一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 平行直線與之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
3. 數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知方程表示的曲線是橢圓，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
6. 若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 曲線圍成的圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的有（ ）個(gè)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線被雙曲線所截線段長(zhǎng)的最小值為
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②方程表示的曲線是雙曲線
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切，則圓心的軌跡是拋物線
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)
A. B. C. D.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是
B. 若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為
C. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或
D. 過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為
長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
點(diǎn)在曲線內(nèi)
直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)
曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上
曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. 當(dāng)時(shí)， D.
在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條與坐標(biāo)軸不平行的直線，與交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
若直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則
對(duì)任意的直線，
的最小值為
D. 以為直徑的圓與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 設(shè)直線. 若，則 .
14. 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后， 反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn). 根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：現(xiàn)有一 個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿足方程，點(diǎn)是它的兩個(gè)焦點(diǎn).當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)，沿角直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后再回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程為 .
已知圓，直線，為直線上一點(diǎn). 若圓上存在兩
點(diǎn)，使得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為 .
16. 已知橢圓，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作一條與坐標(biāo)軸都不垂直的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為. 若直線， 與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，. 則它們的積為 .
四、解答題：本題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.
17.（10分）（1）求以橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程；
（2）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，求拋物線的方程.
18.（12分）如圖所示，正方形的頂點(diǎn).
（1）求邊所在直線的方程；
（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出邊所在直線的方程.
（12分）在 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③. 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中. 問(wèn)題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，， .
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求的最大值.
20.（12分）已知圓.
（1）過(guò)點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；
（2）記圓與、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓是否有兩個(gè)公共點(diǎn)？若有，求出公共弦長(zhǎng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.
21.（12分）已知雙曲線.
（1）過(guò)的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率；
（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（均異于左、右頂點(diǎn)），且以線段為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).
22.（12分）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
（1）求的離心率；
（2）過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn).
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)為常數(shù)時(shí). 若成等差數(shù)列，且公差不為，求直線的方程；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)時(shí). 延長(zhǎng)與相交于另一個(gè)點(diǎn)，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
高郵市2021—2022學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研
數(shù)學(xué)試卷（參考答案） 2021.11
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. C 7. A 8. A
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。
9. AD 10. ABC 11. BCD 12. ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
四、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
17. 解：（1）橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，
設(shè)所求雙曲線方程為，則，所以
所以所求雙曲線方程為； 分
（2）由拋物線定義知，所以
所以拋物線的方程為 分
18. 解：（1）因?yàn)?，所?又，所以，
所以邊所在直線的方程為，
即 分
（2）設(shè)，
由已知得，解得：，即， 分
因?yàn)椋裕?br>所以邊所在直線的方程為，即 分
解：（1）若選擇條件①：因?yàn)?br>所以，
兩式相減得，，，即，又，
即，所以，，又，，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． 分
所以 分
若選擇條件②：由，得，即，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又因?yàn)椋? 分
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 分
若選擇條件③：由，變形為，
在原式中令得，又，所以，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為6，公差為-2.
所以，所以， 分
所以當(dāng)時(shí)，，
符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 分
（2）法1：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取最大值為12 分
法2：由知時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值為12 分
20. 解：（1）若斜率不存在，則方程為，符合； 分
若斜率存在，設(shè)方程為，即，
由得，切線方程為即
綜上，切線方程為 分
（2），設(shè)，由得
化簡(jiǎn)得：，即
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓， 分
因?yàn)閳A心距，所以兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)， 分
由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為，
公共弦長(zhǎng)為 分
21.解：由題意得直線的斜率必存在，設(shè)，
聯(lián)立，得
若，即時(shí)，滿足題意； 分
若，即時(shí)，令，解之得； 分
綜上，的斜率為
（2）證明：設(shè)，，聯(lián)立，得，
則： 分
以線段為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，
，即，分
由韋達(dá)定理知，分
，
整理得， 解得或（均滿足）分
當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不滿足題意，故舍去； 分
當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，滿足題意. 分
所以原題得證，即直線過(guò)定點(diǎn).
22.解：（1）由題意得，，
因?yàn)?，故?即分
成等差數(shù)列，且公差不為，直線斜率存在，且
又，； 分
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，得，
則 分
，解之得
故直線方程為，分
直線與橢圓的位置關(guān)系是：相切分
理由如下：
設(shè)，則，令
聯(lián)立，得，
由韋達(dá)定理可知，并注意到，
得， 即， 分
故， 得
同理得. 分
此時(shí)，， 分
直線的方程為，整理得
聯(lián)立，得，
注意到，故
此時(shí)，.. 分

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