出AD+BD＝20，進而得出△BCD的周長．
【解答】解：∵BD是AC邊上的中線，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周長為35，AB＝15，
∴AD+BD＝35﹣AB＝35﹣15＝20，
∴CD+BD＝AD+BD＝20，
∵BC＝9，
∴△BCD的周長＝BC+CD+BD＝9+20＝29．
故答案為：29．
【點評】本題考查了三角形的中線．根據(jù)中線的定義得出AD＝CD以及利用周長的定義求出AD+BD＝15是解決問題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，若點D在直線MN上，連接AD，則△ABD周長的最小值為 12 ．
【分析】MN與AC的交點為D，AD+BD的值最小，即△ABD的周長最小值為AB+AC的長．
【解答】解：MN與AC的交點為D，
∵MN是BC邊上的垂直平分線，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝AD+CD＝AC，
此時AD+BD的值最小，
∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△ABD的周長最小值為12，
故答案為：12．
【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，為了測量A、B兩點之間的距離，在地面上找到一點C，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長線上確定點D，那么只要測量出AD的長度就得到A、B兩點之間的距離，其中△ABC≌△ADC的依據(jù)是 SAS ．
【分析】根據(jù)SAS即可證明△ACB≌△ACD，由此即可解決問題．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
故答案為：SAS．
【點評】本題考查全等三角形的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型．
13．（3分）如圖，AB是線段CD的垂直平分線，E，F(xiàn)分別是AB上的兩點，∠CDF＝40°，則∠ECF的度數(shù)為 100° ．
【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到∠CHE＝90°，∠CDF＝∠DCF，求出∠ECD的度數(shù)，利用∠ECD+∠DCF即可得解．
【解答】解：設AB，CD交于點H，
∵AB是線段CD的垂直平分線，E，F(xiàn)分別是AB上的兩點，
∴∠CHE＝90°，F(xiàn)C＝FD，
∴∠CDF＝∠DCF＝40°，∠ECD＝90°﹣∠CEB＝60°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝100°；
故答案為：100°．
【點評】本題考查中垂線的性質(zhì)，熟練掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）邊長相等的正五邊形與正六邊形按如圖所示拼接在一起，則∠ABO的度數(shù)為 24° ．
【分析】根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和和正六邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角108°和正六邊形的內(nèi)角120°，然后根據(jù)周角的定義和等腰三角形性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個內(nèi)角都等于108°，
∴∠BOC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAO＝＝24°，
故答案為：24．
【點評】本題考查了正多邊形的內(nèi)角與外角、等腰三角形的性質(zhì)，熟練正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．（5分）一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的6倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：設這個多邊形是n邊形，由題意得
（n﹣2）×180°＝360°×6，
解得n＝14．
答：這個多邊形的邊數(shù)是14．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．
16．（5分）如圖所示，在△ABC中，CB⊥AB，F(xiàn)是AB延長線上一點，點A在BC上
【分析】先判斷△ABC為等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解答】證明：∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【點評】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
17．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BD的垂直平分線與AB的交點，連接DE交AC于點F．求證：點E在AF的垂直平分線上．
【分析】先根據(jù)EG是線段BD的垂直平分線得出∠DEG＝∠BEG，再由∠ACB＝90°可知AC∥EG，故∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，所以∠A＝∠AFE，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵EG是線段BD的垂直平分線，
∴∠DEG＝∠BEG，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥EG，
∴∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，
∴∠A＝∠AFE，即點E在AF的垂直平分線上．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖所示，AB＝CD，BF＝DE，E，且AE＝CF．請你判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】利用SSS證明△ABF≌△CDE，可得∠BFA＝∠DEC，進而利用平行線的判定即可解決問題．
【解答】解：BF∥DE，理由如下：
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠BFA＝∠DEC，
∴BF∥DE．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF≌△CDE．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19．（7分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度數(shù)；
（2）證明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)可求得∠DCE＝60°，再由角平分線的定義可得∠ACE＝60°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求∠CAE的度數(shù)；
（2）由三角形的外角性質(zhì)可得∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，再由角平分線的定義得∠ACE＝∠DCE，從而可求解．
【解答】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B＝35°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝95°；
（2）證明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，
∴∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵CE平分角ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．
20．（7分）如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1、B1、C1的坐標（點A、B、C的對應點分別是點A1、B1、C1）；
（2）在x軸上找一點P，使得PA+PB的距離最短，在圖中作出點P的位置．
【分析】（1）分別作出點A，B，C關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可得；
（2）作出點A關(guān)于x軸的對稱點A′，再連接A′B，與x軸的交點即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C4即為所求，
由圖知，A1（﹣1，8），B1（﹣4，8）C1（﹣3，5），
故答案為：﹣1，1；﹣7，2，4；
（2）如圖所示，點P即為所求，3）．
【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出變換后的對應點．
21．（7分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BDC的度數(shù)；
（2）若DE＝4，BC＝12，求△BCD的面積．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，及三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；
（2）利用角平分線性質(zhì)得出DE＝DF，再利用三角形面積公式即可求出．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵∠ACB＝80°，
∴∠DCB＝×80°＝40°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣25°﹣40°＝115°；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵DE＝8，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴△ABC的面積＝×BC×DF＝．
【點評】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理以及三角形面積，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．
22．（7分）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，ED的延長線交BC的延長線于F，且CD＝CF．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當∠F＝ 30 度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．
【分析】（1）由CD＝CF，得到∠F＝∠CDF，由垂直的定義得到∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，由余角的性質(zhì)得到∠B＝∠A，即可證明問題；
（2）由垂直的定義得到∠B＝90°﹣30°＝60°，由（1）知△ABC是等腰三角形，于是證明△ABC是等邊三角形．
【解答】（1）證明：∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠ADE，
∵DE⊥AB，
∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：當∠F＝30度時，△ABC是等邊三角形
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等邊三角形．
故答案為：30．
【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，余角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由余角的性質(zhì)證明∠B＝∠A，
五、解答題（每小題8分，共16分）
23．（8分）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB于點F，且AB＝DE．
（1）求證：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的長．
【分析】（1）由“AAS”可證△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中點，
∴，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB＝BC＝6．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點E，∠ADC的角平分線交直線AE于點O．
（1）若點O在四邊形ABCD的內(nèi)部，
①如圖1，若AD∥BC，∠B＝40°，則∠DOE＝ 125 °；
②如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過程寫下來．
（2）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可求∠BAE，∠CDO，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠DOE的度數(shù)；
②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的關(guān)系，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵AD∥BC，∠B＝40°，
∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°，
∵AE、DO分別平分∠BAD，
∴∠OAD＝70°，∠ADO＝55°，
∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝70°+55°＝125°
故答案為：125；
②∠B+∠C+2∠DOE＝360°，
理由：∵∠DOE＝∠OAD+∠ADO，
∵AE、DO分別平分∠BAD，
∴2∠DOE＝∠BAD+∠ADC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC＝360°，
∴∠B+∠C+7∠DOE＝360°；
（2）∠B+∠C＝2∠DOE，
理由：∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，
∵AE、DO分別平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝8∠ADO，
∴∠BAD+∠ADC＝2（∠EAD+∠ADO），
∴360°﹣∠B﹣∠C＝2（180°﹣∠DOE），
∴∠B+∠C＝3∠DOE．
【點評】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是熟練掌握四邊形內(nèi)角和等于360°的知識點．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．（10分）如圖，AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，AF＝AC，連接EF
（1）若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度數(shù)；
（2）延長AD至點H，使DH＝AD，連接BH；
（3）在（2）的條件下，請直接寫出線段EF和線段AD之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠ABE＝63°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠EAB＝54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，即可得出結(jié)果；
（2）證得△BDH≌△CDA得到∠BHD＝∠CAD，進而得到AC∥BH，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證的結(jié)論；
（3）證得AC∥BH，由平行線的性質(zhì)得出∠ABH+∠BAC＝180°，證得∠EAF＝∠ABH，由SAS證得△ABH≌△EAF，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝63°，
∴∠EAB＝54°，
∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，
∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝36°；
（2）證明：∵AD為△ABC 的中線，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中．
，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°；
（3）解：EF＝3AD，
由（2）知△BDH≌△CDA，
∴BH＝AC，
∵AC＝AF，
∴AF＝BH，
由（2）知∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△EAF和△ABH中，
，
∴△EAF≌△ABH（SAS），
∴EF＝AH＝2AD．
【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
26．（10分）如圖，等邊△ABC的邊長為7cm，現(xiàn)有兩動點M、N分別從點A、B同時出發(fā)，點N沿折線BA﹣AC﹣CB向終點B運動，已知點M的速度為1cm/s，當有一點到達終點時另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．
（1）當M、N兩點重合時，求出此時t的值；
（2）當點M、N均在邊BC上運動時，連接AM、AN，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？若能；若不能，請說明理由；
（3）在點M、N的運動過程中，當以點M、N及△ABC中的某一頂點為頂點構(gòu)成的三角形是等邊三角形時，請直接寫出此時t的值．
【分析】（1）設點M、N運動a秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多7cm，列出方程求解即可；
（2）證出△ANC≌△AMB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得CN＝BM，則CM＝BN，列出方程，求出t的值即可；
（3）分兩種情況：①設點M、N運動t秒后，△AMN是等邊三角形；②設點M、N運動t秒后，△CMN是等邊三角形；分別列方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）由題意，得t+7＝2.4t，
解得，
∴點M、N運動．
（2）由題意，得CM＝（t﹣2）cm，
若△AMN是以MN為底的等腰三角形，則AN＝AM，
∴∠ANC＝∠AMB，
又∵∠B＝∠C，
∴△ANC≌△AMB（AAS），
∴CN＝BM，
∴BC﹣BM＝BC﹣CN，
∴CM＝BN，
∴t﹣7＝21﹣2.8t，
解得t＝8，
∴當點M、N運動8秒時，此時CM＝BN＝2﹣7＝1（cm），
∴MN＝BC﹣CM﹣BN＝6﹣1﹣1＝7（cm）．
（3）分兩種情況：
①設點M、N運動t秒后，如圖1，
則AM＝tcm，AN＝（7﹣5.5t）（cm），
當AM＝AN時，△AMN是等邊三角形，
即t＝7﹣3.5t，
解得：t＝2，
∴當點M、N運動5秒時，
②設點M、N運動t秒后，如圖2，
則AM＝tcm，CN＝（2.4t﹣14）（cm），
當CM＝CN時，△CMN是等邊三角形，
即7﹣t＝2.2t﹣14，
解得：t＝6，
∴當點M、N運動6秒時；
綜上所述，點M，t為8秒或6秒；
【點評】此題是三角形的綜合問題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/11/9 16:18:23；用戶：婁老師；郵箱：15225657626；學號：48669677

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