新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練9.3 雙曲線（精講）（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練9.3 雙曲線（精講）（含解析），共20頁。試卷主要包含了雙曲線的定義及應(yīng)用，雙曲線的離心率及漸近線，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，弦長與中點(diǎn)弦等內(nèi)容，歡迎下載使用。

考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 雙曲線的定義及應(yīng)用
【例1-1】（2022內(nèi)江期末）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因?yàn)榉匠?SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
因此“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的充要條件.故答案為：C
【例1-2】（2022·成都模擬）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】∵雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面積為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為：B.
【例1-3】（2022·邯鄲模擬）已知 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為雙曲線右支上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
由雙曲線定義知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0
從而 SKIPIF 1 < 0
故答案為：A
【例1-3】（2022·岳普湖模擬）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓.則M的橫坐標(biāo)為 ，若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則△F1PF2的面積為 .
【答案】1； SKIPIF 1 < 0
【解析】雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)圓 SKIPIF 1 < 0 分別與 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)雙曲線的定義可知 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ①，
而 SKIPIF 1 < 0 ②. 由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即M的橫坐標(biāo)為1
設(shè)M的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 到圓M上點(diǎn)的最大距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以△F1PF2的面積為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：1； SKIPIF 1 < 0
【一隅三反】
1．（2022·潮州二模）若點(diǎn)P是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)，則“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或1（舍去），
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或13，
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要條件．故答案為：A．
2．（2021常州期中）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】曲線 SKIPIF 1 < 0 右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周長 SKIPIF 1 < 0 要使 SKIPIF 1 < 0 周長最小，只需 SKIPIF 1 < 0 最小，如圖：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)取到，故l=2|AF|+2a= SKIPIF 1 < 0 故答案為：B
3．（202郫都期中）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為11，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為（ ）
A．1B．21C．1或21D．2或21
【答案】B
【解析】不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，
當(dāng)P在雙曲線的左支時(shí)，由雙曲線的定義可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 =11，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)P在雙曲線的右支時(shí)，由雙曲線的定義可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 =11，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以右支上不存在滿足條件的點(diǎn)P.故答案為：B.
4(2022廣東）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 .則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A．8B． SKIPIF 1 < 0 C．16D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 。故答案為：C
考點(diǎn)二 雙曲線的離心率及漸近線
【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案為：C.
【例2-2】（2022·河南模擬）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是雙曲線上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)），若 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則C的離心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，即為 SKIPIF 1 < 0 ，即為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，
由題意設(shè) SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以C的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為：C．
【例2-3】（2022·德陽三模）設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)是F，左?右頂點(diǎn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線與雙曲線交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 ，代入雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 分別為：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故漸近線方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：C
【一隅三反】
1．（2022·重慶市模擬）已知雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，且線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在雙曲線C的右支上，
又 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
連接 SKIPIF 1 < 0 ，則在等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：C.
2．（2022·保定模擬）已知F為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)，A為雙曲線C上一點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 軸，與雙曲線C的一條漸近線交于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，則C的離心率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 均為第一象限點(diǎn)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為：B
3．（2022·石嘴山模擬）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，P為雙由線C上的一點(diǎn)，若線段 SKIPIF 1 < 0 與y軸的交點(diǎn)M恰好是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，其中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由題意知 SKIPIF 1 < 0 軸，
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，由雙曲線的對(duì)稱性特點(diǎn)不妨設(shè)點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為，
所以，，故，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為：B.
考點(diǎn)三 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例3-1】（2022梧州期末）設(shè)雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左焦點(diǎn)為F，直線 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P， SKIPIF 1 < 0 ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】設(shè)左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，由點(diǎn)F過直線 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)右焦點(diǎn)為N，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，故三角形 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)橹本€斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由雙曲線定義，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：D.
【例3-2】．（202合肥期末）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是等軸雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積為8，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：D．
【一隅三反】
2．（2022·和平模擬）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線 SKIPIF 1 < 0 上， 故可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因?yàn)閽佄锞€ SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ；解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故雙曲線方程為： SKIPIF 1 < 0 .故答案為：D.
2．（2022寧波期末）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有相同的漸近線， 且它們的離心率不相同， 則下列方程中有可能為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】雙曲線 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 。
對(duì)于A， SKIPIF 1 < 0 ，則離心率 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B， SKIPIF 1 < 0 ，則漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C， SKIPIF 1 < 0 ，則離心率 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D， SKIPIF 1 < 0 ，則漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確。
故選：D
3．（2022·湖北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)，線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線與直線 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 ，則曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由雙曲線的定義知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是以 SKIPIF 1 < 0 為焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為實(shí)軸長的雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·廣州模擬）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的雙曲線方程 ．
①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ﹔③焦距大于10
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，寫出一個(gè)即可）
【解析】由①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上知，可設(shè)雙曲線方程為： SKIPIF 1 < 0
由②一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由③知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則可取 SKIPIF 1 < 0 （此處也可取大于 SKIPIF 1 < 0 的其他數(shù)）
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
則同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的一個(gè)雙曲線方程為： SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， 寫出一個(gè)即可）.
考點(diǎn)四 直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過 SKIPIF 1 < 0 且與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過 SKIPIF 1 < 0 的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，①式只有一個(gè)解；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
綜上可知過 SKIPIF 1 < 0 且與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條.故選：D.
【例4-2】（2022·山東）已知直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【一隅三反】
1．（2022·上海）若過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由題意可得直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)交點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））若在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】雙曲線的漸近線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
2．（2022·安徽 ）直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】聯(lián)立直線 SKIPIF 1 < 0 和雙曲線： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，此時(shí)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；故選：A
考點(diǎn)五 弦長與中點(diǎn)弦
【例5】（2022云南）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的直線MN為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立雙曲線： SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .弦長|MN| SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【一隅三反】
1．（2022·山西）過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2（2022·湖南岳陽·三模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C: SKIPIF 1 < 0 的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作y軸的垂線交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，則△PF1Q的面積為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】雙曲線C: SKIPIF 1 < 0 的上、下焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以△PF1Q的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 過左焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，則b的值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相減可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
4．（2022·山東煙臺(tái)·三模）過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交 SKIPIF 1 < 0 于A， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的離心率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】不妨設(shè)過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率 SKIPIF 1 < 0
故選：D