考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一章1.1～1.3、第二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合通項(xiàng)公式，利用列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，解得．
故選：B.
2. 直線的一個(gè)方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率可得其方向向量.
【詳解】直線的斜率，直線的一個(gè)方向向量為.
故選：C.
3. 已知等差數(shù)列中，，則公差（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】在等差數(shù)列中，，
所以有．
故選：B
4. 直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 0B. 3C. 0或D. 0或3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，即，解得或.
故選：C.
5. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而可得答案.
【詳解】設(shè)該等比數(shù)列公比為，
因?yàn)?，所以由?br>因此．
故選：C.
6. 已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】曲線表示圓在x軸的上半部分，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，
解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，
，可得,所以實(shí)數(shù)取值范圍為.
故選：A
7. “斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用遞推關(guān)系找到通項(xiàng)即可.
【詳解】，以此類推，．
故選：D
8. 若圓上存在點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得出圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，將問題轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)即可求解.
詳解】由題知，如圖所示：

因?yàn)閳A的圓心為，
所以關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
所以圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，
若要圓上存在點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
在圓上，
其中圓的圓心為，半徑為2，
則只需與有交點(diǎn)即可，
又
所以在外，
根據(jù)兩圓有交點(diǎn)，則兩圓心的距離大于半徑等于之差的絕對(duì)值，小于等于半徑之和.
可得：，兩圓分別內(nèi)切與外切的時(shí)候取等號(hào)，
解得：.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比可能是（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】AB
【解析】
【分析】討論與兩種情況，求得或即可．
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，若，
則，滿足題意；
若，由，得，解得，
綜上，或．
故選：AB
10. 下列各直線中，與直線平行的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行的充要條件一一判定即可.
【詳解】?jī)芍本€，
其平行的充要條件為且或，
對(duì)于A項(xiàng)，易知且，即A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，易得，有且，即B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，易知且，即C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，易知，D項(xiàng)不符合.
故選：ABC
11. 下列關(guān)于直線與圓的說法正確的是（ ）
A. 若直線與圓相切，則為定值
B. 若，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為定值
C. 若，則圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等
D. 當(dāng)時(shí)，直線與圓相交
【答案】ABD
【解析】
【分析】計(jì)算圓心到直線的距離，利用幾何法可判斷AC選項(xiàng)的正誤，求出弦長(zhǎng)可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)直線過圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D．
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，
對(duì)于A選項(xiàng)，若與圓相切，
則，可得，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，圓心到直線的距離為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑘A心到直線的距離為，此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即直線過定點(diǎn)，又因?yàn)椋傻命c(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，D正確．
故選：ABD．
12. 已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等差數(shù)列B.
C. D. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可得，可求出通項(xiàng)公式，從而可判斷AB；錯(cuò)位相減法求出，從而可判斷CD.
【詳解】由，得，即，
所以是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，A正確；
所以，則，B正確；
數(shù)列的前項(xiàng)和為：，①
，②
由①減②可得
，
即，C錯(cuò)誤；
由，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的值最?。?，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確．
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)．直線l的傾斜角是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.
【詳解】因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的斜率為：，
因?yàn)?，是直線的傾斜角，且
所以直線的傾斜角為：．
故答案為：.
14. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.
【詳解】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，
而，于是，
所以．
法二：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也成等比數(shù)列，
即成等比數(shù)列，即.
故答案為：12
15. 已知圓與圓只有一條公切線，則__________.
【答案】16
【解析】
【分析】首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可知兩圓相內(nèi)切，即可得到，從而得解.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
因?yàn)閳A與圓只有一條公切線，
所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，
所以.
故答案為：
16. 已知數(shù)列中，，若對(duì)任意，則數(shù)列的前項(xiàng)和______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，結(jié)合累加法可得答案.
【詳解】由，且，可知，
則可化為，
則有，即等比數(shù)列，
且公比為2，首項(xiàng)為，則，
所以
，
即數(shù)列的前項(xiàng)和為．
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求直線的一般式方程；
（2）若直線與直線垂直，且在軸上的截距為2，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）兩點(diǎn)求斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）由直線垂直確定斜率，應(yīng)用斜截式寫出直線方程.
【小問1詳解】
∵直線的斜率為，
∴直線的方程為，
∴直線的一般式方程為．
【小問2詳解】
∵直線與直線垂直，由（1）知：直線的斜率為2，
∴直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，且，即，
∴直線的方程為，即．
18. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的最小值及取得最小值時(shí)的值．
【答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．
【解析】
【分析】（1）列方程求出，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的最小值及取得最小值時(shí)的值．
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，
解得，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知，
又，所以當(dāng)時(shí)，取最小，最小值為．
19. 已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求的垂直平分線方程，聯(lián)立直線的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合反射光線原理可得其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由題知中點(diǎn)為，，
所以的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立，解得，即圓心為，
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則直線與垂直，且的中點(diǎn)在直線上，
則，解得，
由題意知反射光線過圓心，故，
即.

20. 已知等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)求出公差即可；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問1詳解】
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，
又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，即，
即，解得，
所以；
【小問2詳解】
，
所以.
21. 直線，圓.
（1）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線被圓截得弦最短時(shí)，求此時(shí)的方程；
（3）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線方程.
【答案】（1）證明見解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）將直線化為，令即可求解；
（2）當(dāng)與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦最短，根據(jù)即可求解；
（3）方法1（幾何法）：當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)面積有最大值；
方法2：根據(jù)垂徑定理與點(diǎn)到直線的距離公式將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)到直線的距離的方程，利用二次函數(shù)的最值問題即可求解.
【小問1詳解】
證明：由題意知可化為，
故解得直線恒過定點(diǎn).
【小問2詳解】
因?yàn)?br>所以圓的圓心為，半徑，
如圖所示：

，
當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，與垂直，
，
，即.
【小問3詳解】
方法1（幾何法）
，且為鈍角，
當(dāng)時(shí)有最大值，即面積有最大值，
此時(shí)同（2），即.
方法2
設(shè)圓心到直線的距離為，則，
，
當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)同（2），
或者由，，解得，
.
22. 已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），
（2）+n
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；
（2）利用并項(xiàng)求和分析運(yùn)算；
（3）利用裂項(xiàng)相消結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由題可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，
則，解得，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，，
則，解得，
所以，
所以和的通項(xiàng)公式為，.
【小問2詳解】
由（1）得為，則，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
.
【小問3詳解】
由（1）得為，，
所以，
因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，
所以求列的前項(xiàng)和為
故.

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