石門高級中學2023-2024學年度第一學期高一級數(shù)學科第一次統(tǒng)測試題（全卷共4頁，供高一年級1-20班使用，）  命題人：鄭兆圣注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。3.考試結(jié)束后，及時上交答題卡.一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，，則（    ）A.  B.C.  D.2.設(shè)集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（    ）A. B. C. D.3.設(shè)，則下列命題正確的是（    ）A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則4.設(shè)集合，，，則的取值范圍為（    ）A. B. C. D.5.設(shè)：，：，那么是的條件（    ）A.充分不必要  B.必要不充分C.充要  D.既不充分也不必要6.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（    ）A. B.C.  D.7.為不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現(xiàn)群眾對舒適的居住條件、更優(yōu)美的環(huán)境、更豐富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造，改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂噴泉綜合體，該項目由長方形核心噴泉區(qū)（陰影部分）和四周綠化帶組成.規(guī)劃核心噴泉區(qū)的面積為，綠化帶的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當整個項目占地面積最小時，則核心噴泉區(qū)的邊長為（    ）A. B. C. D.8.關(guān)于的不等式恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A. B.C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知集合，，，則集合可以表示為（    ）A.  B.C.  D.10.下列說法中正確的是（    ）A.“，都是偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的充要條件B.“兩個三角形全等”是“兩個三角形的面積相等”的充分不必要條件C.“”是“關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解”的必要不充分條件D.“”是“”的既不充分也不必要條件11.下列結(jié)論正確的是（    ）A.若，則的最小值為2B.若，，則C.若，，且，則的最大值為9D.若，則的最大值為212.已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的有（    ）A.B.C.的最小值為6D.不等式的解集為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.集合，，若，.則______.14.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.15.已知關(guān)于的方程，則該方程有兩個正根的充要條件是______.16.設(shè)，，，則的最小值為______.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題10.0分）已知集合，，.（1）求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18.（本小題12.0分）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池.由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過，且高度一定.如果四周池壁的造價為400元，中間兩道隔墻的造價為248元，池底造價為80元，那么如何設(shè)計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）19.（本小題12.0分）已知集合，集合.（1）當時，求，；（2）設(shè)，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.20.（本小題12.0分）已知，，.（1）求的最小值；（2）證明：.21.（本小題12.0分）（1）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸的兩個交點的橫坐標，的平方和為15，求該二次函數(shù)的解析式.（2）在（1）條件下，當時，求一元二次不等式的解集.22.（本小題12.0分）新學期開學季，成都某學校附近又新開了一家奶茶店，其中有一種名為“奶茶三兄弟”的飲品很受學生歡迎，老板費盡心思想在這種飲品上賺得第一桶金，其銷售的價格在一學期不同周次有所變化.設(shè)開始時每杯定價10元，從第一次周開始每周漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售，10周后，學生的新鮮感已過，平均每周削價2元，直到16周周末，老板為了讓學生安心準備期末考試復習而不掛念“三兄弟”，該飲品暫停銷售.（1）試求該飲品每杯價格（元）與周次之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若此飲品每杯成本價（元）與周次之間的關(guān)系是，，，試問該飲品第幾周每杯的銷售利潤最大，并求出最大值.  石門高級中學2023-2024學年度第一學期高一級數(shù)學科第一次統(tǒng)測試題答案和解析1.【?案】D解：集合，，可得，，，所以D正確.故選D.2.【答案】D解：由Venn圖可知，陰影部分的元素為屬于集合但不屬于集合的元素構(gòu)成，所以陰影部分表示的集合為，∵集合，，，∴，∴∴圖中陰影部分表示的集合為，故選D.3.【答案】D解：A：令，，，，則，故錯誤；B：令，，則，故錯誤；C：令，，，，則，故錯誤；D：因為，所以即，故正確；故選D.4.【答案】C解：∵，∴，由于集合，若要，則必有，故選C.5.【答案】B解：由得，即，于是得，所對集合分別為，顯然，所以是的必要不充分條件.故選：B6.【答案】A解：∵的解集為，∴的根為，2即，，解得，則不等式可化為，即為，解得.故答案選：A.7.【答案】B解：設(shè)，知，∴整個項目占地面積為.當且僅當，即時取等號.∴當整個項目占地面積最小時，則核心噴泉區(qū)的邊長為.故選B.8.【答案】B解：恰有2個整數(shù)解，即恰有2個整數(shù)解，所以，解得或.①當時，不等式的解為，又，故2個整數(shù)解為1和2，則，即，解得；②當時，不等式的解為，又，故2個整數(shù)解為，，則，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選B.9.【答案】ABD解：∵，，，∴，∴，故選項A正確：∴，∴，故選項B正確；∵，∴∴，故選項C錯誤，∴，∴，故選項D正確，故選ABD.10.【答案】BC解：A.若“，都是偶數(shù)”“是偶數(shù)”，反之不成立，例如，可以都是奇數(shù)，因此“，都是偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的充分不必要條件，不正確；B.“兩個三角形全等”“兩個三角形的面積相等”，反之不成立，因此“兩個三角形全等”是“兩個三角形的面積相等”的充分不必要條件，正確；C.關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解，可得：，且，解得，且∴“”是“關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解”的必要不充分條件，正確；D.“”“”，反之不成立，因此“”是“”的必要不充分條件，錯誤.故選：BC.11.【答案】AB解：A、因為，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為2，故A正確；B、，，則，當且僅當時取等號，故B正確：C、，且，則，當且僅當，時取等號，所以的最小值為9，故C錯誤；D、因為，則，則，當且僅當，即時取等號，故的最大值為1，故D錯誤.故選AB.12.【答案】BC解：關(guān)于的不等式的解集為，函數(shù)開口向下，與軸交點橫坐標為2，3，A選項，，故錯誤；B選項，依題可得時，函數(shù)值小于0，即，故B正確；C選項，因為開口向下與軸交點橫坐標為2，3，所以，即，且，.當且僅當時，即時取等號，故C正確，D選項，不等式可化為，即，解集為，故D錯誤.故選：BC.13.【答案】30解：集合，又，，所以，所以，解得，即，故答案為30.14.【答案】解：命題“，使”的否定是：“，使”即：，∴，故答案是15.【答案】或解：關(guān)于的方程，即，則該方程有兩個正根的充要條件是，且，解得：或，因此該方程有兩個正根的充要條件是：或.故答案為：或，16.【答案】解：，當且僅當，即，或，時等號成立.故所求的最小值為.17.【答案】解：（1）∵，，∴.又，∴（5分）（2）如圖.要使，則.（10分）18.【答案】解：設(shè)污水池總造價為元，污水池長為.則寬為，水池外圈周壁長為，中間隔墻長，池底面積.∴.當且僅當，即，時，.即當污水池長為，寬為時，總造價最低，最低為44800元.（12分）19.【答案】解：（1）時，，集合，∴，.（6分）（2）時，，.∵“”是“”的必要不充分條件，∴，∴，解得.∴實數(shù)的取值范圍是（12分）20.【答案】解：（1），，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為；（6分）（2）證明：要證明，由，，兩邊同時乘，即證，因為，當且僅當時等號成立，即有，即，當且僅當時等號成立，故.21.【答案】解：（1）根據(jù)題意，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，則，則有，又由該函數(shù)與軸的兩個交點的橫坐標，的平方和為15，即，則有，故，即，故；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，，則一元二次不等式即，變形可得，當時，，此時不等式的解集為；當時，若，即，此時不等式的解集為，若，即，此時不等式的解集為；若，即，此時不等式的解集為；綜合可得：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，此時不等式的解集為，當時，不等式的解集為（12分）22.【答案】解：（1）由題意得當且時，；當且時，；當且時，，綜上所述，（2）由（1）得，，，設(shè)利潤為，則，∴當且時，，∴當時，；當且時，，∴當時，；當且時，，∴當時，，∵∴該飲品第5周每杯的銷售利潤最大，且最大值9.125元.（12分） 

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