(1)電勢(shì)能、電勢(shì)；(2)電勢(shì)差、等勢(shì)面；(3)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系等。  例1．(2020?全國II卷?20)如圖，豎直面內(nèi)一絕緣細(xì)圓環(huán)的上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，c、d為豎直直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，它們與圓心的距離均相等。則(　　)A．a、b兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等B．a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)相等C．c、d兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等D．c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)相等【答案】ABC【解析】如圖所示，為等量異種電荷周圍空間的電場(chǎng)分布圖。本題的帶電圓環(huán)，可拆解成這樣無數(shù)對(duì)等量異種電荷的電場(chǎng)，沿豎直直徑平行放置。它們有共同的對(duì)稱軸PP′，PP′所在的水平面與每一條電場(chǎng)線都垂直，即為等勢(shì)面，延伸到無限遠(yuǎn)處，電勢(shì)為零。故在PP′上的點(diǎn)電勢(shì)為零，即φa＝φb＝0；而從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電勢(shì)一直在降低，即φc＞φd，故B正確，D錯(cuò)誤；上下兩側(cè)電場(chǎng)線分布對(duì)稱，左右兩側(cè)電場(chǎng)線分布也對(duì)稱，由電場(chǎng)的疊加原理可知AC正確。【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)。例2．(2020?全國III卷?21)如圖，∠M是銳角三角形PMN最大的內(nèi)角，電荷量為q（q＞0）的點(diǎn)電荷固定在P點(diǎn)。下列說法正確的是(　　)A．沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小逐漸增大B．沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電勢(shì)先增大后減小C．正電荷在M點(diǎn)的電勢(shì)能比其在N點(diǎn)的電勢(shì)能大D．將正電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的總功為負(fù)【解析】點(diǎn)電荷的電場(chǎng)以點(diǎn)電荷為中心，向四周呈放射狀，如圖，∠M是最大內(nèi)角，所以PN＞PM，根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式E＝k（或者根據(jù)電場(chǎng)線的疏密程度）可知從M→N電場(chǎng)強(qiáng)度先增大后減小，A錯(cuò)誤；電場(chǎng)線與等勢(shì)面（圖中虛線）處處垂直，沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，所以從M→N電勢(shì)先增大后減小，B正確；M、N兩點(diǎn)的電勢(shì)大小關(guān)系為φM＞φN，根據(jù)電勢(shì)能的公式Ep＝qφ可知正電荷在M點(diǎn)的電勢(shì)能大于在N點(diǎn)的電勢(shì)能，C正確；正電荷從M→N，電勢(shì)能減小，電場(chǎng)力所做的總功為正功，D錯(cuò)誤。【答案】BC【點(diǎn)睛】本題考查電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、電勢(shì)能大小的比較，要熟練記住相關(guān)公式。  1．(多選)真空中有一帶負(fù)電的點(diǎn)電荷僅在庫侖力作用下繞固定的點(diǎn)電荷＋Q運(yùn)動(dòng)，其軌跡為橢圓，如圖所示。已知a、b、c、d為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，＋Q處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，則下列說法正確的是(　　)A．負(fù)電荷在a、c兩點(diǎn)所受的電場(chǎng)力相同B．負(fù)電荷在a點(diǎn)和c點(diǎn)的電勢(shì)能相等C．負(fù)電荷由b運(yùn)動(dòng)到d的過程中電勢(shì)能增加，動(dòng)能減少D．負(fù)電荷由a經(jīng)b運(yùn)動(dòng)到c的過程中，電勢(shì)能先增加后減少【答案】BC【解析】在a、c兩點(diǎn)負(fù)電荷所受電場(chǎng)力方向不同，A項(xiàng)錯(cuò)誤；以單個(gè)點(diǎn)電荷為球心的球面是等勢(shì)面，所以a、c兩點(diǎn)電勢(shì)相等，根據(jù)電勢(shì)與電勢(shì)能的關(guān)系可知，負(fù)電荷在a、c兩點(diǎn)電勢(shì)能也相等，B項(xiàng)正確；負(fù)電荷由b到d過程中，電場(chǎng)力始終做負(fù)功，電勢(shì)能增加，動(dòng)能減少，C項(xiàng)正確；負(fù)電荷由a經(jīng)b到c的過程中，電場(chǎng)力先做正功再做負(fù)功，故電勢(shì)能先減少后增加，D項(xiàng)錯(cuò)誤。2．如圖所示，直線a、b和c、d是處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中的兩組平行線，M、N、P、Q是它們的交點(diǎn)，四點(diǎn)處的電勢(shì)分別為φM、φN、φP、φQ。一電子由M點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)和P點(diǎn)的過程中，電場(chǎng)力所做的負(fù)功相等。則(　　)A．直線a位于某一等勢(shì)面內(nèi)，φM>φQB．直線c位于某一等勢(shì)面內(nèi)，φM>φNC．若電子由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功D．若電子由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力做負(fù)功【答案】B【解析】由電子從M點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)和P點(diǎn)的過程中電場(chǎng)力所做的負(fù)功相等可知，N、P兩點(diǎn)在同一等勢(shì)面上，且電場(chǎng)線方向?yàn)?/span>M→N，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。M點(diǎn)與Q點(diǎn)在同一等勢(shì)面上，電子由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力不做功，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。電子由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。3．(多選)如圖所示，一水平面內(nèi)的半圓形玻璃管，內(nèi)壁光滑，在兩管口分別固定帶正電的點(diǎn)電荷Q1、Q2，管內(nèi)靠近Q1處有一帶正電的小球(帶電量很小)，小球由靜止開始釋放，經(jīng)過管內(nèi)b點(diǎn)時(shí)速度最大，經(jīng)過a、c兩點(diǎn)時(shí)速度的大小相等，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中小球的電荷量保持不變。下面關(guān)于a、c兩點(diǎn)的電勢(shì)及b點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的判斷正確的是(　　)A．φa＝φcB．φa＞φcC．b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E1D．b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E2【答案】AC【解析】因?yàn)閹щ娦∏蛟?/span>a、c兩處的動(dòng)能相等，且整個(gè)過程中只有電場(chǎng)力對(duì)帶電小球做功，帶電小球的動(dòng)能與電勢(shì)能的總和不變，故帶電小球在a、c兩處的電勢(shì)能也相等，a、c兩處的電勢(shì)相等，A項(xiàng)正確；因?yàn)閹щ娦∏蛟?/span>b點(diǎn)處的速度最大，此處帶電小球所受的合力為零，圓管的彈力沿半徑方向，故帶電小球所受的電場(chǎng)力也應(yīng)沿半徑方向，C項(xiàng)正確。4．(多選)在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2，其靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖所示。下列說法正確的有(　　)A．q1和q2帶有異種電荷B．x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零C．負(fù)電荷從x1移到x2，電勢(shì)能減小D．負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場(chǎng)力增大【答案】AC【解析】由題圖可知，空間的電勢(shì)有正有負(fù)，且只有一個(gè)極值，則兩個(gè)點(diǎn)電荷必定為異種電荷，A項(xiàng)正確；由E＝可知，φ-x圖像的切線斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度，因此x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，B項(xiàng)錯(cuò)誤；負(fù)電荷從x1移到x2的過程中，電勢(shì)升高，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，由Ep＝qφ，F＝qE可知，電勢(shì)能減小，受到的電場(chǎng)力減小，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。5．如圖是勻強(qiáng)電場(chǎng)遇到空腔導(dǎo)體后的部分電場(chǎng)線分布圖，電場(chǎng)線的方向如圖中箭頭所示，M、N、Q是以直電場(chǎng)線上一點(diǎn)O為圓心的同一圓周上的三點(diǎn)，OQ連線垂直于MN。以下說法正確的是(　　)A．O點(diǎn)電勢(shì)與Q點(diǎn)電勢(shì)相等B．O、M間的電勢(shì)差小于N、O間的電勢(shì)差C．將一負(fù)電荷由M點(diǎn)移到Q點(diǎn)，電荷的電勢(shì)能增加D．在Q點(diǎn)釋放一個(gè)正電荷，正電荷所受電場(chǎng)力將沿與OQ垂直的方向豎直向上【答案】C【解析】由電場(chǎng)線的方向可知φM>φO>φN，再作出此電場(chǎng)中過O的等勢(shì)線，可知φO>φQ，A項(xiàng)錯(cuò)誤；且MO間的平均電場(chǎng)強(qiáng)度大于ON間的平均電場(chǎng)強(qiáng)度，故UM O>UON，B項(xiàng)錯(cuò)誤；因UMQ>0，負(fù)電荷從M到Q電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加，C項(xiàng)正確；正電荷在Q點(diǎn)的電場(chǎng)力方向沿電場(chǎng)線的切線方向而不是圓的切線方向，D項(xiàng)錯(cuò)誤。6．(多選)如圖所示，A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成一邊長(zhǎng)為L的正方形。對(duì)角線AC豎直，在A點(diǎn)固定一電荷量為－Q的點(diǎn)電荷，規(guī)定電場(chǎng)中B點(diǎn)的電勢(shì)為零?，F(xiàn)將幾個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為－q的帶電小球從D點(diǎn)以大小均為v0的速度向各個(gè)方向拋出，已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)A．通過B點(diǎn)的小球過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0B．通過C點(diǎn)的小球在C點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能比通過B點(diǎn)的小球在B點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能大C．通過C點(diǎn)的小球在C點(diǎn)時(shí)受到的庫侖力是通過B點(diǎn)的小球在B點(diǎn)時(shí)受到的庫侖力的2倍D．若通過C點(diǎn)的小球在C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則C點(diǎn)的電勢(shì)為(v2－v－gL)【答案】AD【解析】B、D兩點(diǎn)在同一等勢(shì)面上，在同一高度，所以電場(chǎng)力和重力做功均為零，由動(dòng)能定理可知，小球通過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0，A項(xiàng)正確；小球從D到C電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少，且小球在B、D兩點(diǎn)電勢(shì)能相等，所以小球在C點(diǎn)的電勢(shì)能比在B點(diǎn)的電勢(shì)能小，B項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)庫侖定律得小球在B點(diǎn)受到的庫侖力是在C點(diǎn)受到的庫侖力的2倍，C項(xiàng)錯(cuò)誤；從D到C應(yīng)用動(dòng)能定理得mg·L－qUDC＝mv2－mv，且UDC＝UBC＝0－φC，解得φC＝(v2－v－gL)，D項(xiàng)正確。7．(多選)如圖所示，紙面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，帶正電的小球(重力不計(jì))在恒力F的作用下沿圖中虛線由A勻速運(yùn)動(dòng)至B，已知力F和AB間夾角為θ，AB間距離為d，小球帶電量為q，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E＝B．AB兩點(diǎn)的電勢(shì)差為UAB＝C．帶電小球由A運(yùn)動(dòng)至B過程中電勢(shì)能增加了Fdcos θD．帶電小球若由B勻速運(yùn)動(dòng)至A，則恒力F必須反向【答案】BC【解析】由題意，小球的重力不計(jì)，只受到電場(chǎng)力與恒力F而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有，qE＝F，則得場(chǎng)強(qiáng)E＝，故A錯(cuò)誤。A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差為U＝－Edcos θ＝－，故B正確。帶電小球由A運(yùn)動(dòng)至B過程中恒力做功為W＝Fdcos θ，根據(jù)功能關(guān)系可知，電勢(shì)能增加了Fdcos θ，故C正確。小球所受的電場(chǎng)力恒定不變，若帶電小球由B向A做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，F大小、方向均不變，故D錯(cuò)誤。8．(多選)如圖甲所示，兩個(gè)帶正電的小球A、B套在一個(gè)傾斜的光滑直桿上，兩球均可視為點(diǎn)電荷，其中A球固定，帶電量QA＝2×10－4 C，B球的質(zhì)量為m＝0.1 kg。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿桿向上建立直線坐標(biāo)系，B球的總勢(shì)能(重力勢(shì)能與電勢(shì)能之和)隨位置x的變化規(guī)律如圖乙中曲線Ⅰ所示，直線Ⅱ為曲線Ⅰ的漸近線。圖中M點(diǎn)離A點(diǎn)距離為6 m。(g取10 m/s2，靜電力恒量k＝9.0×109 N·m2/C2。)令A處所在平面為重力勢(shì)能的零勢(shì)能面，無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則(　　)A．桿與水平面的夾角θ＝60°B．B球的帶電荷量QB＝1×10－5 CC．若B球以Ek0＝4 J的初動(dòng)能從M點(diǎn)開始沿桿向上滑動(dòng)到最高點(diǎn)，則此過程中電勢(shì)能減少了2 JD．若B球從離A球2 m處靜止釋放，則向上運(yùn)動(dòng)過程中做的是加速度先減小后增加的運(yùn)動(dòng)【答案】BCD【解析】漸近線Ⅱ表示B的重力勢(shì)能隨位置的變化關(guān)系，即Ep＝mgxsin θ＝kx，則斜率k＝mgsin θ，解得θ＝30°，A錯(cuò)誤；由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x＝6 m處總勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，該位置B受力平衡，則有mgsin 30°＝k，計(jì)算得出QB＝1×10－5 C，B正確；由能量守恒可知B球動(dòng)能減小到0時(shí)，總勢(shì)能為10 J，此時(shí)物體沿斜面上升18 m－6 m＝12 m，重力勢(shì)能增加ΔEp＝mgΔxsin θ＝6 J，則電勢(shì)能減少了2 J，C正確；若B球從離A球2 m處靜止釋放，則向上運(yùn)動(dòng)過程中做的是加速度先減小后反向增大的運(yùn)動(dòng)，D正確。9．(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)xOy坐標(biāo)系中分布著與水平方向成45°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)，將一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，以某一初速度從O點(diǎn)豎直向上拋出，它的軌跡恰好滿足拋物線方程y＝kx2，且小球通過點(diǎn)P。已知重力加速度為g，則(　　)A．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為B．小球初速度的大小為C．小球通過點(diǎn)P時(shí)的動(dòng)能為D．小球從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過程中，電勢(shì)能減少【答案】BC【解析】由軌跡方程y＝kx2可知小球運(yùn)動(dòng)軌跡為初速度向上的拋物線，合力向右，如圖所示，由受力分析可知 mg＝Eq，E＝，A錯(cuò)誤。聯(lián)立方程＝gt2，＝v0t，解得v0＝，B正確。據(jù)動(dòng)能定理mg·＝Ek－mv02，得Ek＝，C正確。ΔEp＝－W＝－Eq·＝－mg·＝，D錯(cuò)誤。10．(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為L的細(xì)繩一端固定于點(diǎn)A，另一端系一帶正電、質(zhì)量為m的小球?，F(xiàn)在y軸正半軸上某處B固定一釘子，再將細(xì)繩拉至水平位置，由靜止釋放小球使細(xì)繩碰到釘子后小球能繞釘轉(zhuǎn)動(dòng)。已知整個(gè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為，則(　　)A．小球一定能繞B做完整的圓周運(yùn)動(dòng)B．當(dāng)yB＝時(shí)小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)C．當(dāng)yB＝時(shí)小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)D．若小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則繩能承受的拉力至少為6mg【答案】BD【解析】電場(chǎng)力和重力的合力大小為F＝mg，方向豎直向上。剛好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑為r＝L－L－yB＝L－yB，在釘子下方有F＝。從釋放到釘子下方r處由動(dòng)能定理得F＝mv2，聯(lián)立解得yB＝，所以A、C項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；在釘子上方r處繩子承受的拉力最大，其至少為T－F＝，從釋放到此處由動(dòng)能定理得FL＝mv′2，解得T＝6mg，D項(xiàng)正確。 11．如圖所示，BCD為固定在豎直平面內(nèi)的半徑為r＝10 m的圓弧形光滑絕緣軌道，O為圓心，OC豎直，OD水平，OB與OC間夾角為53°，整個(gè)空間分布著范圍足夠大的豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)。從A點(diǎn)以初速度v0＝9 m/s沿AO方向水平拋出質(zhì)量m＝0.1 kg的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))，小球帶正電荷量q＝＋0.01 C，小球恰好從B點(diǎn)沿垂直于OB的方向進(jìn)入圓弧軌道。不計(jì)空氣阻力。求：(1)A、B間的水平距離L；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；(3)小球過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小N′；(4)小球從D點(diǎn)離開軌道后上升的最大高度H。【解析】(1)設(shè)小球運(yùn)動(dòng)過程中的加速度為a，則小球的等效重力為ma；小球在B點(diǎn)的速度為vB，由小球恰好從B點(diǎn)垂直OB進(jìn)入圓弧軌道得小球豎直方向的分速度vBy＝v0tan 53°對(duì)小球從A點(diǎn)到B的運(yùn)動(dòng)過程，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)得：vBy＝at豎直方向位移y＝rcos 53°y＝at2聯(lián)立解得：t＝1 s，a＝12 m/s2，L＝v0t＝9 m。(2)小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)小球運(yùn)用牛頓第二定律：mg＋qE＝ma得E＝20 N/C。(3)小球從A到C的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)在C點(diǎn)的速度為vC，運(yùn)用動(dòng)能定理：mar＝mv－mv在C點(diǎn)，對(duì)小球有：N－ma＝m得軌道對(duì)小球的支持力N＝4.41 N由牛頓第三定律，小球?qū)壍赖膲毫?/span>N′＝4.41 N。(4)對(duì)小球從A點(diǎn)到離開D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的全過程運(yùn)用動(dòng)能定理：mv＝maH得H＝3.375 m。12．如圖所示，在絕緣水平直線軌道上方的A、B兩點(diǎn)分別固定電荷量為＋Q、－Q的等量異種點(diǎn)電荷。一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，從A點(diǎn)正下方軌道上的M點(diǎn)由靜止開始沿軌道向右運(yùn)動(dòng)。O點(diǎn)為軌道上M、N連線的中點(diǎn)。已知小球與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)速度為v。孤立點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)在距場(chǎng)源電荷r處的電勢(shì)為φ＝(取無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零)，k為靜電常數(shù)。AB連線到水平直線軌道的豎直距離為h，A、N連線與水平軌道的夾角為30°，小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道。求：(1)小球在N點(diǎn)的加速度大小；(2)小球在軌道的MO段克服摩擦力做的功。【解析】(1)小球在N點(diǎn)時(shí)，受力分析，由牛頓第二定律得：sin 30°＋mg－－N＝0cos 30°－f＝ma又f＝μN聯(lián)立解得：a＝＋－μg。(2)由題意可知，M、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UMO＝φMφM＝－＝小球由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：qUMO－Wf＝mv2聯(lián)立解得：Wf＝－mv2。

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