1．（4分）若點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則A，b（ ）
A．A∈b∈βB．A?b?βC．A∈b?βD．A?b∈β
2．（4分）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個(gè)底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知圓錐的底面半徑為1，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）已知平面α∥平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，則a、b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交C．異面D．不確定
5．（4分）已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PC于點(diǎn)A′，B′，若PA′：AA′＝2：3，則S△A′B′C′：S△ABC＝（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：25
6．（4分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若＝+x+y，y的值分別為（ ）
A．1，1B．1，C．，D．，1
（多選）7．（4分）給出下列命題，其中是真命題的有（ ）
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體
8．（4分）我國南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖暅，提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．利用此原理求以下幾何體的體積：曲線y＝x2（0≤y≤L）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面α上，用平行于平面α，得截面圓的面積為．由此構(gòu)造右邊的幾何體Z1：其中AC⊥平面α，AC＝L，AA1?α，AA1＝π，它與Z在等高處的截面面積都相等，圖中EFPQ為矩形，F(xiàn)P＝l，則幾何體Z的體積為（ ）
A．πL2B．πL3C．D．
9．（4分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在面對角線AC上運(yùn)動，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．D1P∥平面A1BC1
B．平面PDB1⊥平面A1BC1
C．三棱錐A1﹣BPC1的體積不變
D．D1P⊥BD
10．（4分）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，BD∩AC＝O，M是線段D1O上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面ACD1的垂線交平面A1B1C1D1于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分.）
11．（4分）已知兩個(gè)球的半徑之比為2：3，則它們的表面積之比為 ，體積之比為 ．
12．（4分）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 ．
13．（4分）如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與原長方體體積的比為 ．
14．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，設(shè)，，，則向量＝ （用表示）
15．（4分）已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱，過BD1作平面α分別交棱AA1，CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形BFD1E面積的最小值為 ．
三、解答題共4題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
16．（10分）如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，且BG：GC＝DH：HC＝1：2．
（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)EG與HF交于點(diǎn)P，求證：P、A、C三點(diǎn)共線．
17．（10分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上，G為AB中點(diǎn)．
（1）求證：CG∥平面C1DF；
（2）在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．①F為BB1的中點(diǎn)；②AB1＝；③AA1＝．
18．（10分）如圖示，正方形ABCD與正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ⊥BQ；
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使面PCN⊥面PQB？并證明你的結(jié)論．
19．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，AD上，EF∥AB，使BE⊥EC．
（1）若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF？若存在的值；若不存在
（2）求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離．
2023-2024學(xué)年北京理工大附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）
1．（4分）若點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則A，b（ ）
A．A∈b∈βB．A?b?βC．A∈b?βD．A?b∈β
【答案】C
【分析】點(diǎn)A在直線b上，記作A∈b，b在平面β內(nèi)，記作b?β．
【解答】解：∵點(diǎn)A在直線b上，
∴A∈b，
∵b在平面β內(nèi)，
∴b?β．
∴A∈b?β．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查平面的上點(diǎn)和直線之間，直線和平面之間的位置關(guān)系的表示方法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
2．（4分）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個(gè)底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知直觀圖根據(jù)斜二測化法規(guī)則畫出原平面圖形，
計(jì)算平面圖形的面積即可．
【解答】解：由已知直觀圖根據(jù)斜二測化法規(guī)則畫出原平面圖形，
如圖所示；
∴這個(gè)平面圖形的面積為：
．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了斜二側(cè)畫法的平面圖形面積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知圓錐的底面半徑為1，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通過圓錐的側(cè)面展開圖，求出圓錐的底面母線，然后求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．
【解答】解：圓錐的底面半徑為1，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，
所以圓錐的底面周長為：2π，
圓錐的母線長為：2，圓錐的高為：；
圓錐的體積為：π×12×＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的側(cè)面展開圖，利用扇形求出底面周長，然后求出體積，考查計(jì)算能力，常規(guī)題型．
4．（4分）已知平面α∥平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，則a、b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交C．異面D．不確定
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由平面與平面平行的性質(zhì)可得a∥b，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分析可得：．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，涉及直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PC于點(diǎn)A′，B′，若PA′：AA′＝2：3，則S△A′B′C′：S△ABC＝（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：25
【答案】D
【分析】由面面平行得到△A′B′C′∽△ABC，再由相似三角形得到面積比為相似比的平方，即可得到面積比．
【解答】解：由圖知，∵平面α∥平面ABC，
∴AB∥平面α，
又由平面α∩平面PAB＝A′B′，則A′B′∥AB，
∵PA′：AA′＝2：3，即PA′：PA＝3：5
∴A′B′：AB＝2：7，
由于相似三角形得到面積比為相似比的平方，
所以S△A′B′C′：S△ABC＝4：25．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查面面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若＝+x+y，y的值分別為（ ）
A．1，1B．1，C．，D．，1
【答案】C
【分析】畫出正方體，表示出向量，為+的形式，可得x、y的值．
【解答】解：如圖，
++（）．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，向量加減運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．
（多選）7．（4分）給出下列命題，其中是真命題的有（ ）
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析是否正確即可．
【解答】解：對于A，棱柱的側(cè)棱都相等，不一定全等；
對于B，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，PA⊥PB，所以PA⊥平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC，
同理可得，平面PAB⊥平面PAC，選項(xiàng)B正確；
對于C，四棱柱中，則該四棱柱為直四棱柱；
對于D，存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體，三個(gè)側(cè)面是直角三角形，所以選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評】本題考查了棱柱的空間結(jié)構(gòu)特征及其應(yīng)用問題，也考查了對基礎(chǔ)概念的理解問題，是基礎(chǔ)題．
8．（4分）我國南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖暅，提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．利用此原理求以下幾何體的體積：曲線y＝x2（0≤y≤L）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面α上，用平行于平面α，得截面圓的面積為．由此構(gòu)造右邊的幾何體Z1：其中AC⊥平面α，AC＝L，AA1?α，AA1＝π，它與Z在等高處的截面面積都相等，圖中EFPQ為矩形，F(xiàn)P＝l，則幾何體Z的體積為（ ）
A．πL2B．πL3C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得幾何體Z1為棱柱，再由已知利用棱柱體積公式求解．
【解答】解：由幾何體Z1可知，△AFP為等腰直角三角形，
∴△ACB為等腰直角三角形，且AC＝BC＝L，
又AA1＝π，
∴＝．
∴幾何體Z的體積為．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查棱柱體積的求法，考查祖暅原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
9．（4分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在面對角線AC上運(yùn)動，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．D1P∥平面A1BC1
B．平面PDB1⊥平面A1BC1
C．三棱錐A1﹣BPC1的體積不變
D．D1P⊥BD
【答案】D
【分析】通過證明平面D1AC∥平面A1BC1可判斷A；通過證明DB1⊥平面A1BC1可判斷B；三棱錐V三棱錐A1﹣BPC1?三棱錐B﹣PA1C1的體積，然后計(jì)算即可判斷C；通過證明BD不與平面D1AC垂直可判斷D．
【解答】解：如圖所示：
對于A，由正方體ABCD﹣A1B1C6D1，可知AD1∥BC6，A1B∥D1C，
可得平面D6AC∥平面A1BC1，
又D8P?平面D1AC，
∴得D1P∥平面A2BC1，故A正確；
對于B，連接B1C、BC2，由正方體ABCD﹣A1B1C6D1，可知B1C⊥BC6，BC1⊥DC，
可得BC1⊥平面DCB3，又B1D?平面DCB1，可得B2D⊥BC1，
同理B1D⊥BC5，
可得B1D⊥平面A1BC3，
又B1D?平面PDB1，所以可得平面PDB4⊥平面A1BC1，故B正確；
對于C，設(shè)點(diǎn)B到平面A4ACC1的距離為d、正方體棱長為1，
可得V三棱錐A6﹣BPC1＝V三棱錐B﹣PA1C7＝S△A8PC1?d＝××7××＝，故C正確；
對于D，由正方體ABCD﹣A4B1C1D7，可知BD⊥AC，
假設(shè)D1P⊥BD，則BD⊥平面D1AC，則BD⊥AD6，
可知△AB1D1是等邊三角形，
∴B2D1不與AD1垂直，
又B5D1∥BD，
∴BD不與AD1垂直，
∴假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查棱柱棱錐的結(jié)構(gòu)特征、線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，屬于中檔題．
10．（4分）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，BD∩AC＝O，M是線段D1O上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面ACD1的垂線交平面A1B1C1D1于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可證，N在B1D1上，過N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，設(shè)NG＝x，利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)，求函數(shù)的最小值．
【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B5，又MN⊥平面ACD1，
∴MN?平面BDD1B3，∴N∈B1D1
過N作NG⊥A4B1，交A1B2于G，將平面A1B1C7D1展開，如圖：
設(shè)NG＝x，（0≤x≤6），
∴AN＝＝＝≥，
當(dāng)x＝時(shí)最小．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)模型，利用二次函數(shù)求最小值是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分.）
11．（4分）已知兩個(gè)球的半徑之比為2：3，則它們的表面積之比為 ，體積之比為 ．
【答案】；．
【分析】根據(jù)球的表面積公式以及體積公式即可求解．
【解答】解：設(shè)兩個(gè)球的半徑為R，r，由題意可得R：r＝2：3，
所以表面積之比為，
體積之比為．
故答案為：；．
【點(diǎn)評】本題考查球體的體積與表面積公式，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．
12．（4分）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 60° ．
【答案】60°．
【分析】連接B1D1，D1C，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得∠D1B1C（或其補(bǔ)角）即為所求，即可得出答案．
【解答】解：連接B1D1，D2C，如圖所示：則B1D1∥EF，
故∠D5B1C（或其補(bǔ)角）即為所求，
又B1D7＝D1C＝B1C，則∠D3B1C＝60°，
故答案為：60°．
【點(diǎn)評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（4分）如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與原長方體體積的比為 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)體積公式計(jì)算求解即可；
【解答】解：設(shè)長方體的邊長為a，b，c，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了棱柱和棱錐體積的求法，屬基礎(chǔ)題．
14．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，設(shè)，，，則向量＝ （用表示）
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】作出如圖的圖象，把三個(gè)向量看作是基向量，由向量的線性運(yùn)算將用三個(gè)基向量表示出來，再用表示即可得到答案
【解答】解：由題意三棱柱ABC﹣A1B1C6中，M、N分別是A1B、B1C2上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C4N＝2B1N，由圖，
＝＝
又，，，
∴＝
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，考查了向量加法與減法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減法的法則，根據(jù)圖象將所研究的向量用基向量表示出來，本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，是向量在幾何中運(yùn)用的基礎(chǔ)題型．
15．（4分）已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱，過BD1作平面α分別交棱AA1，CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形BFD1E面積的最小值為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】點(diǎn)E到D1F的距離d＝BC＝1，當(dāng)BE取最小值時(shí)四邊形BFD1E面積取最小值，由此能求出四邊形BFD1E面積的最小值．
【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C5D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，
側(cè)棱，過BD1作平面α分別交棱AA7，CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∵點(diǎn)E到D1F的距離d＝BC＝8，
四邊形BFD1E面積S＝BE×d＝BE×BC＝BE，
∴當(dāng)BE取最小值時(shí)四邊形BFD1E面積取最小值，
∵BEmin＝＝，
∴四邊形BFD1E面積的最小值為Smin＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查截面面積的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
三、解答題共4題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
16．（10分）如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，且BG：GC＝DH：HC＝1：2．
（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)EG與HF交于點(diǎn)P，求證：P、A、C三點(diǎn)共線．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用三角形的中位線平行于第三邊；平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行線的傳遞性得到EF∥GH
據(jù)兩平行線確定以平面得證．
（2）利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，得證．
【解答】證明：（1）∵，E、F分別是AB
∴EF∥BD
∵BG：GC＝DH：HC＝1：2
∴GH∥BD
∴EF∥GH
E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）∵EG與HF交于點(diǎn)P
∵EG?面ABC
∴P在面ABC內(nèi)，
同理P在面DAC
又∵面ABC∩面DAC＝AC
∴P在直線AC上
∴P、A、C三點(diǎn)共線．
【點(diǎn)評】本題考查三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件、證三點(diǎn)共線常用的方法．
17．（10分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上，G為AB中點(diǎn)．
（1）求證：CG∥平面C1DF；
（2）在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．①F為BB1的中點(diǎn)；②AB1＝；③AA1＝．
【答案】（1）（2）詳見證明過程．
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）選①③能證明AB1⊥平面C1DF，推導(dǎo)出DF⊥AB1，C1D⊥AB1，即證得AB1⊥平面C1DF．
【解答】證明：（1）如圖示：
∵ABC﹣A1B1C6是直三棱柱，
又D是A1B1的中點(diǎn)，G是AB中點(diǎn)，
連接DG，則DG＝CC8且DG∥CC1，
∴四邊形CGDC1是矩形，
∴CG∥C3D，
∵C1D?平面C1DF，CG不在平面C7DF上，
∴CG∥平面C1DF；
（2）選①③能證明AB1⊥平面C7DF：
連接DF，A1B，∴DF∥A1B，
在△ABC中，AC＝BC＝8，
則AB＝，又AA1＝，則A1B⊥AB1，
∴DF⊥AB8，
∵C1D⊥平面AA1B6B，AB1?平面AA1B8B，
∴C1D⊥AB1，又DF∩C5D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行，垂直的判定定理，考查推理論證能力，屬于中檔題．
18．（10分）如圖示，正方形ABCD與正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ⊥BQ；
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使面PCN⊥面PQB？并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解答；（2）在線段AB上存在一點(diǎn)N，且N為AB的中點(diǎn)，使面PCN⊥面PQB，證明見解答．
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；
（2）在線段AB上存在一點(diǎn)N，且N為AB的中點(diǎn)，使面PCN⊥面PQB．由線面垂直的性質(zhì)和判定，推得CN⊥平面PBQ，進(jìn)而得到面面垂直．
【解答】解：（1）證明：由正方形ABCD與正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中點(diǎn)，
可得PQ⊥AD，PQ⊥平面ABCD，
而BQ?平面ABCD，則PQ⊥BQ；
（2）在線段AB上存在一點(diǎn)N，且N為AB的中點(diǎn)．
證明：由（1）可得PQ⊥平面ABCD，
又CN?平面ABCD，可得PQ⊥CN．
由N為AB的中點(diǎn)，可得BN＝，
在直角三角形BCN中，tan∠BCN＝＝，
在直角三角形AQB中，tan∠AQB＝，
而∠CBQ＝AQB，則tan∠CBQ＝tan∠AQB＝2，
tan∠CBQ?tan∠BCN＝8，
可得∠CBQ+∠BCN＝90°，
即有CN⊥BQ，
可得CN⊥平面PBQ，
又CN?平面PCN，可得面PCN⊥面PQB．
【點(diǎn)評】本題考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
19．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，AD上，EF∥AB，使BE⊥EC．
（1）若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF？若存在的值；若不存在
（2）求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）取，可得，過點(diǎn)P作MP∥FD交AF于點(diǎn)M，連接EM，則有，結(jié)合已知條件可證四邊形MPEC為平行四邊形，因此CP∥平面ABEF；
（2）設(shè)BE＝x，得AF＝x（0＜x≤4），F(xiàn)D＝6﹣x，則，因此當(dāng)x＝3時(shí)，VA﹣CDF有最大值，在△ACD中，由余弦定理得cs∠ADC的值，進(jìn)一步求出sin∠ADC的值，求出S△ADC，設(shè)點(diǎn)F到平面ADC的距離為h，由于VA﹣CDF＝VF﹣ACD，求出h即點(diǎn)F到平面ADC的距離．
【解答】解：（1）AD上存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF．
證明：當(dāng)時(shí)，，
過點(diǎn)P作MP∥FD交AF于點(diǎn)M，連接EM，
∵BE＝4，可得FD＝5，又EC＝3，
故有MP＝∥EC，故四邊形MPEC為平行四邊形，
∴CP∥平面ABEF成立；
（2）設(shè)BE＝x，∴AF＝x（7＜x≤4），
故．
∴當(dāng)x＝8時(shí)，VA﹣CDF有最大值，且最大值為3，
此時(shí)EC＝1，AF＝5，，在△ACD中，
∴，，
設(shè)點(diǎn)F到平面ADC的距離為h，由于VA﹣CDF＝VF﹣ACD，即，
∴，即點(diǎn)F到平面ADC的距離為．
【點(diǎn)評】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、一元二次不等式的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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