?2020-2021學(xué)年海南省儋州市鑫源中學(xué)普高班高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一．單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）
1．（5分）拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知f（x）＝lnx+ex，則f′（1）＝（　?。?br /> A．2 B．1+e C．e D．e﹣1
3．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x的導(dǎo)數(shù)是（　?。?br /> A．2cos2x B．﹣2cos2x C．2sin2x D．﹣2sin2x
4．（5分）橢圓+y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為（　?。?br /> A．4 B．8 C．12 D．16
5．（5分）等差數(shù)列1，2a，4a2，…的第五項(xiàng)等于（　?。?br /> A． B．1 C．5 D．16
6．（5分）函數(shù)y＝x2（x﹣3）的減區(qū)間是（　?。?br /> A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣2，2）
7．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx，則f（x）（　?。?br /> A．﹣e B． C．e2 D．﹣
8．（5分）P為雙曲線）上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝60°，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A．+1 B． C．2 D．4
二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，則a6的值可以為（　?。?br /> A．﹣2 B．64 C．﹣32 D．﹣64
（多選）10．（5分）下列求導(dǎo)的結(jié)果正確的是（　?。?br /> A． B．（1﹣2x）′＝﹣2
C．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx D．（e﹣x）′＝e﹣x
（多選）11．（5分）如圖是y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象（　　）

A．f（x）在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)
B．x＝﹣1是f（x）的極小值點(diǎn)
C．f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上是增函數(shù)，在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)
D．x＝1是f（x）的極大值點(diǎn)
（多選）12．（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，﹣3）、B（2，0）和P（x，y）（﹣1＜x＜2，y＜0）＝1（m＞0，n＞0）上，則（　?。?br /> A．C的焦點(diǎn)為（±2，0） B．C的離心率為
C．直線PA的斜率小于1 D．△PAB的面積最大值為3
三、填空題（每小題5分，共20分）
13．（5分）雙曲線2x2﹣y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是　 　．
14．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則＝　 ?。?br /> 15．（5分）已知曲線y＝2x2+4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16．則P點(diǎn)坐標(biāo)為　 ?。?br /> 16．（5分）雙曲線的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為　 ?。?br /> 四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）已知函數(shù)，
（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
（2）求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程．
18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x2﹣4x+5
（1）求f（x）的增區(qū)間；
（2）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，____．請(qǐng)?jiān)冖賏n+1＝2an，②其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1＝3Sn+1，③其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an+1＝2Sn+1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并解答下列問(wèn)題：
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn＝an+3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Tn．
20．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝﹣1，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣處取得極值．
（1）確定a的值；
（2）若g（x）＝f（x）ex，討論g（x）的單調(diào)性．
22．（12分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為（﹣2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y＝x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2＝1上，求m的值．

2020-2021學(xué)年海南省儋州市鑫源中學(xué)普高班高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）
1．（5分）拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程．
【解答】解：∵拋物線方程可化為，∴，
∴拋物線y＝3x2的準(zhǔn)線方程為．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知f（x）＝lnx+ex，則f′（1）＝（　　）
A．2 B．1+e C．e D．e﹣1
【分析】由題意，先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再將x＝1代入即可求解．
【解答】解：已知f（x）＝lnx+ex，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
可得f′（x）＝+ex，
所以f′（1）＝5+e．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x的導(dǎo)數(shù)是（　　）
A．2cos2x B．﹣2cos2x C．2sin2x D．﹣2sin2x
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)和三角函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可．
【解答】解：f′（x）＝（sin2x）′＝（2x）′cos5x＝2cos2x．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）橢圓+y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為（　?。?br /> A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】求得橢圓的a＝2，再由橢圓的定義可得△AF1B的周長(zhǎng)為c＝4a＝8．
【解答】解：橢圓 +＝1的a＝4，
由橢圓的定義可得，
△AF8B的周長(zhǎng)為c＝|AB|+|AF2|+|BF2|
＝（|AF7|+|AF1|）+（|BF1|+|BF3|）
＝2a+2a＝2a＝8．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）等差數(shù)列1，2a，4a2，…的第五項(xiàng)等于（　　）
A． B．1 C．5 D．16
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)列方程求出a＝．從而等差數(shù)列為1，1，1，???，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：等差數(shù)列1，2a5，…，中，
2×2a＝4+4a2，
解得a＝．
∴等差數(shù)列為1，7，1，???，
∴等差數(shù)列1，2a2，…的第五項(xiàng)等于1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）函數(shù)y＝x2（x﹣3）的減區(qū)間是（　?。?br /> A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣2，2）
【分析】求出y′，要求函數(shù)的減函數(shù)，即要y′小于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的減區(qū)間．
【解答】解：y′＝3x2﹣4x，由y′＜02﹣3x＜0，
因式分解得3x（x﹣2）＜0，可化為或
解得0＜x＜8．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性，會(huì)求一元二次不等式的解集，是一道中檔題．
7．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx，則f（x）（　　）
A．﹣e B． C．e2 D．﹣
【分析】確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的最小值．
【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵f（x）＝xlnx，
∴f′（x）＝lnx+1＝8，可得x＝，
∴0＜x＜，f′（x）＜0，f′（x）＞3，
∴x＝時(shí)，f（x）的極小值為﹣．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
8．（5分）P為雙曲線）上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝60°，則該雙曲線的離心率為（　　）
A．+1 B． C．2 D．4
【分析】由直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義和雙曲線的定義、離心率公式，可得所求值．
【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則|F1F2|＝7c，
在直角三角形PF1F2中，PF8⊥PF2，且∠PF1F7＝60°，
可得|PF1|＜|PF2|，|PF7|＝2csin60°＝c，|PF2|＝2csin60°＝c，
由雙曲線的定義可得|PF2|﹣|PF2|＝2a，即c﹣c＝2a，
可得e＝＝＝+1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，則a6的值可以為（　?。?br /> A．﹣2 B．64 C．﹣32 D．﹣64
【分析】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6即可計(jì)算出a1與q的值，從而可計(jì)算出a6的值．
【解答】解：根據(jù)題意，由{an}是等比數(shù)列，得a2a6＝a4a7＝﹣2a2，解得a1＝﹣2，
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則S5＝﹣2﹣2q﹣4q2＝﹣6，解得q＝﹣3或q＝1，
當(dāng)q＝﹣2時(shí)，a7＝（﹣2）6＝64；
當(dāng)q＝5時(shí)，a6＝﹣2．
故選：AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）下列求導(dǎo)的結(jié)果正確的是（　?。?br /> A． B．（1﹣2x）′＝﹣2
C．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx D．（e﹣x）′＝e﹣x
【分析】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，進(jìn)而即可求解．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：＝0；
對(duì)于選項(xiàng)B：（4﹣2x）′＝﹣2，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：（e﹣x）′＝（﹣x）′e﹣x＝﹣e﹣x，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）如圖是y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象（　　）

A．f（x）在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)
B．x＝﹣1是f（x）的極小值點(diǎn)
C．f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上是增函數(shù)，在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)
D．x＝1是f（x）的極大值點(diǎn)
【分析】由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象，可判斷f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性與極值，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷可得答案．
【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象可知，
f（x）在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是減函數(shù)；
在區(qū)間[﹣8，2]上是增函數(shù)，4]上是減函數(shù)，3]上是增函數(shù)、C均正確；
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，熟練掌握導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，﹣3）、B（2，0）和P（x，y）（﹣1＜x＜2，y＜0）＝1（m＞0，n＞0）上，則（　?。?br /> A．C的焦點(diǎn)為（±2，0） B．C的離心率為
C．直線PA的斜率小于1 D．△PAB的面積最大值為3
【分析】根據(jù)題中的條件，可以確定橢圓方程，進(jìn)而可以作出判斷．
【解答】解：有題意可知，∴，
∴，c2＝12﹣4＝4，
所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，e＝，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
∵P（x，y）（﹣1＜x＜2，
∴，由題意可知點(diǎn)P只能在A，B，
∴kPA＜kAB＝1，故C正確，
由題意知|AB|＝＝3，
又由kAB＝1，得直線AB方程為y＝x﹣2，
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴P（5cosθ，2，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離為d＝＝，
∵﹣1＜x＜2，y＜3，
∴時(shí)，距離d最大為，
∴△PAB面積最大值為＝3．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，三角形的面積最值，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題（每小題5分，共20分）
13．（5分）雙曲線2x2﹣y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是　4　．
【分析】雙曲線2x2﹣y2＝8化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，即可求得實(shí)軸長(zhǎng)．
【解答】解：雙曲線2x2﹣y5＝8化為標(biāo)準(zhǔn)方程為
∴a2＝4
∴a＝7
∴2a＝4
即雙曲線4x2﹣y2＝2的實(shí)軸長(zhǎng)是4
故答案為：4
【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則＝　?。?br /> 【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可得＝＝代入可求．
【解答】解：∵q＝2，
∴＝＝＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
15．（5分）已知曲線y＝2x2+4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16．則P點(diǎn)坐標(biāo)為?。?，30）?。?br /> 【分析】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，2+4x0），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值為16求解x0得答案．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x0，2+4x8），
由y＝2x2+5x，得y′＝4x+4，
則＝4x0+8，
令4x0+7＝16，得x0＝3，
∴P（4，30）．
故答案為：（3，30）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）雙曲線的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為　?。?br /> 【分析】先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而可知雙曲線的焦距，根據(jù)雙曲線的離心率求得m，最后根據(jù)m+n＝1求得n，則答案可得．
【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為（2，0），而雙曲線，則a＝，
則有 解得m＝
∴mn＝
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．解題的關(guān)鍵是對(duì)圓錐曲線的基本性質(zhì)能熟練掌握．
四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）已知函數(shù)，
（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
（2）求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程．
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解即可．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以y＝（x）′﹣（，即y'＝8+；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)（3，0）在切線上x(chóng)＝1＝8，
所以切線方程為y﹣0＝2×（x﹣4），即2x﹣y﹣2＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，屬基礎(chǔ)題．
18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x2﹣4x+5
（1）求f（x）的增區(qū)間；
（2）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，列出f（x）在[﹣3，1]上的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出函數(shù)的極值與端點(diǎn)值，即可求解函數(shù)的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝x3+2x6﹣4x+5，
∴f′（x）＝6x2+4x﹣3，
令f′（x）＞0，則x＜﹣2或，則﹣2，
∴所求增區(qū)間為；
（2）令f′（x）＝0，得x＝﹣4或x＝，
x
[﹣4，﹣2）
﹣2
（﹣5，）


f′（x）
+
0
﹣
8
+
f（x）
增函數(shù)
13
減函數(shù)

增函數(shù)
∵f（﹣3）＝（﹣3）7+2×（﹣3）7+4×3+7＝8．
f（﹣2）＝13，
f（）＝，
f（1）＝13+2×14﹣4×1+5＝4．
∴函數(shù)的最大值為13，最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，____．請(qǐng)?jiān)冖賏n+1＝2an，②其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1＝3Sn+1，③其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an+1＝2Sn+1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并解答下列問(wèn)題：
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn＝an+3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Tn．
【分析】若選①．（1）由已知可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝2n﹣1+3n，再由數(shù)列的分組求和結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；
若選②．（1）由已知可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝3n﹣1+3n，再由數(shù)列的分組求和結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；
若選③．（1）由已知可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝3n﹣1+3n，再由數(shù)列的分組求和結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．
【解答】解：若選①．
（1）a1＝1，an+4＝2an，
則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則；
（2）bn＝an+7n，則bn＝2n﹣1+6n，
可得
＝（80+26+...+2n﹣1）+2×（1+2+...+n）
＝＝．
若選②．
（1）a1＝2，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1＝3Sn+2，
則Sn＝3Sn﹣1+4（n≥2），可得an+1＝8an（n≥2），
由a1＝2，Sn+1＝3Sn+4，得a1+a2＝3a1+1，可得a5＝2a1+2＝3，
滿(mǎn)足，則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，則；
（2）bn＝an+7n，則bn＝3n﹣1+6n，
可得
＝（40+32+...+3n﹣1）+8×（1+2+...+n）
＝＝．
若選③．
（1）a8＝1，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an+1＝5Sn+1，
則an＝2Sn﹣7+1（n≥2），可得an+2＝3an，
由an+1＝7Sn+1，得a2＝4a1+1＝8，
滿(mǎn)足，則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則；
（2）bn＝an+3n，則bn＝6n﹣1+3n，
可得
＝（37+31+...+3n﹣1）+3×（3+2+...+n）
＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．
20．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝﹣1，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4＝﹣1，S3＝﹣15，可解得公差d，利用通項(xiàng)公式可得an；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵S3＝﹣15．
∴3a3＝﹣15，解得a2＝﹣5，
∵a4＝﹣1，
∴2d＝a8﹣a1＝4，解得d＝7，
∴an＝a4+（n﹣4）×d＝﹣2+（n﹣4）×2＝3n﹣9；
（2）由（1）可知，a1＝﹣6，
＝n2﹣2n＝（n﹣4）2﹣16，
當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最小值﹣16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣處取得極值．
（1）確定a的值；
（2）若g（x）＝f（x）ex，討論g（x）的單調(diào)性．
【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）＝ax3+x2（a∈R）在處取得極值，可得f′（﹣）＝0，即可得出答案；
（2）由（1）得g（x）＝（x3+x2）ex，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g（x）的單調(diào)性．
【解答】解：（1）由題意得f′（x）＝3ax2+6x，
因?yàn)閒（x）＝ax3+x2（a∈R）在處取得極值，
所以f′（﹣）＝0，
所以3a?+2×（﹣，
解得a＝．
（2）由（1）得g（x）＝（x3+x6）ex，
所以g′（x）＝（x6+2x）ex+（x3+x2）ex＝x（8x2+33x+18）ex，
令g′（x）＝0得x＝0，x＝，
當(dāng)x＜時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)＜x＜時(shí)，故g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)＜x＜3時(shí)，故g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
綜上所述，g（x）在（﹣∞，，0）內(nèi)為減函數(shù)，）和（0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類(lèi)討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
22．（12分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為（﹣2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y＝x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2＝1上，求m的值．
【分析】（1）直接由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入圓的方程求得m的值．
【解答】解：（1）由題意橢圓C：+＝1（a＞b＞4）的離心率為，5），
得a2＝b2+c6．c＝2，可得a＝2，
∴橢圓C的方程為：．
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x4，y1），（x2，y6），線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），
由，消去y得2+4mx+7m2﹣8＝7，
Δ＝16m2﹣12（2m6﹣8）＝96﹣8m3＞0，∴﹣2，
∵x0＝（x1+x4）＝﹣m，
∴y7＝x0+m＝m，
∵點(diǎn)M（x0，y0）在圓x3+y2＝1上，
∴m2+m2＝6，∴m＝±．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/18 9:23:56；用戶(hù)：15290311958；郵箱：15290311958；學(xué)號(hào)：48861359

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