2023-2024學(xué)年天津市南開中學(xué)高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（五）一、單選題（本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)集合，，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.設(shè)，則“”是“”的
(    )A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3.函數(shù)，圖象大致為(    )A.  B.
C.  D. 4.函數(shù)的最大值為(    )A.  B.  C.  D. 5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為(    )A.  B.  C.  D. 6.已知，則(    )A.  B.  C.  D. 7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為若的最小正周期為，且，則(    )A.  B.  C.  D. 8.已知函數(shù)，其中，給出下列四個(gè)結(jié)論
函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)；
函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是
函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為
函數(shù)的遞增區(qū)間為，．
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(    )A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)9.函數(shù)在區(qū)間的值域是，則常數(shù)所有可能的值的個(gè)數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）10.已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則的模是          ．11.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為          ．12.的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，則        ．13.對(duì)于，有如下命題：
若，則一定為等腰三角形．
若，則一定為等腰三角形．
若，則一定為鈍角三角形．
若，則一定為銳角三角形．
則其中正確命題的序號(hào)是______ 把所有正確的命題序號(hào)都填上14.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：
在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn)在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)
在單調(diào)遞增的取值范圍是
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______．15.已知函數(shù)，設(shè)，，表示，中的較大值，表示，中的較小值，記得最小值為，的最大值為，則______．三、解答題（本大題共5小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
中，角，，所對(duì)的邊分別為，，已知．
Ⅰ求角的大?。?/span>
Ⅱ設(shè)，，求和的值．17.本小題分
設(shè)函數(shù)
Ⅰ求函數(shù)的最小正周期；
Ⅱ求函數(shù)在上的最大值與最小值．18.本小題分
如圖，平面，，，，，．

Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值；
Ⅲ若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．19.本小題分
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．
Ⅰ求橢圓的方程；
Ⅱ設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若為原點(diǎn)，且，求直線的斜率．20.本小題分
設(shè)，，已知函數(shù)，．
求的單調(diào)區(qū)間；
已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，
求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于；
若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查集合的交集、并集運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求，再求．【解答】
解：集合，，
則，
，
；
故選：．2.【答案】 【解析】【分析】本題考查充分必要條件，考查解不等式問題，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)充分、必要條件的定義結(jié)合不等式的解法可推結(jié)果．【解答】
解：，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分條件，
即是的必要不充分條件．
故選：．3.【答案】 【解析】解：函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，排除，
由于，，
故排除，
故選：．
利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，然后利用特殊值判斷即可．
本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．4.【答案】 【解析】解：，
令，，
則函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，，
圖象開口向下，對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，
故選：．
利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
本題主要考查三角函數(shù)最值的求法，考查誘導(dǎo)公式及二倍角公式，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以，
又，所以，
因?yàn)?/span>，
所以，
故，
故．
故選：．
利用，可求得的范圍，利用，可求得的范圍，利用，可求得的范圍，從而得到它們的大小關(guān)系．
本題考查了數(shù)值大小的比較，涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用特殊值進(jìn)行比較，屬于中檔題．6.【答案】 【解析】【分析】本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和萬能公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和萬能公式化簡(jiǎn)后求出，利用二倍角公式求出的值．
【解答】
解：由，
則，即，
可得，
解得．
那么．
故選C．7.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，結(jié)合條件求出，和的值是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)條件求出和的值，結(jié)合函數(shù)變換關(guān)系求出的解析式，結(jié)合條件求出的值，利用代入法進(jìn)行求解即可．【解答】
解：是奇函數(shù)，，
則，
將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
即，
的最小正周期為，
，得，
則，，
若，則，即，
則，則，
故選C．8.【答案】 【解析】解：．
，即函數(shù)的最小正周期為，
但，函數(shù)不是奇函數(shù)．命題錯(cuò)誤；
，
函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是命題正確；
，
函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為命題正確；
由，得：
．
函數(shù)的遞增區(qū)間為，命題正確．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè)．
故選：．
展開兩角和的余弦公式后合并同類項(xiàng)，然后化積化簡(jiǎn)的解析式．
由周期公式求周期，再由說明命題錯(cuò)誤；
直接代值驗(yàn)證說明命題正確；
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間說明命題正確．
本題考查型函數(shù)的性質(zhì)，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，關(guān)鍵是對(duì)教材基礎(chǔ)知識(shí)的記憶，是中檔題．9.【答案】 【解析】解：函數(shù)，
化簡(jiǎn)可得：，
，，
，
則，
而，
那么：，即．
的結(jié)果必然是或．
當(dāng)時(shí)，解得滿足題意．
當(dāng)時(shí)，解得滿足題意．
常數(shù)所有可能的值的個(gè)數(shù)為．
故選C：
利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，求出其范圍，根據(jù)值域是，建立關(guān)系，討論常數(shù)所有可能的值．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】
解：復(fù)數(shù)，
．
故答案為：．11.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)問題，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，然后令的指數(shù)為即可得到的值，代入的值即可算出常數(shù)項(xiàng)．【解答】
解：由題意可知：
此二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：
，
當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)．
此時(shí)．
故答案為：．12.【答案】 【解析】解：的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
聯(lián)立解得，
則．
故答案為：．
利用正弦定理和余弦定理列出方程組，能求出結(jié)果．
本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】 【解析】【分析】
本題借助命題考查三角形的有關(guān)知識(shí)，屬于一般題．
根據(jù)正余弦定理及兩角和差的正切公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．
【解答】
解：或，為等腰或直角三角形，故不正確．
或，又，不可能成立，故A，一定是等腰三角形，故正確．
由可得
由正弦定理可得
再由余弦定理可得，為鈍角，命題正確．



、、全為銳角，命題正確．
故答案是．14.【答案】 【解析】解：已知在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，如圖，

其圖象的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在上，此時(shí)在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn)，但在可能有或個(gè)極小值點(diǎn)，所以正確，不正確；
令，，且，在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，
在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，，故正確．
當(dāng)時(shí)，，
又，，，
在上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞增，故正確．
故答案為：．
對(duì)可以通過作圖判別，對(duì)于令，由，結(jié)合題意得到不等式，解出范圍即可，對(duì)于證明出當(dāng)時(shí)，即可．
本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15.【答案】 【解析】解：，
，
當(dāng)時(shí)，或；
又，
；
，，
；
故答案為：．
由時(shí)解得的值，求出、，即得與的表達(dá)式，從而計(jì)算的值．
本題考查了新定義下的二次函數(shù)的值域問題，解題時(shí)應(yīng)深刻理解題意，求出與的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
． 【解析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查正余弦定理的運(yùn)用．
Ⅰ由正弦定理得，結(jié)合，由此能求出．
Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．17.【答案】解：Ⅰ，
函數(shù)的最小正周期；
由得，
，
，
，
，
在上的最大值是，
最小值是． 【解析】Ⅰ由三角恒等變換化簡(jiǎn)，得到最小正周期．
Ⅱ得到后可以由的范圍得到的值域，由此得到最大最小值．
本題考查由三角恒等變換以及由的范圍得到的值域．18.【答案】Ⅰ證明：因?yàn)?/span>平面，，在平面內(nèi)，
則，，又，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，．
設(shè)，則．
則是平面的法向量，又，可得．
又直線平面，
平面；
Ⅱ解：依題意，，，．
設(shè)為平面的法向量，
則
令，得．
．
直線與平面所成角的正弦值為；
Ⅲ解：設(shè)為平面的法向量，
則
取，可得，
由題意，，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
線段的長(zhǎng)為． 【解析】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，利用空間向量求解線面角與二面角的大小，是拔高題．
Ⅰ以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，的坐標(biāo)，設(shè)，得可得是平面的法向量，再求出，由，且直線平面，得平面；
Ⅱ求出，再求出平面的法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值；
Ⅲ求出平面的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為列式求線段的長(zhǎng)．19.【答案】解：Ⅰ由題意可得，即，
則，，
解得，，
故橢圓方程為；
Ⅱ，，設(shè)的方程為，
代入橢圓方程，
可得，
解得或，
即有，
，令，可得，
又，，
可得，解得，
可得的斜率為． 【解析】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
Ⅰ由題意可得，運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系，可得，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
Ⅱ，，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，由，運(yùn)用斜率之積為，解方程即可得到所求值．20.【答案】解：由，可得，
令，解得或由，得．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
證明：，由題意知，
，解得．
在處的導(dǎo)數(shù)等于；
解：，，由，可得．
又，，
故為的極大值點(diǎn)，由知．
另一方面，由于，故，
由知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，從而在上恒成立．
由，得，．
令，，
，
令，解得舍去，或．
，，，故的值域?yàn)?/span>．
的取值范圍是． 【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是難題．
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，列表后可得的單調(diào)區(qū)間；
求出的導(dǎo)函數(shù)，由題意知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得到結(jié)論
由知且在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，從而在上恒成立．由，得，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其值域可得的范圍．

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