2023-2024學(xué)年安徽省六安市金安區(qū)皋城中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列二次根式是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列度數(shù)可能是邊形內(nèi)角和的是(    )A.  B.  C.  D. 3.將方程配方后，原方程變形為(    )A.  B.  C.  D. 4.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 5.下列函數(shù)中，隨增大而增大的是(    )A.  B.  C.  D. 6.如圖，已知，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是(    )

 A.  B.  C.  D. 7.如圖，在中，為上一點(diǎn)，若，，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 8.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)年版首次把學(xué)生學(xué)會炒菜納入勞動(dòng)教育課程，并作出明確規(guī)定某班有名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會炒的菜品的種數(shù)依次為：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，9.如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，當(dāng)：：時(shí)，則(    )A.
B.
C.
D. 10.如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點(diǎn)的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得的周長最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.
B.
C. 或
D. 以上都不正確第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）11.已知，，，是成比例線段，期中，，，則 ______ ．12.如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線和與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為______ ．
 13.如圖，、是函數(shù)上兩點(diǎn)，為一動(dòng)點(diǎn)，作軸，軸，若，則______．
 14.如圖，點(diǎn)是菱形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，先以為對稱軸將折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，再以為對稱軸折疊，使得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，以為對稱軸折疊，使得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，則：
______ ；
若，則的值為______ ．
三、解答題（本大題共9小題，共90.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.本小題分
計(jì)算：．16.本小題分
已知線段、、，且．
求的值；
若線段、、滿足，求、、的值．17.本小題分

如圖，，與交于點(diǎn)，且，，．
求的長．
求證：∽．
18.本小題分已知拋物線．求證：此拋物線與軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；若此拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)在軸上，求的值．19.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和．
求反比例函數(shù)的解析式；
直接寫出不等式的解集；
點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
20.本小題分
如圖，四邊形是平行四邊形，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，連接，且．
求證：四邊形是菱形；
連接，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，求四邊形的面積．
21.本小題分

某校開展數(shù)學(xué)競賽競賽成績?yōu)榘俜种?/span>，并隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競賽成績本次競賽沒有滿分，經(jīng)過整理數(shù)據(jù)得到以下信息：
信息一：名學(xué)生競賽成績頻數(shù)分布直方圖如圖所示，從左到右依次為第一組到第五組每組數(shù)據(jù)含前端點(diǎn)值，不含后端點(diǎn)值．
信息二：第三組的成績單位：分為：，，，，，，，，，，，．
根據(jù)信息解答下列問題：
補(bǔ)全第二組頻數(shù)分布直方圖直接在圖中補(bǔ)全；
第三組競賽成績的眾數(shù)是______ 分，抽取的名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是______ 分；
若該校共有名學(xué)生參賽，請估計(jì)該校參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)．
22.本小題分
如圖，在中，、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，．
若即、重合，則 ______ 時(shí)，∽；
若，，則與相似嗎？為什么？
當(dāng)和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，∽？請說明理由．
23.本小題分
某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為萬元件設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬元件，售價(jià)與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
求，的值；
設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為件，且與滿足關(guān)系式．
當(dāng)時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？
當(dāng)時(shí)，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
C.的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．
本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：，
解得：，
則不符合題意；
，
解得：，
則不符合題意；
，
解得：，
則符合題意；
，
解得：，
則不符合題意；
故選：．
結(jié)合各項(xiàng)中的度數(shù)，利用多邊形的內(nèi)角和公式列方程求得的值后判斷是否為不小于的整數(shù)即可．
本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故選A．
此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．
配方法的一般步驟：
把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；
把二次項(xiàng)的系數(shù)化為；
等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為，一次項(xiàng)的系數(shù)是的倍數(shù)．4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，得，
解得，．
故選：．
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將代入已知反比例函數(shù)的解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程，通過解方程即可求得的值．
此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，是中學(xué)階段的重點(diǎn)．解答此題時(shí)，借用了“反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”這一知識點(diǎn)．5.【答案】 【解析】解：由題意，對于，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，
不符合題意，符合題意．
選項(xiàng)A是反比例函數(shù)，取值范圍分兩個(gè)區(qū)間，故不符合題意；
對于選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，
不符合題意．
故選：．
依據(jù)題意，分別根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷可以得解．
本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：

添加選項(xiàng)后，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
添加選項(xiàng)后，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
選項(xiàng)C中不是夾這個(gè)角的兩邊，所以不相似；
添加選項(xiàng)后，兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
故選：．
此題考查了相似三角形的判定：
如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
根據(jù)已知條件及相似三角形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．7.【答案】 【解析】解：，
．
，
，
，
，
．
設(shè)，則．
如圖，作于點(diǎn)，
，
，
．
，
，
解得，舍去．
故選：．
先證明，設(shè)，則作于點(diǎn)，根據(jù)列方程求解即可．
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：這組數(shù)據(jù)，，，，，，中出現(xiàn)次，次數(shù)最多，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，
中位數(shù)為．
故選：．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可．
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．9.【答案】 【解析】解：連接，
四邊形是正方形，
，，
，，，
四邊形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
：：，
：：，
，，
，
，，，
≌，
，
故選：．
先證四邊形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求，的長，由勾股定理可求的長，由“”可證≌，可得．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：如圖，拋物線的對稱軸為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，
，
解得．
該拋物線的解析式為，
．
的周長，且是定值，所以只需最?。?/span>
如圖，過點(diǎn)作關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)則．
設(shè)直線的解析式為：，則，
解得，
故該直線的解析式為．
當(dāng)時(shí)，，即．
同理，如圖，過點(diǎn)作關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，連接，則只需與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．
如果點(diǎn)在軸上，則三角形的周長；如果點(diǎn)在軸上，則三角形的周長；
所以點(diǎn)在時(shí)，三角形的周長最?。?/span>
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故選：．
首先，求得拋物線的解析式，根據(jù)拋物線解析式求得的坐標(biāo)；欲使的周長最小，的長度一定，所以只需取最小值即可．
然后，過點(diǎn)作關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)如圖；過點(diǎn)作關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，連接，則只需與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)如圖．
本題考查了二次函數(shù)的綜合題．在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一定要注意題目要求是“要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)”，所以應(yīng)該找軸和軸上符合條件的點(diǎn)，不要漏解，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤剑?/span>11.【答案】 【解析】解：已知，，，是成比例線段，
根據(jù)比例線段的定義得：，
代入，，，
，
解得：，
故答案為：．
由、、、四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義解答．
此題考查了比例線段以及比例的性質(zhì)．注意根據(jù)題意構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：拋物線的對稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
拋物線和與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
故答案為：．
根據(jù)拋物線的對稱性即可得出結(jié)論．
本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對稱性，關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．13.【答案】 【解析】解：如圖，延長交軸于，延長交軸于，

軸，軸，又，
四邊形是矩形，
點(diǎn)，在雙曲線上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
求出矩形，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可得出結(jié)論．
本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積公式、掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．14.【答案】  【解析】解由折疊可知：，，
，
，
；
如圖，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，
四邊形是菱形，
，
，
設(shè)菱形的邊長為，
，
，
設(shè)，
則，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
解得，
，，
∽，
．
故答案為：．
根據(jù)菱形性質(zhì)和折疊性質(zhì)證明即可；
過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，然后根據(jù)∽，進(jìn)而可以解決問題．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．15.【答案】解：原式
． 【解析】先利用二次根式的性質(zhì)、絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后合并即可．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和零指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．16.【答案】解：設(shè)，則，，，
；
，
，
，
，，． 【解析】設(shè)，，．
代入計(jì)算即可；
構(gòu)建方程求出即可．
此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出，，進(jìn)而得出的值是解題關(guān)鍵．17.【答案】解：，
；
，
∽；
，
；
證明：，，
，
，
∽． 【解析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
利用相似三角形的判定解答即可．
此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證明∽．18.【答案】證明：令得：，


，
方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
原拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
解：令，根據(jù)題意有：，
解得或． 【解析】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與解析式的關(guān)系，拋物線與軸的交點(diǎn)等．
根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)與圖象的關(guān)系，證明其方程有兩個(gè)不同的根即即可；
根據(jù)題意，令，整理方程可得關(guān)于的方程，解可得的值．19.【答案】解：把點(diǎn)代入直線得：
，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
即反比例函數(shù)的解析式為，
把點(diǎn)代入直線得，，
解得，
，
觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
不等式的解集為或；
把代入得：，
解得：，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
，
，
，即，
，
當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，則，解得，
當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，則，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【解析】把點(diǎn)代入直線得到關(guān)于的一元一次方程，解之，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可求得的值，即可得到答案，
把點(diǎn)代入直線得到關(guān)于的一元一次方程，解之，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方的的取值范圍，即可得到答案；
把代入一次函數(shù)解析式，解之得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的面積，進(jìn)一步求得的面積，根據(jù)三角形面積公式即可求得的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20.【答案】證明：，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
為等腰三角形，
，
四邊形是菱形；
解：四邊形是菱形，
，，，
，
為的中點(diǎn)，
，
，，
，，
，
，
負(fù)值已經(jīng)舍去，
，，
四邊形的面積． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，再證，得為等腰三角形即可得出結(jié)論；
由菱形的性質(zhì)得，，，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后根據(jù)勾股定理和菱形面積公式即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、菱形的面積、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.【答案】   【解析】解：第組組的人數(shù)為：人，
補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：


將第三組的成績單位：分從小到大排列為為：，，，，，，，，，，，．
第組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是，共出現(xiàn)次，因此眾數(shù)是分，
抽取的人的成績從小到大排列處在第、位的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為分，因此中位數(shù)是分，
故答案為：，；

人，
答：估計(jì)該校參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)有人．
計(jì)算出第組組的人數(shù)，即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義，分別求出第組的眾數(shù)，樣本中位數(shù)；
樣本估計(jì)總體，樣本中分以上的占，因此估計(jì)總體人的是分以上的人數(shù)．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的意義是求出答案的前提，理解頻數(shù)分布直方圖的意義是解決問題的關(guān)鍵．22.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，∽．
理由：如圖，

，
，
，，
，
∽．
故答案為：；
結(jié)論：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
結(jié)論：．
理由：，
，
，
當(dāng)時(shí)，則有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
根據(jù)垂直的定義和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．23.【答案】解：把時(shí)，；時(shí)，代入得：
，
解得，；
設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為萬元，
由知，當(dāng)時(shí)，，
，
，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
工廠第個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是萬元；
當(dāng)時(shí)，，

，
則與的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，
則只能為，，，
當(dāng)，時(shí)，
的取值范圍． 【解析】用待定系數(shù)法求出，的值即可；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)利潤售價(jià)成本設(shè)備的數(shù)量，可得出關(guān)于的二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
求出時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式，再畫出關(guān)于的函數(shù)圖象的簡圖，由題意可得結(jié)論．
本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，明確一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．

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