?第二講 電場能的性質
? 知識梳理
一、靜電力做功和電勢能
1．靜電力做功
(1)特點：靜電力做的功與電荷經過的路徑無關，只與電荷量和電荷移動的初末位置有關。
(2)計算方法
①W＝qEd，只適用于勻強電場，其中d為帶電體沿電場方向的位移。
②WAB＝qUAB，適用于任何電場。
2．電勢能
(1)定義：電荷在電場中具有的勢能，稱為電勢能。
(2)說明：電勢能具有相對性，通常把電荷在離場源無限遠處或把電荷在大地表面的電勢能規(guī)定為0。
3．二者關系
(1)靜電力做的功等于電荷電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB。
(2)通過WAB＝EpA－EpB可知：靜電力對電荷做多少正功，電荷的電勢能就減少多少；靜電力對電荷做多少負功，電荷的電勢能就增加多少。
二、電勢和等勢面
1．電勢
(1)定義：電荷在電場中某一點的電勢能與它的電荷量之比。
(2)定義式：φ＝（計算時注意φ、q、Ep都要帶正負號）。
(3)矢標性：電勢是標量，有正負之分，正(負)號表示該點電勢比零電勢高(低)。
(4)相對性：電勢具有相對性，同一點的電勢因選取零電勢點的不同而不同。
2．等勢面
(1)定義：電場中電勢相同的各點構成的面。
(2)四個特點
①在同一等勢面上移動電荷時電場力不做功。
②電場線一定與等勢面垂直，并且從電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面。
③等差等勢面越密的地方電場強度越大，反之越小。
④任意兩個等勢面都不相交。
三、電勢差
1．定義：在電場中，兩點之間電勢的差值。
2．定義式：UAB＝φA－φB。
3．與靜電力做功的關系
(1)靜電力做的功WAB等于電荷在A、B兩點的電勢能之差。
(2)電勢差UAB由電場本身的性質決定，與移動的電荷q及電場力做的功WAB無關，與零電勢點的選取無關。
4．電勢差與電場強度
(1)電勢差與電場強度的關系式：UAB＝Ed，其中d為電場中兩點間沿電場方向的距離。
(2)電場強度的方向和大小與電勢差的關系：電場中，電場強度方向指向電勢降低最快的方向。
? 知識訓練
考點一、電場力做功、電勢和電勢能
1．判斷電場力做功的正負：
(1)根據電場力與速度夾角：夾角是銳角，電場力做正功．夾角是鈍角，電場力做負功．
(2)根據WAB＝qUAB：由q和UAB的正負，判斷WAB的正負．
2．判斷電勢能的變化：
(1)根據電場力做功：電場力做正功，電勢能減少，電場力做負功，電勢能增加．
(2)根據Ep＝φq：正電荷在電勢越高處電勢能越大；負電荷在電勢越高處電勢能越小．
3．判斷電勢高低：
(1)根據電場線：沿電場線的方向電勢降低．
(2)根據UAB＝：判斷UAB正負，確定φA和φB的高低．
例1、電荷量為q的電荷在電場中由A點移到B點時，電場力做功W，由此可算出兩點間的電勢差為U，若讓電荷量為2q的電荷在電場中由A點移到B點，則(　　)
A．電場力做功仍為W　　　 B．電場力做功為
C．兩點間的電勢差仍為U D．兩點間的電勢差為
【答案】C　
【解析】兩點間電勢差與移動的電荷無關，電場力做功變?yōu)閃′＝2qU＝2W，只有C正確。
例2、(2019·江蘇高考)(多選)如圖所示，ABC為等邊三角形，電荷量為＋q的點電荷固定在A點。先將一電荷量也為＋q的點電荷Q1從無窮遠處(電勢為0)移到C點，此過程中，電場力做功為－W。再將Q1從C點沿CB移到B點并固定。最后將一電荷量為－2q的點電荷Q2從無窮遠處移到C點。下列說法正確的有(　　)

A．Q1移入之前，C點的電勢為
B．Q1從C點移到B點的過程中，所受電場力做的功為0
C．Q2從無窮遠處移到C點的過程中，所受電場力做的功為2W
D．Q2在移到C點后的電勢能為－4W
【答案】ABD
【解析】根據電場力做功與電勢能變化的關系知Q1在C點的電勢能Ep＝W，根據電勢的定義式知C點電勢φ＝＝，A正確；在A點的點電荷產生的電場中，B、C兩點處在同一等勢面上，Q1從C點移到B點的過程中，電場力做功為0，B正確；將Q1移到B點固定后，再將Q2從無窮遠處移到C點，兩固定點電荷對Q2的庫侖力做的功均為2W，則電場力對Q2做的總功為4W，C錯誤；因為無窮遠處電勢為0，則Q2移到C點后的電勢能為－4W，D正確。
例3、如圖所示，A點與B點間距離為2l，OCD是以B為圓心，以l為半徑的半圓路徑．A、B兩處各放有一點電荷，電荷量分別為＋q和－q.下列說法正確的是(　　)

A．單位正電荷在O點所受的靜電力與在D點所受的靜電力大小相等、方向相反
B．單位正電荷從D點沿任意路徑移到無限遠，靜電力做正功，電勢能減小
C．單位正電荷從D點沿DCO移到O點，電勢能增大
D．單位正電荷從O點沿OCD移到D點，電勢能增大
【答案】C
【解析】電荷量為＋q的電荷在O點產生的電場強度大小為：E1＝k，方向向右；電荷量為－q的電荷在O點產生的電場強度大小為E2＝k，方向向右，所以O點的合場強為E＝2k，方向向右，單位正電荷在O點受到的靜電力大小為：F＝2ek，方向向右．電荷量為＋q的電荷在D點產生的電場強度大小為：E2＝k，方向向右；電荷量為－q的電荷在D點產生的電場強度大小為E3＝k，方向向左，所以D點的合場強為E′＝k，方向向左，單位正電荷在D點受到的靜電力大小為：F′＝ke，方向向左，A錯誤；因為D點靠近負電荷，遠離正電荷，所以D點的電勢為負，無限遠處電勢為零，而正電荷從低電勢向高電勢處運動靜電力做負功，電勢能增大，B錯誤；等量異種電荷連線的中點處電勢為零，故O點電勢比D點電勢高，正電荷在電勢高處電勢能大，則在O點電勢能比在D點電勢能大，C正確，D錯誤．
例4、(多選)(2020·山東卷·10)真空中有兩個固定的帶正電的點電荷，電荷量不相等．一個帶負電的試探電荷置于二者連線上的O點時，僅在電場力的作用下恰好保持靜止狀態(tài)．過O點作兩正電荷連線的垂線，以O點為圓心的圓與連線和垂線分別交于a、c和b、d，如圖所示．以下說法正確的是(　　)

A．a點電勢低于O點
B．b點電勢低于c點
C．該試探電荷在a點的電勢能大于在b點的電勢能
D．該試探電荷在c點的電勢能小于在d點的電勢能
【答案】BD
【解析】作出兩個固定點電荷分別在O點附近的電場線，由題意知，O點的場強EO＝0，則兩點電荷分別在O點處產生電場的電場線疏密相同，進而推知O點左側的電場方向向右，O點右側的電場方向向左．可以判定：a點電勢高于O點，b點電勢低于c點，故A錯誤，B正確；由Ep＝φq可知，a點的電勢高于b點，試探電荷(帶負電)在a點的電勢能比b點小，故C錯誤；c點電勢高于d點，試探電荷(帶負電)在c點的電勢能小于d點，故D正確．

l 課堂隨練
訓練1、(2021·高考廣東卷，T6)圖是某種靜電推進裝置的原理圖，發(fā)射極與吸極接在高壓電源兩端，兩極間產生強電場，虛線為等勢面，在強電場作用下，一帶電液滴從發(fā)射極加速飛向吸極，a、b是其路徑上的兩點，不計液滴重力，下列說法正確的是(　　)

A．a點的電勢比b點的低
B．a點的電場強度比b點的小
C．液滴在a點的加速度比在b點的小
D．液滴在a點的電勢能比在b點的大
【答案】D
【解析】高壓電源左為正極，則所加強電場的場強向右，而沿著電場線電勢逐漸降低，可知φa>φb，故A錯誤；等差等勢線的疏密反映場強的大小，由題圖可知a處的等勢線較密，則Ea>Eb，故B錯誤；液滴的重力不計，根據牛頓第二定律可知，液滴的加速度為a＝，因Ea>Eb，可得aa>ab，故C錯誤；液滴在電場力作用下向右加速，則電場力做正功，動能增大，電勢能減小，即Epa>Epb，故D正確。
訓練2、(多選)(2022·沈陽5月第三次教學質檢)如圖所示，正六邊形的兩個頂點F、D上固定等量異種電荷，則下列說法正確的是(　　)

A．C點電場強度大于B點電場強度
B．若帶正電的粒子僅在電場力作用下沿直線從F運動到D，其加速度先變大后變小
C．將一個正電荷從A點移到C點電場力做功等于將其從A點移到E點電場力做功的2倍
D．將一個正電荷從B點移到O點電場力做功小于將其從B點移到E點電場力做的功

【答案】AC
【解析】等量異種電荷電場線如圖，由圖可知越靠近電荷的地方電場線越密，場強越大，離電荷越遠的地
方，電場線越疏，場強越小。由圖可知，C點到電荷的距離小于B點到電荷的距離，故C點電場強度大于B點電場強度，故A正確；若帶正電的粒子僅在電場力作用下沿直線從F運動到D，由圖可知，電場線先變疏后變密，所以場強先減小后增大，故加速度先變小后變大，故B錯誤；連接BE、AC，因為BE為等勢面，A、C點關于BE對稱，則有UAC＝2UAE，根據W＝qU可知，將一個正電荷從A點移到C點電場力做功等于將其從A點移到E點電場力做功的2倍，故C正確；因為B、O、E三點均在同一等勢面上，根據W＝qU可知，將一個正電荷從B點移到O點電場力做功等于將其從B點移到E點電場力做的功，且做的功均為零，故D錯誤。
訓練3、(多選)(2020·全國卷Ⅱ)如圖，豎直面內一絕緣細圓環(huán)的上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個點，c、d為豎直直徑上的兩個點，它們與圓心的距離均相等。則(　　)

A．a、b兩點的場強相等　 B．a、b兩點的電勢相等
C．c、d兩點的場強相等 D．c、d兩點的電勢相等
【答案】ABC　
【解析】沿豎直方向將圓環(huán)分割成無窮個小段，關于水平直徑對稱的兩小段構成等量異種點電荷模型，在等量異種點電荷的垂直平分線上各點場強方向由正點電荷指向負點電荷，根據對稱性可知a、b兩點的場強相等，A項正確；取無窮遠處電勢為零，在等量異種點電荷的垂直平分線上各點電勢均為零，故a、b兩點的電勢相等，B項正確；沿水平方向將圓環(huán)分割成無窮個小段，關于豎直直徑對稱的兩小段構成等量同種點電荷模型，在等量同種點電荷的垂直平分線上各點場強方向垂直于連線，根據對稱性可知c、d兩點的場強相等，C項正確；在等量異種點電荷模型中，距離正點電荷近的點電勢高，故φc>φd，D項錯誤。
訓練4、(多選)如圖所示，四個帶電荷量絕對值相等的點電荷分別固定在豎直平面內某一正方形的四個頂點上，A、B、C、D四個點分別為對應的四條邊的中點，現(xiàn)有某一帶正電的試探電荷在四個電荷產生的電場中運動，下列說法正確的是(　　)

A．D點的電勢小于A點的電勢
B．D點的電勢小于C點的電勢
C．試探電荷僅在靜電力作用下從A點沿AC運動到C點，其加速度逐漸增大
D．直線BD所在的水平面為等勢面
【答案】AD
【解析】取無窮遠處為零電勢點，A點在兩個正電荷電場中電勢為2φ1，在兩個負電荷電場中電勢為－2φ2，因φ1>φ2，故A點的電勢為(2φ1－2φ2)>0；同理C點的電勢為(－2φ1＋2φ2)φD，φD>φC，A正確，B錯誤．由場強疊加原理可知，A、C兩點的場強相同，故試探電荷在這兩點的加速度也相同，所以試探電荷僅在靜電力作用下從A點沿AC運動到C點，加速度并不是一直增大，故C錯誤；B、D所在的水平面上任意一點的場強方向均豎直向下，故在這個水平面內移動電荷時，靜電力不做功，所以此面一定為等勢面，故D正確．
訓練5、(2020·全國卷Ⅲ)(多選) 如圖，∠M是銳角三角形PMN最大的內角，電荷量為q(q>0)的點電荷固定在P點。下列說法正確的是(　　)

A．沿MN邊，從M點到N點，電場強度的大小逐漸增大
B．沿MN邊，從M點到N點，電勢先增大后減小
C．正電荷在M點的電勢能比其在N點的電勢能大
D．將正電荷從M點移動到N點，電場力所做的總功為負
【答案】BC
【解析】∠M是銳角三角形PMN最大的內角，所以PN>PM，又因為固定在P點的點電荷的電荷量q>0，據此可作出過M、N兩點的電場線和等勢線，如圖所示。

根據點電荷的場強公式E＝k可知，沿MN邊，從M點到N點，距P點處點電荷的距離r先減小后增大，故電場強度的大小先增大后減小，A錯誤；根據離正點電荷越近電勢越大可知，沿MN邊，從M點到N點，距P點處點電荷的距離先減小后增大，故電勢先增大后減小，B正確；由圖可知，φM>φN，結合電勢能公式Ep＝qφ可知，正電荷在M點的電勢能大于其在N點的電勢能，C正確；由C項分析可知，將正電荷從M點移動到N點，電勢能減小，故電場力所做的總功為正，D錯誤。
考點二、電場線、等勢面與粒子運動軌跡問題
1．判斷速度方向
帶電粒子運動軌跡上某點的切線方向為該點處的速度方向。
2．判斷電場力(或電場強度)的方向
僅受電場力作用時，帶電粒子所受電場力方向指向軌跡曲線的凹側，再根據粒子的正負判斷電場強度的方向。
3．判斷電場力做功及電勢能的增減
若電場力與速度方向成銳角，則電場力做正功，電勢能減少；若電場力與速度方向成鈍角，則電場力做負功，電勢能增加。
4．幾種常見等勢面的比較
電場
等勢面(虛線)圖樣
特點
勻強電場

垂直于電場線的一簇平面
點電荷的電場

以點電荷為球心的一簇球面
等量異種點電荷的電場

兩電荷連線的中垂面為等勢面
等量同種正點電荷的電場

在電荷連線上，中點電勢最低；在中垂線上，中點電勢最高
例1、如圖所示，實線表示某電場的電場線(方向未標出)，虛線是一帶負電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M和N時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN。下列判斷正確的是(　　)

A．vM＜vN，aM＜aN　　 B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
【答案】D
【解析】電場線密的地方場強大，粒子受到的電場力大，所以aMφN，故B、C錯誤。又由Ep＝qφ和能量守恒知，帶負電的粒子在電勢越低的位置，具有的電勢能越大，而動能越小，即EpMvN，故A錯誤，D正確。
例2、(2021·6月浙江選考，T6)某書中有如圖所示的圖，用來表示橫截面是“φB，EpArB，故φA>φB，EpAq2，A錯誤；由電場線的方向可知，A為負電荷，B為正電荷，在負電荷A的電場中，Q點的電勢等于P點的電勢，在正電荷B的電場中，Q點的電勢小于P點的電勢，故φQ＜φP，B錯誤；因為A、B為異種電荷，且q1>q2，所以A、B連線的延長線上電場強度為零的點在B的右側，C錯誤；根據帶電粒子的運動軌跡可知，該粒子所受電場力的方向與電場方向相反，故帶負電，電場力先做負功后做正功，故它的電勢能先變大后變小，D正確。
訓練4、(2021·高考全國卷乙，T15)如圖(a)，在一塊很大的接地金屬平板的上方固定一負電荷。由于靜電感應，在金屬平板上表面產生感應電荷，金屬板上方電場的等勢面如圖(b)中虛線所示，相鄰等勢面間的電勢差都相等。若將一正試探電荷先后放于M和N處，該試探電荷受到的電場力大小分別為FM和FN，相應的電勢能分別為EpM和EpN，則(　　)

A．FMEpN　　 B．FM>FN，EpM>EpN
C．FM0)，若將該粒子從m點移到b點，其電勢能減少量也為ΔE，則電場強度的方向(　　)

A．平行直徑ab指向a
B．平行直徑ab指向b
C．垂直直徑ab指向pm弧
D．垂直直徑ab指向nq弧
【答案】D
【解析】由于帶正電的粒子從直徑ab的a點移到m點，其電勢能增加量為ΔE(ΔE>0)，根據W＝q(φa－φm)可知，靜電力做負功，且φa0表示場強沿正方向；EEpb，F(xiàn)a>Fb B．Epa>Epb，F(xiàn)a

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