九年級數(shù)學(xué)下冊專題28.4 解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項訓(xùn)練（50道）（舉一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題28.4 解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項訓(xùn)練（50道）
【人教版】
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的應(yīng)用中考真題的綜合問題的所有類型！
一．解答題（共50題）
1．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15m，斜坡的傾斜角為α，cosα=45．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．

(1)求C，D兩點的高度差；
(2)求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）
【答案】(1)9m
(2)24m

【分析】（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，在Rt△DCE中，可得CE=CD?cosα=15×45=12(m)，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）過點D作DF⊥AB于F，設(shè)AF=xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB=(x+9)m，BC=(3x-12)m，tan60°=ABBC=x+93x-12=3，求出x的值，即可得出答案．
（1）
解：過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，

∵在Rt△DCE中，cosα=45，CD=15m，
∴CE=CD?cosα=15×45=12(m)．
∴DE=CD2-CE2=152-122=9(m)．
答：C，D兩點的高度差為9m．
（2）
過點D作DF⊥AB于F，
由題意可得BF=DE，DF=BE，
設(shè)AF=x?m，
在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan30°=AFDF=xDF=33，
解得DF=3x，
在Rt△ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m，BC=BE-CE=DF-CE=(3x-12)m，
tan60°=ABBC=x+93x-12=3，
解得x=63+92，
∴AB=63+92+9≈24(m)．
答：居民樓的高度AB約為24m．
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東東營·中考真題）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,3≈1.73）

【答案】主塔AB的高度約為78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定義求出AB=3BD，然后根據(jù)∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解決問題．
【詳解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，AB=BD?tan60°=3BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴3BD=BD+33，
∴BD=333-1=33×3+12m，
∴AB＝BC＝BD+33=33×3+12+33≈78m，
答：主塔AB的高度約為78m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河南·中考真題）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）

【答案】潛艇C離開海平面的下潛深度為308米
【分析】過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解．
【詳解】解：過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，則AD即為潛艇C的下潛深度，

根據(jù)題意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°，
設(shè)AD=x，則BD=BA+AD=1000+x，
在Rt三角形ACD中，CD=ADtan∠ACD=xtan30°=3x，
在Rt三角形BCD中，BD=CD?tan68°，
∴1000+x=3x?tan68°，
解得：x=10003?tan68°-1=10001.7×2.5-1≈308（米），
∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解．
4．（2022·四川資陽·中考真題）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)1003米后到達(dá)點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)）

(1)求點D與點A的距離；
(2)求隧道AB的長度．（結(jié)果保留根號）
【答案】(1)點D與點A的距離為300米
(2)隧道AB的長為(1502+1506)米

【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）過點D作DE⊥AB于點E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長
（1）
由題意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°
在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=1003×tan60°=1003×3=300（米）
答：點D與點A的距離為300米．
（2）
過點D作DE⊥AB于點E．

∵AB是東西走向
∴∠ADE=45°,∠BDE=60°
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×22=1502
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=1502×tan60°=1502×3=1506
∴AB=AE+BE=1502+1506（米）
答：隧道AB的長為(1502+1506)米
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧朝陽·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）

【答案】旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m
【分析】延長DF交AB于點G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長，從而求出DG的長，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可詳解．
【詳解】解：延長DF交AB于點G，

由題意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
設(shè)AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG=AGtan45°=x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°=AGDG=xx+8=33，
∴x＝43+4，
經(jīng)檢驗：x＝43+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·湖北襄陽·中考真題）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

【答案】烈士塔的高度約為28m．
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=CDAD=CD10≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴烈士塔的高度約為28m．
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022·貴州安順·中考真題）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動通信技術(shù)日趨完善．某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021~2025年擬建設(shè)5G基站3000個，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測得塔頂A的仰角53°．（點A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

(1)求坡面CB的坡度；
(2)求基站塔AB的高．
【答案】(1)3:4
(2)基站塔AB的高為17.5米

【分析】（1）過點C、D分別作AB的垂線，交AB的延長線于點N、F，過點D作DM⊥CE，垂足為M，利用勾股定理求出CM，然后利用坡度的求解方式求解即可；
（2）設(shè)DF=4a米，則MN=4a米，BF=3a米，根據(jù)∠ACN=45°，求出AN=CN=(40+4a)米，AF=(4a+10)米．在Rt△ADF中，求出a=152；再根據(jù)AB=AF-BF（米)．
（1）
解：如圖，過點C、D分別作AB的垂線，交AB的延長線于點N、F，過點D作DM⊥CE，垂足為M．

根據(jù)他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米，
∴CD=50（米），DM=30（米），
根據(jù)勾股定理得：CM=CD2-DM2=40（米）
∴坡面CB的坡度為；DMCM=3040=34,
即坡面CB的坡度比為3:4；
（2）
解：設(shè)DF=4a米，則MN=4a米，BF=3a米，
∵∠ACN=45°，
∴∠CAN=∠ACN=45°，
∴AN=CN=(40+4a)米，
∴AF=AN-FN=AN-DM=40+4a-30=(4a+10)米．
在Rt△ADF，
∵DF=4a米，AF=(4a+10)米，∠ADF=53°，
∴tan∠ADF=AFDF=4a+104a=43，
∴解得a=152；
∴AF=4a+10=4×152+10=40（米），
BF=3a=3×152=452（米)，
∴AB=AF-BF=40-452=352（米）．
答：基站塔AB的高為17.5米．
【點睛】本題考查解直角三角形，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計算是常用的方法．
8．（2022·遼寧鞍山·中考真題）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF=8m）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．
【分析】設(shè)AC與GE相交于點H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長，從而求出GH的長，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：設(shè)AC與GE相交于點H，

由題意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
設(shè)CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH?tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝GHAH=x+812+x≈0.75，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·山東菏澤·中考真題）荷澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）

【答案】約為1.9米
【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結(jié)合圖形計算，得到答案．
【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
則CD=ACtan∠ADC=4.8tan30°=4.833≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的長約為1.9米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點E處用高1.5m的測角儀DE測得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點G處，在點G處用高1.5m的測角儀FG測得∠AFC=42°．求涼亭AB的高度．（A，C，B三點共線，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【答案】6.9m
【分析】根據(jù)題意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后設(shè)CF＝x，則CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
設(shè)CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF?tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°=ACCD=0.9xx+3≈0.6，
∴x＝6，
經(jīng)檢驗：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴涼亭AB的高約為6.9m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·江蘇鹽城·中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．機械臂端點C到工作臺的距離CD=6m．

(1)求A、C兩點之間的距離；
(2)求OD長．
（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m

【分析】（1）連接AC，過點A作AH⊥BC，交CB的延長線于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．
（2）過點A作AG⊥DC，垂足為G，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．
（1）
解：如圖2，連接AC，過點A作AH⊥BC，交CB的延長線于H．

在Rt△ABH中，∠ABH=180°-∠ABC=37°，
sin37°=AHAB，所以AH=AB?sin37°≈3m，
cos37°=BHAB，所以BH=AB?cos37°≈4m，
在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，
根據(jù)勾股定理得AC=CH2+AH2=35≈6.7m，
答：A、C兩點之間的距離約6.7m．
（2）
如圖2，過點A作AG⊥DC，垂足為G，

則四邊形AGDO為矩形，GD=AO=1m，AG=OD，
所以CG=CD-GD=5m，
在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5m，
根據(jù)勾股定理得AG=AC2-CG2=25≈4.5m．
∴OD=AG=4.5m．
答：OD的長為4.5m．
【點睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時，我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解
12．（2022·山東日照·中考真題）2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點測得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點測得B點的俯角∠DAB=30°．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．

(1)求該滑雪場的高度h；
(2)據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3

【分析】（1）過B作BF∥AD，過D過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得AF=12AB=135(m)，由BC的坡度i=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；
（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm3，可得：150x=500x+35，即方程并檢驗可得甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3．
（1）解：過B作BF∥AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，∴AF=12AB=135(m)，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（負(fù)值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：該滑雪場的高度h為235m；
（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是（x+35）m3，根據(jù)題意得：150x=500x+35，解得x=15，經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，也符合題意，∴x+35=50，答：甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3．
【點睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．
13．（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一，游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山項，索速車運行的速度是1米/秒，小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角的為30°，測得白塔頂部C的仰角的為37°．索道車從A處運行到B處所用時間的為5分鐘．

(1)索道車從A處運行到B處的距離約為________米；
(2)請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）
【答案】(1)300
(2)白塔BC的高度約為45米．

【分析】（1）由路程等于速度乘以時間即可得到答案；
（2）由題意可得：∠BAD=30°,∠CAD=37°, 而AB=300, 再求解BD=150,AD=1503, 再利用tan37°=CDAD=BC+1501503=0.75, 再解方程即可．
（1）
解：∵索速車運行的速度是1米/秒，索道車從A處運行到B處所用時間的為5分鐘，
∴AB=5×60×1=300（米）
故答案為：300
（2）
解：由題意可得：∠BAD=30°,∠CAD=37°,
而AB=300米
∴BD=12AB=150米,AD=150tan30°=1503米,
∴tan37°=CDAD=BC+1501503=0.75,
∴BC=22523-150≈44.625≈45（米）
所以白塔BC的高度約為45米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟練的利用三角函數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵．
14．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進(jìn)行測量，請測量下列燈桿AB的長．

(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）
(2)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米

【分析】（1）由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根據(jù)四邊形CDBE為矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，由正切函數(shù)tanα=AECE ，即可得到AB的高度；
（2）根據(jù)AB∥ED，得到?ABF~?EDF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到EDDF=ABBF ，又根據(jù)AB∥GC，得出?ABH~?GCH，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到ABBH=GCCH 聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得；
（1）
解：如圖

由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四邊形CDBE為矩形，
則BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt?ACE中，tanα=AECE ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：燈桿AB的高度為atanα+b米
（2）
由題意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴?ABF~?EDF，
此時EDDF=ABBF
即23=ABBC+1.8+3①，
∵AB∥GC
∴?ABH~?GCH，
此時ABBH=GCCH，
21=ABBC+1 ②
聯(lián)立①②得
ABBC+4.8=23ABBC+1=2，
解得：AB=3.8BC=0.9
答：燈桿AB的高度為3.8米
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．
15．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m，背水坡BC的坡度為i1=1:1．為了對水庫大壩進(jìn)行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2=1:3，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73．結(jié)果精確到0.1m）

【答案】背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m
【分析】通過解直角三角形Rt△BCD和RtΔACD，分別求出AD和BD的長，由AB=AD-BD求出AB的長．
【詳解】解：在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1=1:1，
∴CDBD=1，
∴BD=CD=20m．
在RtΔACD中，∵背水坡AC的坡度i2=1:3，
∴CDAD=13，
∴AD=3CD=203m，
∴AB=AD-BD=203-20≈14.6m．
答：背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長度．
16．（2022·遼寧錦州·中考真題）某數(shù)學(xué)小組要測量學(xué)校路燈P-M-N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進(jìn)行測量，測量結(jié)果如下：
測量項目
測量數(shù)據(jù)
從A處測得路燈頂部P的仰角α
α=58°
從D處測得路燈頂部P的仰角β
β=31°
測角儀到地面的距離
AB=DC=1.6m
兩次測量時測角儀之間的水平距離
BC=2m

計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）

【答案】3.5米
【分析】延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長度，再求出PF的長度，即可求出答案．
【詳解】解：如圖：延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，

∵AB=DC=1.6，AB//DC
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB⊥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
同理：四邊形CDFE是矩形；
∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，
在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，
在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，
∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，
即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，
∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，
解得：AF=1.2；
∴PF=1.2×1.6≈1.9；
∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；
∴路燈頂部到地面的距離PE約為3.5米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出PF的長度．
17．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，小歡從公共汽車站A出發(fā)，沿北偏東30°方向走2000米到達(dá)東湖公園B處，參觀后又從B處沿正南方向行走一段距離，到達(dá)位于公共汽車東南方向的圖書館C處．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）

(1)求小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離；
(2)若小歡以100米/分的速度從圖書館C沿CA回到公共汽車站A，那么她在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)公共汽車站？
【答案】(1)小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離是1000米
(2)小歡15分鐘內(nèi)能到達(dá)公共汽車站

【分析】（1）過點A作AD⊥C于點D，根據(jù)B位于A的北偏東30°方向和AB＝2000米可得AD的長度；
（2）根據(jù)45°角的余弦和AD的長可得AC的長度，再結(jié)合小歡的速度可得答案．
（1）過點A作AD⊥BC于點D，∵B位于A的北偏東30°方向，AB＝2000米，∴∠B＝30°，AD＝12AB＝1000（米），答：小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離是1000米；
（2）在Rt△ADC中，∵∠DAC＝45°，AD＝1000米，∴AC＝ADcos45°＝10002≈1414（米），∵1414＜15×100，∴小歡15分鐘內(nèi)能到達(dá)公共汽車站．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題，將解直角三角形的相關(guān)知識與實際生活有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．
18．（2022·遼寧遼寧·中考真題）數(shù)學(xué)活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點E，在A處測得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測得大樹頂端D的仰角為53°，測得山坡坡角∠CBM=30°（圖中各點均在同一平面內(nèi)）．

(1)求斜坡BC的長；
(2)求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，3≈1.73）
【答案】(1)斜坡BC的長為30米
(2)這棵大樹CD的高度約為20米

【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠CAE=15°，AB=30米，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出∠ACB=15°，從而得出AB=BC=30米，即可得出答案．
（2）在Rt△CBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE，BE的長，然后在Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，最后進(jìn)行計算即可解答．
（1）
解：由題意得∠CAE=15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一個外角，
∴∠ACB=∠CBE-∠CAE=15°，
∴∠ACB=∠CAE=15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的長為30米；
（2）
解：在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC＝30米，
∴CE=12BC=15（米），
∴BE=3CE=153（米），
在Rt△DEB中，∠DBE=53°，
∴DE=BEtan53° ≈153×43=203(米)，
∴DC＝DE﹣CE＝203-15≈20（米），
∴這棵大樹CD的高度約為20米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并正確運用．
19．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【答案】貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：過B作BD⊥AC于D，

由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·山東青島·中考真題）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活·綠色出行”健步走公益活動．小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點E時，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點D處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）

【答案】觀光船從C處航行到D處的距離為462.5米
【分析】過點C作CF⊥DE于點F，根據(jù)題意利用正切函數(shù)可得AB=496，由矩形的判定和性質(zhì)得出CF=BE=296，結(jié)合圖形利用銳角三角函數(shù)解三角形即可．
【詳解】解：過點C作CF⊥DE于點F，
由題意得，∠D=40°,∠ACB=68°，
在Rt△ABC中，∠CBA=90°，
∵tan∠ACB=ABCB
∴AB=CB×tan68°=200×2.48=496
∴BE=AB-AE=496-200=296
∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°
∴四邊形FEBC為矩形
∴CF=BE=296．
在Rt△CDF中，∠DFC=90°
∵sin∠D=CFCD
∴CD=CFsin40°≈2960.64=462.5
答：觀光船從C處航行到D處的距離為462.5米．

【點睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)解三角形是解題關(guān)鍵．
21．（2022·貴州貴陽·中考真題）交通安全心系千萬家．高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD=EF=7m，測速儀C和E之間的距離CE=750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25°，在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60°，小汽車在隧道中從點A行駛到點B所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）．

(1)求A，B兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）；
(2)若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點A行駛到點B是否超速？通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由見解析

【分析】（1）分別解Rt△ACD,Rt△BEF，求得AD,BF，根據(jù)AF-BF即可求解；
（2）根據(jù)路程除以速度，進(jìn)而比較即可求解．
（1）
∵ CD∥EF,CD=EF,
∴四邊形CDFE是平行四邊形
∵ CD⊥AF,EF⊥AF
∴四邊形CDFE是矩形，
∴DF=CE=750
在Rt△ACD中，∠CAD=25°,tan∠CAD=CDAD
∴AD=CDtan25°≈70.5
在Rt△BEF中，∠EBF=60°,tan∠EBF=EFBF
∴BF=EFtan60≈71.7
∴AB=AF-BF=AD+DF-BF=70.5+750-71.7≈760
答：A，B兩點之間的距離為760米；
（2）
∵ 76038=20500，∴經(jīng)過點B到達(dá)點D較近．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
42．（2022·重慶·中考真題）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時出發(fā)前往救援．計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且B在C的正南方向900米處．

(1)求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3=1.732）；
(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請說明理由．（接送游客上下船的時間忽略不計）
【答案】(1)湖岸A與碼頭C的距離為1559米
(2)在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船

【分析】（1）過點A作CB垂線，交CB延長線于點D，設(shè)BD=x，則AB=2x，AD=3x，CD=900+x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即可求出x=450，根據(jù)Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC即可求出湖岸A與碼頭C的距離；
（2）設(shè)快艇將游客送上救援船時間為t分鐘，根據(jù)等量關(guān)系式：救援船行駛的路程+快艇行駛的路程= BC+AC，列出方程，求出時間t，再和5分鐘進(jìn)行比較即可求解．
（1）解：過點A作CB垂線，交CB延長線于點D，如圖所示，由題意可得：∠NAB=60°，∠NAC=30°，CB=900米，則∠CAD=60°，∠BAD=30°設(shè)BD=x，則AB=2x，AD=3x，CD=900+x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，∴3=900+x3x，解得x=450，在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC，∴AC=900+45032=9003=900×1.732=1558.8≈1559（米），∴湖岸A與碼頭C的距離為1559米；
（2）解：設(shè)快艇將游客送上救援船時間為t分鐘，由題意可得：150t+400t=900+1559，t≈4.47＜5，∴在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，一元一次方程應(yīng)用中的行程問題、含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系等知識點，找到等量關(guān)系式，構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
43．（2022·遼寧朝陽·中考真題）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）

【答案】（9＋43）m
【分析】過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝3AH，再證△EFG∽△ABG，得EFAB=FGBG，求出AH＝（8＋43）m，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，
則CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由題意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝AHCH＝tan30°＝33，
∴BD＝CH＝3AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴EFAB=FGBG，
即1.5AH+1=33AH+6，
解得：AH＝（8＋43）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋43）m，
即這棵古樹的高AB為（9＋43）m．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFG∽△ABG是解題的關(guān)鍵．
44．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD，測傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN），此時測得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】約為5.7m
【分析】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．
【詳解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝CDBC＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即樹AB的高度約為5.7m．
【點睛】此題考查解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．正確掌握解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關(guān)鍵．
45．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F,E為DF與AB的交點．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．
（1）求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；
（2）冬至日正午，經(jīng)過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45
三角函數(shù)銳角A
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62

【答案】（1）91cm；（2）32cm
【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）設(shè)DG交AB一直在點M，作AN⊥GD延長線于點N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AM-AE可求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF=AFAD
∴AF=ADcos∠DAF
=100×cos28°
=100×0.88
=88cm
在Rt△AEF中，cos∠EAF=AFAE
∴AE=AFcos∠EAF=88cos13°=880.97≈91cm
（2）設(shè)DG交AB一直在點M，作AN⊥GD延長線于點N，如圖，

則∠AMN=∠MAC+∠MGA
∴∠AMN=13°+32°=45°
在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm
在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32°=0.62
∴FG=DF0.62≈75.8cm
∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm
在Rt△ANM中，sin45°=ANAM=86.8AM
∴AM=86.822≈123.1cm
∴EM=AM-AE=123.1-91=32.1cm≈32cm
∴EH的最小值為32cm
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．
46．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在山坡AP的坡腳A處豎有一根電線桿AB（即AB⊥MN），為固定電線桿，在地面C處和坡面D處各裝一根引拉線BC和BD，它們的長度相等．測得AC=6米，tan∠BCA=43,∠PAN=30°，求點D到AB的距離．

【答案】23+39
【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函數(shù)及勾股定理求出AD的長，再利用三角函數(shù)求出答案即可．
【詳解】如圖：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，
在Rt△ABC中，tan∠BCA=ABAC=43，AC=6，
∴AB=8，
∴BC=BD=AB2+AC2=82+62=10，
在Rt△ABF中，∠BAF=90°-∠PAN=60°，
∴AF=AB?cos∠BAF=8×12=4，
BF=AB?sin∠BAF=8×32=43，
∴DF=BD2-BF2=102-(43)2=213，
∴AD=AF+DF=4+213，
在Rt△ADE中，∠EAD=60°，
∴DE=AD?sin∠EAD=(4+213)×32=23+39．
∴點D到AB的距離為23+39米．
．
【點睛】此題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，勾股定理的計算，正確理解題意引出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
47．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）圖①是一種手機平板支架、由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖、托板長AB=115mm，支撐板長CD=70mm，板AB固定在支撐板頂點C處，且CB=35mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動，∠CDE=60°．
（1）若∠DCB=70°時，求點A到直線DE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；
（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB=70°調(diào)整為90°，再將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線DE上即可、求CD旋轉(zhuǎn)的角度．
（參考數(shù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，3≈1.7）

【答案】（1）124mm；（2）33.4°
【分析】（1）通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CN、AF，即可求出點A到直線DE的距離．
（2）依題意畫出圖形，解直角三角形BCD得出∠CDB=26.6°，即可得出答案；
【詳解】解：如圖，過A作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，過點C作CF⊥AM，垂足為F，過點C作CN⊥DE，垂足為N，則四邊形CFMN為矩形；
由題意可知，AC=AB-CB=115-35=80，CD=70，∠DCB=70°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，CN=CD?sin∠CDE=70×32=353mm=FM
∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=70°，
∴∠BCN=70°-30°=40°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM//CN，
∴∠A=∠BCN=40°，
∴∠ACF=90°-40°=50°，
在Rt△AFC中，AF=AC?sin50°=80×0.8≈64（mm），
∴AM=AF+FM=64+353≈64+59.5=123.5≈124（mm），
∴點A到直線DE的距離約為124mm．

（2）依題意畫出圖形，如圖
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=35mm，CD=70mm，
∴tan∠BDC=BCDC=3570=0.5
∴∠CDB≈26.6°，
∴CD旋轉(zhuǎn)的角度=60°-26.6°=33.4°．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
48．（2022·遼寧營口·中考真題）小張早起在一條東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時，D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向，當(dāng)小張沿正東方向跑了600m到達(dá)B處時，E處圖書館在他的北偏東15°方向，然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑600m到達(dá)C處，此時D處學(xué)校在他的北偏西63.4°方向，求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.9,cos63.4°≈0.4,tan63.4°≈2.0,2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4）

【答案】580m
【分析】過點D作DG⊥AC，BF⊥AE，通過解Rt△ABF、Rt△BEF、Rt△CDG求出AD、AF、EF的長度，利用線段的和差即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得∠MAE=45°，∠NBE=15°，∠PCD=63.4°，AB=BC=600m，
過點D作DG⊥AC，BF⊥AE，

則∠ADG=∠MAE=45°，∠CDG=∠PCD=63.4°，
∴AG=DG，∠E=90°-∠NBE-∠BAD=30°
設(shè)AG=x，則DG=x，AD=2x，CG=1200-x，
∵tan∠CDG=CGDG，
∴1200-xx≈2.0，解得x=400m，
∴AD=4002m，
在Rt△ABF中，AF=BF=22AB=3002m，
在Rt△BEF中，BFEF=tanE=33，
∴EF=3BF=3006m，
∴DE=AF+EF-AD=3002+3006-4002=3006-1002≈580m．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，構(gòu)造合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
49．（2022·遼寧本溪·中考真題）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道AB．無人機從點A的正上方點C，沿正東方向以8ms的速度飛行15s到達(dá)點D，測得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點E，測得點B的俯角為37°．

（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）；
（2）求AB的長度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
【答案】（1）無人機的高度AC=1203m；（2）AB的長度為243m．
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函數(shù)即可求解；
（2）先證明四邊形ABFC為矩形，在Rt△BFE中，求得EF≈138m，即可求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：CD=8×15=120(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴tan60°=ACCD，
∴AC=120×33=1203(m)，
答：無人機的高度AC=1203m；
（2）根據(jù)題意得：DE=8×50=400(m)，
則CE= DE+CD=520(m)，
過點B作BF⊥CE于點F，

則四邊形ABFC為矩形，
∴AB=FC，BF=AC=1203m，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴tan37°=BFEF=0.75，
∴EF=12030.75≈276.8(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8≈243(m)，
答：AB的長度為243m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
50．（2022·貴州安順·中考真題）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機被廣泛應(yīng)用到實際生活中，小星利用無人機來測量廣場B,C兩點之間的距離．如圖所示，小星站在廣場的B處遙控?zé)o人機，無人機在A處距離地面的飛行高度是41.6m，此時從無人機測得廣場C處的俯角為63°，他抬頭仰視無人機時，仰角為α，若小星的身高BE=1.6m,EA=50m（點A,E,B,C在同一平面內(nèi)）．

（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B,C兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）．sin63°≈0.89,cos63°≈0.45,tan63°≈1.96,?sin27°≈0.45,?cos27°≈0.89,tan27°≈0.51
【答案】（1）45；（2）B，C兩點之間的距離約為51m．
【分析】（1）如圖，過A點作AD⊥BC于D，過E點作EF⊥AD于F，利用四邊形BDFE為矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，則AF＝40m，然后根據(jù)正弦的定義求解；
（2）先利用勾股定理計算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定義計算出CD，然后計算BD＋CD即可．
【詳解】解：（1）如圖，過A點作AD⊥BC于D，過E點作EF⊥AD于F，

∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四邊形BDFE為矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD?DF＝41.6?1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE=4050=45，即sinα=45．
答：仰角α的正弦值為45；
（2）在Rt△AEF中，EF＝502-402=30m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m，
∵tan∠ACD=ADCD，
∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，
∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m．
答：B，C兩點之間的距離約為51m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題：根據(jù)題意畫出幾何圖形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多