?鄖陽中學(xué)、恩施高中、沙市中學(xué)、隨州二中、襄陽三中
高二上11月聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)試卷
命題學(xué)校：沙市中學(xué) 命題教師：呂躍 審題教師：劉超
考試時間：2022年11月17日下午 試卷滿分：150分
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．)
1. 若，，則等于( )
A. 5 B. C. 7 D.
2. 已知點(diǎn)到直線距離為，則等于( )
A. B. C. D.
3. 如圖是根據(jù)某市1月1日至1月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是( )

A. 2℃ B. -1℃ C. -0.5℃ D. ℃
4. 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則( )
A. B. C. D.
5. 從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的3人中恰有2名女同學(xué)的概率為( )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.2
6. 已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則( )

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
7. 如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，滿足，下列結(jié)論錯誤的是( )

A. 平面平面；
B. 點(diǎn)到直線的距離；
C. 若二面角的平面角的余弦值為，則；
D. 點(diǎn)A到平面的距離為．
8. 已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A. B. C. D.
二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9. 以下四個命題表述正確的是( )
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 已知直線與直線互相垂直，則
C. 圓的圓心到直線的距離為2
D. 兩圓與的公共弦所在的直線方程為
10. 已知圓：，直線：，下面命題中正確的是( )
A. 對任意實(shí)數(shù)與，直線和圓有公共點(diǎn)；
B 對任意實(shí)數(shù)與，直線與圓都相離；
C. 存在實(shí)數(shù)與，直線和圓相交；
D. 對任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切.
11. 某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面千米，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為，則

A. B. C. D.
12. 在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則( )
A. 當(dāng)時，平面
B. 當(dāng)時，三棱錐體積為定值
C. 當(dāng)時，的面積為定值
D. 當(dāng)時，直線與所成角范圍為
三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)
13. 若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．
14. 若向量，，共面，則______．
15. 已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是___________．
16. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為___________.
四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
17. 已知直線過點(diǎn).
(1)若直線與垂直，求直線的方程；
(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
18. 如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且．

(1)求證：；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．
19. 某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否正確回答互不影響．
(1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；
(2)求該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率．
20. 第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；
(2)計算本次面試成績的眾數(shù)和平均成績；
(3)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率19%，請估算被錄取至少需要多少分.
21. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，E是棱BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段PE的中點(diǎn)．

(1)求證：平面ADF；
(2)是否存在點(diǎn)E，使得平面DEP與平面ADF所成角的余弦值為？若存在，請求出線段BE的長；若不存在，請說明理由．
22. 已知半徑為的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線與圓C相切．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若圓C的一條弦經(jīng)過點(diǎn)，求這條弦的最短長度．
(3)已知，P為圓C上任意一點(diǎn)，試問在y軸上是否存在定點(diǎn)B(異于點(diǎn)A)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
鄖陽中學(xué)、恩施高中、沙市中學(xué)、隨州二中、襄陽三中
高二上11月聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)試卷
命題學(xué)校：沙市中學(xué) 命題教師：呂躍 審題教師：劉超
考試時間：2022年11月17日下午 試卷滿分：150分
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．)
1. 若，，則等于( )
A. 5 B. C. 7 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量的四則運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】∵，，∴兩式相加得，
∴，∴，
∴，
故選：B．
2. 已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式即可得出答案.
【詳解】解：由題意得．
解得或．，．
故選：C.
3. 如圖是根據(jù)某市1月1日至1月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是( )

A. 2℃ B. -1℃ C. -0.5℃ D. ℃
【答案】C
【解析】
【分析】通過折線圖，將這10天的最低氣溫按從小到大順序，第4，第5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第40百分位數(shù).
【詳解】由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照
從小到大排列為：，，，，，，，，，，因?yàn)楣灿?0個數(shù)據(jù)，所以
是整數(shù)，則這10天的最低氣溫的
第40百分位數(shù)是(℃).
故選：C
4. 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法求解即可.
【詳解】解：設(shè)，故有①，②，
所以，兩式作差得，即，
所以，，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，
所以，
所以
故選：A
5. 從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的3人中恰有2名女同學(xué)的概率為( )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.2
【答案】A
【解析】
【分析】用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解即可
【詳解】設(shè)2名男生為，3名女生為，
則任選3人的種數(shù)為
，
，
共10種，
其中恰有2名女生的有
，，
共6種，
故恰有一名女同學(xué)的概率 .
故選：A．
6. 已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則( )

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.
【詳解】四面體的所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，
則，
因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，
，
所以.
故選：D
7. 如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，滿足，下列結(jié)論錯誤的是( )

A. 平面平面；
B. 點(diǎn)到直線的距離；
C. 若二面角的平面角的余弦值為，則；
D. 點(diǎn)A到平面的距離為．
【答案】D
【解析】
【分析】A選項，作出輔助線，證明出AC⊥BC，結(jié)合平面可得線線垂直，從而證明線面垂直，最后證明出面面垂直；B選項，求出點(diǎn)P到直線CD的距離即為PC的長度，利用勾股定理求出答案；C選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解；D選項，過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H，證明AH的長即為點(diǎn)A到平面的距離，求出AH的長.
【詳解】A選項，因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以CD，
故∠PBA即為與底面所成的角，，
因?yàn)椋?br /> 所以PA=AB=1，
因?yàn)椋?br /> 取AD中點(diǎn)F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，
則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，
所以AC⊥CD，
又因?yàn)椋?br /> 所以CD⊥平面PAC，
因?yàn)镃D平面PCD，
所以平面平面PCD，A正確；

由A選項的證明過程可知：CD⊥平面PAC，
因?yàn)槠矫鍼AC
所以CD⊥PC，
故點(diǎn)P到直線CD的距離即為PC的長度，
其中
由勾股定理得：，B正確；
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
其中平面ACD的法向量為，設(shè)平面ACE的法向量為，
則，令得：，
所以，

設(shè)二面角的平面角為，顯然，
其中，
解得：或，
因?yàn)椋?，C正確；
過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H，
由于CD⊥平面APC，平面APC，
所以AH⊥CD，
因?yàn)椋?br /> 所以AH⊥平面PCD，
故AH即為點(diǎn)A到平面PCD的距離，
因?yàn)镻A⊥AC，
所以，D選項錯誤

故選：D
8. 已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.
詳解：因?yàn)闉榈妊切?，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率為得，，
由正弦定理得,
所以，故選D.
點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.
二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9. 以下四個命題表述正確的是( )
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 已知直線與直線互相垂直，則
C. 圓的圓心到直線的距離為2
D. 兩圓與的公共弦所在的直線方程為
【答案】AB
【解析】
【分析】將直線轉(zhuǎn)化為對恒成立，即可判斷A是否正確；根據(jù)直線垂直的關(guān)系可知，解出的值，即可判斷B是否正確；求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷C是否正確；將兩圓方程聯(lián)立作差，即可求解兩個圓的公共弦方程，進(jìn)而判斷D是否正確；
【詳解】直線，即對恒成立，所以直線恒過定點(diǎn)，所以A正確；
因?yàn)榕c直線互相垂直，所以，所以，所以B正確；
因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離為，所以C錯誤；
將兩圓與方程聯(lián)立，作差可得，所以D錯誤.
故選：AB
10. 已知圓：，直線：，下面命題中正確的是( )
A. 對任意實(shí)數(shù)與，直線和圓有公共點(diǎn)；
B. 對任意實(shí)數(shù)與，直線與圓都相離；
C. 存在實(shí)數(shù)與，直線和圓相交；
D. 對任意實(shí)數(shù)，必存實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意求得圓與直線有公共點(diǎn)；求得圓心到直線的距離為；即可得出答案.
【詳解】解：對于A，圓：的圓心為，半徑為；無論取何值，都有，∴圓過定點(diǎn)；
又直線：可化為，過定點(diǎn)；
∴直線和圓有公共點(diǎn)，A正確；
對于B，圓心到直線的距離為，其中；∴，故B錯誤；
根據(jù)B的分析，可得C?D正確.
故選：ACD
11. 某顆人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面千米，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為，則

A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)條件數(shù)形結(jié)合可知，然后變形后，逐一分析選項，得到正確答案.
【詳解】因?yàn)榈厍虻闹行氖菣E圓的一個焦點(diǎn)，
并且根據(jù)圖象可得 ，(*)
，故A正確；
，故B正確；
(*)兩式相加，可得，故C不正確；
由(*)可得 ，兩式相乘可得
，
，故D正確.
故選ABD
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用問題，意在考查抽象，概括，化簡和計算能力，本題的關(guān)鍵是寫出近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的方程，然后變形化簡.
12. 正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則( )
A. 當(dāng)時，平面
B. 當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C. 當(dāng)時，的面積為定值
D. 當(dāng)時，直線與所成角的范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A選項，確定點(diǎn)在面對角線上，通過證明面面平行，得線面平行；
對于B選項，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；
對于C選項，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；
對于D選項，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.
【詳解】對于A選項，如下圖，當(dāng)時，點(diǎn)在面對角線上運(yùn)動，
又平面，所以平面，
在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，
所以，，平面，平面，平面，
同理可證平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，A正確；

對于B選項，當(dāng)時，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，
三棱錐的體積為定值，B正確；

對于C選項，當(dāng)時，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，過作于點(diǎn)，
則，其大小隨著的變化而變化，C錯誤；

對于D選項，如圖所示，當(dāng)時，，，三點(diǎn)共線，
因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，
在正中，的取值范圍為，D正確.

故選：ABD.
三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)
13. 若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．
【答案】和.
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，得到，得出對角線所在直線的斜率為，結(jié)合兩角和的正切公式，求得，再結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，其斜率，
則其中一條對角線所在直線的傾斜角為，其斜率為，
根據(jù)題意值，可得，解得，
即正方形其中一邊所在直線的斜率為，
又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為.
故答案為：和.
14. 若向量，，共面，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】共面，，，解得：，
.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求函數(shù)的定義域，再將原問題轉(zhuǎn)換為半圓與直線存在2個交點(diǎn).
【詳解】 的定義域?yàn)?，
原問題等價于 與 有兩個交點(diǎn)，求k的取值范圍，
為過定點(diǎn) 的直線， ，所以 為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的x軸的上半部分，
與 的大致圖像如下：

考慮直線與半圓相切的情況： ，解得 (舍)或 ，
.
故答案為： .
16. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍.求出M的軌跡即可求得該最大值.
【詳解】的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離之和，其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍.
由題可知，為等邊三角形，則，
∴AB中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
故點(diǎn)到直線的最大距離為，
∴的最大值為，
∴的最大值為＝.
故答案為：.
四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
17. 已知直線過點(diǎn).
(1)若直線與垂直，求直線的方程；
(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或
【解析】
【分析】(1)由垂直斜率關(guān)系求得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出方程；
(2)分別討論截距為0、不為0，其中不為0時可設(shè)為，代入點(diǎn)P，即可求得參數(shù)m
【小問1詳解】
直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線的方程為，即；
小問2詳解】
當(dāng)截距為0時，直線的方程為；
當(dāng)截距不為0時，直線設(shè)為，代入解得，故直線的方程為.
綜上，直線的方程為或
18. 如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且．

(1)求證：；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】
【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用向量法證明；
(2)直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值
【詳解】(1)建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，
則，，
所以，即，
所以.
(2)由(1)知，，，
則，
因?yàn)镋F與CG所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.
19. 某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否正確回答互不影響．
(1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；
(2)求該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)把該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的事件視為三個相互獨(dú)立事件的積，再用概率的乘法公式計算即可；
(2)把該選手至多進(jìn)入第二輪考核的事件拆成兩個互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式計算即得.
【詳解】記“該選手正確回答第i輪問題”為事件，則，，，
該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的事件為，其概率為；
該選手至多進(jìn)入第二輪考核的事件為，其概率為.
20. 第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；
(2)計算本次面試成績的眾數(shù)和平均成績；
(3)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%，請估算被錄取至少需要多少分.
【答案】(1)；
(2)眾數(shù)為70，平均成績?yōu)?9.5分；
(3)78分.
【解析】
【分析】(1)先算出第五組頻率，可得.后由前兩組頻率和為0.3可得.
(2)由眾數(shù)，平均數(shù)計算公式可得答案.
(3)中位數(shù)對應(yīng)錄取率為，本題即是求頻率所對應(yīng)分?jǐn)?shù).
【小問1詳解】
由題圖可知組距為10.
第三組，第四組頻率之和為，又后三組頻率和為0.7，
則第五組頻率為0.05，第一組頻率也為0.05，故第二組頻率為0.25.
得.
【小問2詳解】
由題圖可知第三個矩形最高，故眾數(shù)為.
平均數(shù)為.
【小問3詳解】
前三組頻率之和為.
前四組頻率之和為.
故頻率0.81對應(yīng)分?jǐn)?shù)在75到85之間.
設(shè)分?jǐn)?shù)為，則有，解得.
故若要求選拔錄取率為19%，至少需要78分.
21. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，E是棱BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段PE的中點(diǎn)．

(1)求證：平面ADF；
(2)是否存在點(diǎn)E，使得平面DEP與平面ADF所成角的余弦值為？若存在，請求出線段BE的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)不存在，理由見解析.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.
(2)由(1)中坐標(biāo)系，求出平面DEP與平面ADF的法向量，再利用面面角的向量求法計算判斷作答.
【小問1詳解】
在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，，

則，，，
于是，，有，，
又，平面，平面，
因此平面.
【小問2詳解】
由(1)平面ADF的法向量為，
又，，設(shè)平面的法向量為，
則，不妨令，則，
故平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面所成角為，則，
解得或，此時點(diǎn)在線段的延長上，
所以，不存在這樣的點(diǎn).
21. 在數(shù)列中，已知， .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記，數(shù)列的前項和為，求使得的整數(shù)的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)5
【解析】
【分析】(1)計算，，得到等比數(shù)列的證明.
(2)確定，，根據(jù)裂項相消法得到，代入不等式計算得到答案.
【小問1詳解】
，得，，，
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
小問2詳解】
，故，故，
，
，即，即，，故，
故使得的最大整數(shù)為.
22. 已知半徑為的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線與圓C相切．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若圓C的一條弦經(jīng)過點(diǎn)，求這條弦的最短長度．
(3)已知，P為圓C上任意一點(diǎn)，試問在y軸上是否存在定點(diǎn)B(異于點(diǎn)A)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
【解析】
【分析】(1)由題意圓心坐標(biāo)為，，可設(shè)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，從而可得出答案．
(2)先判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的集合性質(zhì)可得直線與這條弦垂直時，這條弦的長度最短從而可得出答案．
(3)設(shè)，，，分別表示出，，由為定值得出答案．
【小問1詳解】
由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，，則圓的方程為．
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以點(diǎn)到直線的距離，
因?yàn)?，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)直線與這條弦垂直時，這條弦的長度最短，
故所求最短弦長為．
【小問3詳解】
假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，，，
則，
則，
當(dāng)，即舍去)時，為定值，
且定值為，故存在定點(diǎn)，且的坐標(biāo)為

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