高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1.本卷共5頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條
C.充要條件件 D.既不充分又不必要條件
5.生活中有很多常見(jiàn)的工具有獨(dú)特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（ ）
A. B. C. D.
6.若，則的值為（ ）
A.-7 B.-14 C. D.
7.設(shè)離散型隨機(jī)變量的期望和方差分別為和，且，則（ ）
A. B.
C. D.和大小不確定
8.在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當(dāng)四棱錐的體積最大值時(shí)，長(zhǎng)為（ ）
A. B.2 C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.成人心率的正常范圍為60~100次/分鐘，超過(guò)100次/分鐘為心率過(guò)速.觀測(cè)并記錄一名心率過(guò)速成人患者服用某種藥物后心率，其隨時(shí)間的變化如圖所示，則該患者（ ）
A.服了藥物后心率會(huì)馬上恢復(fù)正常
B.服藥后初期藥物起效速度會(huì)加快
C.所服藥物約15個(gè)小時(shí)后失效（服藥后心率下降期間為有效期）
D.一天需服用該藥1至2次
10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于的說(shuō)法正確的是（ ）
A.周期為 B.偶函數(shù)
C.在上單調(diào)遞減 D.關(guān)于中心對(duì)稱
11.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A.曲線在處的切線方程為
B.有極大值，也有極小值
C.使得恒成立的最小正整數(shù)為2021
D.有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且
12.已知是橢圓上不同的三點(diǎn)，記的面積分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則（ ）
A. B.
C. D.為定值
非選擇題部分
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.
14.若的展開(kāi)式中所有系數(shù)絕對(duì)值之和為81，則其常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.
15.已知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.
16.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，其中為其前項(xiàng)和，若恒有，則的取值范圍為_(kāi)_________.
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本題滿分10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.（本題滿分12分）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的周長(zhǎng).
19.（本題滿分12分）某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的值范圍內(nèi)，檢驗(yàn)員在同一試驗(yàn)條件下，每天邊機(jī)抽樣10次，并測(cè)量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)品的碳含量服從正態(tài)分布.
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含是百分比在之外的次數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望：
（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測(cè)的碳含量在之外，就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
下面是在一天中，檢測(cè)員進(jìn)行10次碳含量（単位：%）檢測(cè)得到的測(cè)量結(jié)果：
經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第次的碳含量百分比.
（1）用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？
（2）若去掉，剩下的數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為，試寫(xiě)出的算式（用表示）.
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則..
20.（本題滿分12分）在正三棱臺(tái)中，側(cè)棱長(zhǎng)為1，且為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且.
（1）證明：平面，并求出的長(zhǎng)；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
21.（本題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為是坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交拋物線于兩點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).
（1）求直線的斜率的取值范圍；
（2）求的最小值.
22.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)均有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）設(shè)且，證明：.
2023學(xué)年第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考
高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15.5 16.
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由題：解得
所以；
（2）由（1）知，
則.
兩式相減得：
即有
18.解：（1）由得：
則
則
則，
又，則
所以；
（2）由（1）得
所以
所以，
由，
，
則
19.解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之內(nèi)的概率為0.9974，
所以，
又碳含量在之外的概率為0.0026，
故.
因此；
（2）由得的估計(jì)值為，
所以，
由所測(cè)數(shù)據(jù)可以看出10次抽檢的碳含量均在之內(nèi)，因此不
需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
若去掉，剩下的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
20.解：（1）由三棱臺(tái)可知：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
連接，延長(zhǎng)交于，并連接，
易得三棱錐為正四面體，且，
所以平面，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以平面，所以，
在中，，
則，
所以；
（2）如圖，以底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與平行的方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
取平面的法向量為，則
即為
得，
取平面的法向量為，
所以
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（2）方法2：如圖，延長(zhǎng)交于，連接，
作，連接，
由（1）得：，
所以面，
所以，
所以面，
所以，
所以即為平面與平面的夾角.
在中，，
在中，，
所以，
所以.
21.解：（1）由題：，設(shè)，
代入得，
則有
所以，
故
所以直線的斜率取值范圍為；
（2）設(shè)，則
解得
同理，
所以，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以的斜率，
記，取的方向向量分別為，
故，
所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為.
22.解：（1）由題：，
（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)時(shí)，解為，且
，
所以函數(shù)有減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，有減區(qū)間為，增區(qū)間為
由題可知：對(duì)任意，均有成立，
等價(jià)于恒成立，
令
則，得，且，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，所以；
所以當(dāng)時(shí)，，
又，
所以的取值范圍為；
（3）證明：兩邊取自然對(duì)數(shù)得，
，
因?yàn)?br>由（2）可知：，
取，代入上式得
所以，得證!次數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量（%）
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
A
C
B
C
D
題號(hào)
9
10
11
12
答案
BCD
BD
ACD
BC

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