?2021-2022學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、你一定能選對(duì)!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．
1．（3分）下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（　?。?br /> A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形
3．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（　?。?br /> A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
4．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)是（　?。?br />
A．62° B．72° C．76° D．66°
5．（3分）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作5條對(duì)角線，則n的值是（　?。?br /> A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，若△ABC與△BCE的周長(zhǎng)分別是36cm和22cm，則AD的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，則∠BAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．40° C．60° D．80°
8．（3分）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A5B5A6的邊長(zhǎng)為（　?。?br />
A．32 B．24 C．16 D．8
9．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，則∠DCE的度數(shù)為（　?。?br />
A．110° B．118° C．120° D．130°
10．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長(zhǎng)度可以是（　?。?br />
A．2 B．7 C．16 D．17
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置．
11．（3分）點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 12．（3分）一個(gè)n邊形的每個(gè)外角都等于72°，則n＝　 ?。?br /> 13．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得到△COD≌△C′O′D′的依據(jù)是 　 ?。?br />
14．（3分）等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，則其頂角的度數(shù)為　 ?。?br /> 15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是 　 ?。?br />
16．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．則∠ABD的度數(shù)為 　 　°．

三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．
17．（8分）如圖，DE分別與△ABC的邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度數(shù)．

18．（8分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：AC∥DF．

19．（8分）已知一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為：n+6；3n；n+2．（n為正整數(shù)）
（1）若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長(zhǎng)；
（2）若這個(gè)三角形的三條邊都不相等，且為正整數(shù)，直接寫出n的最大值為 　 ?。?br /> 20．（8分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，請(qǐng)用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：
（1）如圖1，連接AC．
①∠ACB＝　 　°；
②在圖1中畫出以AC為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上；
（2）已知，P為AF邊上一點(diǎn)，
①如圖2，在AB邊上找一點(diǎn)Q，使得AQ＝AP；
②如圖3，在CD邊上找一點(diǎn)H，使得PH⊥CD．

21．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，線段BC與DC關(guān)于直線CP對(duì)稱，連接DA并延長(zhǎng)交直線CP于點(diǎn)E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的長(zhǎng)．

22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上一點(diǎn)，E為射線AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．
（1）如圖1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求證：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如圖2，求證：BE⊥AE；
②如圖3，若∠BED＝30°，E在A、D之間，且AE＝1，求BE的長(zhǎng)．


24．（12分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，b），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到AC，連接BC．
（1）若α＝90．
①如圖1，b＝1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖2，D為BC中點(diǎn)，連接OD．求證：OD平分∠AOB；
（2）如圖3，若α＝60，b＝3，N為BC邊上一點(diǎn)，M為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BM＝CN，連接MN，將線段MN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到NP，連接OP．求當(dāng)∠AOP取何值時(shí)，線段OP最短．



2021-2022學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、你一定能選對(duì)!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．
1．（3分）下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
2．（3分）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（　?。?br /> A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形
【解答】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可得四個(gè)選項(xiàng)中只有三角形具有穩(wěn)定性．
故選：B．
3．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（　　）
A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能組成三角形，不符合題意；
B．∵4+4＜9，∴不能組成三角形，不符合題意；
C．∵3+4＜8，∴不能組成三角形，不符合題意；
D．∵8+7＞14，∴能組成三角形，符合題意．
故選：D．
4．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)是（　?。?br />
A．62° B．72° C．76° D．66°
【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，
∵兩個(gè)三角形全等，
∴∠1＝∠2＝76°，
故選：C．

5．（3分）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作5條對(duì)角線，則n的值是（　?。?br /> A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：設(shè)多邊形有n條邊，
則n﹣3＝5，
解得n＝8，
故選：B．
6．（3分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，若△ABC與△BCE的周長(zhǎng)分別是36cm和22cm，則AD的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，AD＝BD=12AB，
∵△EBC的周長(zhǎng)是22cm，
∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，
∵△ABC的周長(zhǎng)是36cm，
∴AB+AC+BC＝36cm，
∴AB＝36﹣22＝14（cm），
∴AD=12AB=12×14＝7（cm）．
故選：A．
7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，則∠BAC的度數(shù)是（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故選：C．
8．（3分）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A5B5A6的邊長(zhǎng)為（　?。?br />
A．32 B．24 C．16 D．8
【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1，
∴B1A1＝OA1＝2，
∴△A1B1A2的邊長(zhǎng)為2，
同理得：∠OB2A2＝30°，
∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，
∴△A2B2A3的邊長(zhǎng)為4，
同理可得：、△A3B3A4的邊長(zhǎng)為：23＝8，
△A4B4A5的邊長(zhǎng)為：24＝16，
則△A5B5A6的邊長(zhǎng)為：25＝32，
故選：A．
9．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，則∠DCE的度數(shù)為（　?。?br />
A．110° B．118° C．120° D．130°
【解答】解：如圖所示：

∵∠EAD＝∠BAC＝80°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠1=∠2AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC＝80°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠CBA＝50°，
∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，
又∵∠BDC＝160°，
∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，
∴∠DCE＝20°+100°＝120°，
故選：C．
10．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長(zhǎng)度可以是（　?。?br />
A．2 B．7 C．16 D．17
【解答】解：如圖，作等邊△ABQ和等邊△MBP，連接QP，QM，

在等邊△ABQ和等邊△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，
∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，
∴∠QBP＝∠ABM，
又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，
∴△QBP≌△ABM（SAS），
∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，
∵AM＝BN，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，
∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
∴∠MBN＝MPQ，
在△QMP和△NMB中，
PB=MB∠MBN=∠MPQPQ=BN，
∴△QMP≌△NMB（SAS），
∴MQ＝MN，
在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，
∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，
∴2＜MN＜16，
∴選項(xiàng)B，MN＝7符合題意，
故選：B．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置．
11．（3分）點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　（2，5）　．
【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，5），
故答案為：（2，5）．
12．（3分）一個(gè)n邊形的每個(gè)外角都等于72°，則n＝　5　．
【解答】解：∵n邊形的每個(gè)外角都相等，
∴這個(gè)n邊形是正多邊形，
∵多邊形的外角和為360°，
∴多邊形的邊數(shù)為360°÷72°＝5．
故答案為：5．
13．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得到△COD≌△C′O′D′的依據(jù)是 　SSS　．

【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．
故答案為SSS．
14．（3分）等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，則其頂角的度數(shù)為　20°或80°?。?br /> 【解答】解：∵等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，
∴①當(dāng)頂角的外角是100°，
∴頂角等于180°﹣100°＝80°，
②當(dāng)?shù)捉堑耐饨鞘?00°，
∴底角等于180°﹣100°＝80°，
∴頂角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴其頂角的度數(shù)為：20°或80°．
故答案為：20°或80°．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是 ?、佗邰堋。?br />
【解答】解：如圖1，∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于點(diǎn)O，
∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，
故①正確；
如圖2，在BC上截取BM＝BE，連接OM，
在△BOE和△BOM中，
BE=BM∠OBE=∠OBMOB=OB，
∴△BOE≌△BOM（SAS），
∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，
∵∠COD＝∠EOB＝60°，
∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，
∴∠COD＝∠COM，
在△COD和△COM中，
∠COD=∠COMOC=OC∠OCD=∠OCM，
∴△COD≌△COM{ASA），
∴CD＝CM，
∴BE+CD＝BC，
故②錯(cuò)誤；
如圖3，作OH⊥AC于點(diǎn)H，OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA，
∵OF⊥AB于點(diǎn)F，
∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，
∵OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH，
在Rt△AOF和Rt△AOH中，
OA=OAOF=OH，
∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），
∴AF＝AH，
∵∠EAC＝∠COD＝60°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，
∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，
∴∠OEF＝∠ODH，
在△OEF和△ODH中，
∠OEF=∠ODH∠OFE=∠OHDOF=OH，
∴△OEF≌△ODH（AAS），
∴EF＝DH，
∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，
故③正確；
如圖2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，
∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，
∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，
∴S四邊形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，
故④正確，
故答案為：①③④．



16．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．則∠ABD的度數(shù)為 　30　°．

【解答】解：作△BCD的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，OD，如圖，

∵∠BCD＝150°，
∴∠BOD＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD為等邊三角形．
∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．
在△OBA和△OCA中，
OA=OAOB=OCAB=AC，
∴△OBA≌△OCA（SSS）．
∴∠BOA＝∠COA=12∠BOC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB=12∠ADC．
∵∠BDC=12∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．
∵∠BOD＝∠BDO＝60°，
∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．
∴∠AOD＝∠ADO．
∴AO＝AD．
在△OBA和△DBA中，
OB=BDBA=BAAO=AD，
∴△OBA≌△DBA（SSS）．
∴∠ABO＝∠ABD=12∠OBD＝30°．
故答案為：30．
三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．
17．（8分）如圖，DE分別與△ABC的邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度數(shù)．

【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°，
又∵∠AED＝42°，
∴∠BDF＝∠A+∠AED
＝45°+42°
＝87°．
18．（8分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：AC∥DF．

【解答】證明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．
19．（8分）已知一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為：n+6；3n；n+2．（n為正整數(shù)）
（1）若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長(zhǎng)；
（2）若這個(gè)三角形的三條邊都不相等，且為正整數(shù)，直接寫出n的最大值為 　7?。?br /> 【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，
解得n＝1，
三角形三邊的長(zhǎng)為3，3，7，不符合三角形三邊關(guān)系；
②如果n+6＝3n，
解得n＝3，
三角形三邊的長(zhǎng)為5，9，9，符合三角形三邊關(guān)系．
綜上所述，等腰三角形三邊的長(zhǎng)為5，9，9；

（2）n的最大值為7．
由三角形三邊關(guān)系知，(n+2)+(n+6)＞3n(n+2)+3n＞n+6，
解得43＜n＜8，
∵三角形的三條邊都不相等，
∴3n≠n+6，
∴n≠3，
∴43＜n＜8且n≠3，
∵n為正整數(shù)，
∴n的最大值為7．
故答案為：7．
20．（8分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，請(qǐng)用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：
（1）如圖1，連接AC．
①∠ACB＝　30　°；
②在圖1中畫出以AC為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上；
（2）已知，P為AF邊上一點(diǎn)，
①如圖2，在AB邊上找一點(diǎn)Q，使得AQ＝AP；
②如圖3，在CD邊上找一點(diǎn)H，使得PH⊥CD．

【解答】解：（1）①∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC=12（180°﹣120°）＝30°，
故答案為：30；

②如圖1中，△ACE即為所求；

（2）①如圖2中，點(diǎn)Q即為所求；
②如圖3中，線段PH即為所求．
21．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，線段BC與DC關(guān)于直線CP對(duì)稱，連接DA并延長(zhǎng)交直線CP于點(diǎn)E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，
由翻折的性質(zhì)可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，
∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝80°，
∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，
∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．

（2）過點(diǎn)C作CT⊥DE于T．設(shè)∠ECA＝α，則∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，
∴∠ACD＝60°﹣2α，
∵CA＝CD，
∴∠CAD=12（180°﹣60°+2α）＝60°+α，
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，
∵CT⊥AD，CA＝CD，
∴AT＝DT，
∴∠ECT＝30°，
∴ET=12EC＝2，
∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，
∴AD＝2AT＝2．

22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

【解答】（1）證明：∵ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）解：連接AP，BQ，

∵△BCE是等邊三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴CP垂直平分AD，
∴DP＝AP，
同理得EQ＝BQ，
∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q落在AB上時(shí)，PD+PQ+QE的最小值為AB，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴PD+PQ+QE的最小值為4．
23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上一點(diǎn)，E為射線AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．
（1）如圖1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求證：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如圖2，求證：BE⊥AE；
②如圖3，若∠BED＝30°，E在A、D之間，且AE＝1，求BE的長(zhǎng)．


【解答】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)J．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵CE平分∠ACB，
∴CJ⊥AB，AJ＝JB，
∴EA＝EB，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠EBD＝30°，
∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，
∴∠EBD＝∠BED＝30°，
∴DB＝DE；

（2）①證明：如圖2中，過點(diǎn)C作CH⊥CE交AE于點(diǎn)H．

∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，
∴∠CEH＝∠CHE＝45°，
∴CE＝CH，
∵∠ACB＝∠ECH＝90°，
∴∠ACH＝∠BCE，
在△ACH和△BCE中，
CA=CB∠ACH=∠BCECH=CE，
∴△ACH≌△BCE（SAS），
∴∠CAH＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠ACD＝∠BED＝90°；

②解：如圖3中，過點(diǎn)C作CH⊥CE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．

同法可證，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，
∴BH＝AE＝1，
∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，
∴BE＝2BH＝2．
24．（12分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，b），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到AC，連接BC．
（1）若α＝90．
①如圖1，b＝1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖2，D為BC中點(diǎn)，連接OD．求證：OD平分∠AOB；
（2）如圖3，若α＝60，b＝3，N為BC邊上一點(diǎn)，M為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BM＝CN，連接MN，將線段MN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到NP，連接OP．求當(dāng)∠AOP取何值時(shí)，線段OP最短．


【解答】（1）①解：如圖1中，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠OAB＝∠ACH，
在△AOB和△CHA中，
∠AOB=∠CHA∠OAB=∠HCAAB=CA，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB＝AH，CH＝OA，
∵B（0，1），A（3，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AH＝1，CH＝3，OH＝4，
∴C（4，3）；

②證明：如圖2中，過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，DN⊥OB于點(diǎn)N．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝DB＝DC，∠DAB＝∠DAC＝45°，
∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠BDN＝∠ADM，
∵∠ADB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠DBO＝180°，
∵∠DBO+∠DBN＝180°，
∴∠DBN＝∠DAM，
在△DNB和△DMA中，
∠DNB=∠DMA∠DBN=∠DAMDB=DA，
∴△DNB≌△DMA（AAS），
∴DM＝DN，
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB；

（2）解：作NE∥AB交AC于點(diǎn)E，連接PM，AN，PA，過點(diǎn)O作OF⊥PA交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝∠C＝60°，
∵NE∥AB，
∴∠CNE＝∠CBA＝60°，∠CEN＝∠CAB＝60°，
∴△CEN是等邊三角形，
∴CN＝NE＝CE，
∵BM＝CN，CB＝CA，
∴NE＝BM，BN＝AE，
∵∠CBA＝∠CEN＝60°，
∴∠MBN＝∠AEN＝120°，
在△NBM和△AEN中，
BM=EN∠NBM=∠NEABN=EA，
∴△NBM≌△AEN（SAS），
∴NM＝AN，
∵NM＝NP，
∴AN＝NP，
∴∠NMA＝∠NAM，∠NAP＝∠NPA，
∵∠MNP＝120°，
∴2∠NAM+2∠NAP＝240°，
∴∠PAM＝∠NAM+∠NAP＝120°，
∴∠OAP＝∠OAB+∠MAP＝165°，
∴∠AOF＝180°﹣165°＝15°，
∴點(diǎn)P在直線PA上運(yùn)動(dòng)（∠OAP＝165°），
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，OP的值最小，此時(shí)∠AOP＝90°﹣15°＝75°．


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