專題3.8  函數(shù)與方程1．（2021·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理，即可判斷零點所在的區(qū)間．【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，由，（1），（1）結(jié)合函數(shù)零點存在定理可得方程的解在，內(nèi)．故選：．2．（2021·湖北黃岡市·黃岡中學(xué)高三其他模擬）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】因為為開口向上的拋物線，且對稱軸為，在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，所以，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B3．（2021·江西高三其他模擬（理））已知函數(shù)，若函數(shù)，僅有1個零點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，故，然后作出函數(shù)圖像，求出函數(shù)在處的切線的斜率可得答案【詳解】令，故，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，觀察可知，臨界狀態(tài)為直線與曲線在處的切線，當(dāng)時，，則，所以切線的斜率為，所以，故選：A.4．（2021·全國高三其他模擬）已知，有下列四個命題：：是的零點；：是的零點；：的兩個零點之和為1：有兩個異號零點若只有一個假命題，則該命題是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先假設(shè)，是真命題，則，均為假命題，不合題意，故，中必有一個假命題.然后分情況討論是假命題和是假命題的兩種情況，推出合理或者矛盾.【詳解】由題意，若，是真命題，則，均為假命題，不合題意，故，中必有一個假命題.若是假命題，，是真命題，則的另一個零點為，此時為真命題，符合題意；若是假命題，，是真命題，則的另一個零點為，此時為假命題，不符合題意.故選:A.5.（2021·山東煙臺市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則方程根的個數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)，由解析式畫出在上的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的對稱性即可知定義域上的交點個數(shù).【詳解】要求方程根的個數(shù)，即為求與的交點個數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個交點，又由在上是偶函數(shù)，∴在上也有3個交點，故一共有6個交點.故選：D.6．【多選題】（2021·湖北荊州市·荊州中學(xué)高三其他模擬）在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】本題首先可通過求導(dǎo)得出函數(shù)在上是增函數(shù)、在上是減函數(shù)以及，然后通過函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理對四個選項依次進行判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】，，當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上是減函數(shù)，，A項：，，因為，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，A正確；B項：，，因為，，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，B正確；C項：，，，因為，所以函數(shù)在內(nèi)不存在零點，C錯誤；D項：，，，則函數(shù)在內(nèi)存在零點，D正確，故選：ABD.7．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知定義域為的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，，則（    ）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于對稱C．在上有3個實數(shù)根 D．【答案】BC【解析】由為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，可判定B正確；由是奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于點對稱，得到和，根據(jù)題意，求得，可判定D不正確；由，可判定A不正確；由，可判定C正確.【詳解】根據(jù)題意，可得函數(shù)的定義域為，由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即，所以B正確；由函數(shù)是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即，可得，則，即函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，可得，即，所以D不正確；由函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，可得，因為，令，可得，所以，所以函數(shù)一定不是偶函數(shù)，所以A不正確；當(dāng)時，，所以，由，可得，又由，所以C正確.故選：BC.8．（2020·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）=（x-2）2-lnx的零點個數(shù)為______．【答案】2【解析】令，得到，將等號左右兩邊看成兩個函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出圖像，找到它們的交點個數(shù)，即得到的零點個數(shù).【詳解】函數(shù)的定義域為，畫出兩個函數(shù)，的圖象，由函數(shù)圖象的交點可知，函數(shù)的零點個數(shù)為2．故答案為2．9.（湖南高考真題）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】畫出的圖像，和如圖，要有兩個交點，那么10．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象的交點為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________．【答案】(1,2)【解析】設(shè)f（x）=x3- ，則x0是函數(shù)f(x)的零點，根據(jù)圖象，結(jié)合零點存在定理，可得x0的所在區(qū)間.【詳解】設(shè)f(x)＝x3－，則x0是函數(shù)f(x)的零點，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝x3與y＝的圖象如圖所示．因為f(1)＝1－＝－1＜0，f(2)＝8－＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)．1．（2021·河南高三月考（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)圖象，題目等價于與有四個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得且直線與曲線，，有兩個不同的公共點，滿足在內(nèi)有兩個不等實根即可.【詳解】畫出的函數(shù)圖象，設(shè)，該直線恒過點，結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程有四個不同的實數(shù)根，則且直線與曲線，，有兩個不同的公共點，所以在內(nèi)有兩個不等實根，令，實數(shù)滿足，解得，又，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（2021·臨川一中實驗學(xué)校高三其他模擬（文））已知實數(shù)，滿足，若方程的兩個實根分別為，，則不等成立的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】若方程兩個實根分別為，且可得，再根據(jù)得到可行域，利用幾何概型即可得解.【詳解】設(shè)，則，即，設(shè)對應(yīng)區(qū)域面積為，滿足對應(yīng)區(qū)域面積為，則由圖可知，，所以.故選：A3．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模擬）已知二次函數(shù)有兩個不同的零點，若有四個不同的根，且成等差數(shù)列，則不可能是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)的兩個不同零點為m，n，且m>n，根據(jù)韋達定理，可得，的表達式，根據(jù)有四個不同的根，可得以對應(yīng)的根為，對應(yīng)的根為，根據(jù)韋達定理，可得 ，，，表達式，根據(jù)題意，計算化簡，可得m，n的關(guān)系，代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)的兩個不同零點為m，n，且m>n，所以，，且，又因為有四個不同的根，所以對應(yīng)的根為，對應(yīng)的根為，所以，，所以，同理，因為成等差數(shù)列，所以，則所以，解得，因為m>n，所以，解得，所以，所以當(dāng)時，有最大值，所以不可能為3.故選：D4．（2021·浙江湖州市·高三二模）“關(guān)于的方程有解”的一個必要不充分條件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)形結(jié)合，探討出“關(guān)于的方程有解”的充要條件，再由必要不充分條件的意義即可得解.【詳解】關(guān)于的方程有解，等價于函數(shù)與的圖象有公共點，函數(shù)的圖象是以原點為圓心，1為半徑的上半圓，y=|x-m|的圖象是以點(m，0)為端點，斜率為且在x軸上方的兩條射線，如圖：y=x-m與半圓相切時，點(m，0)在B處，，y=-x+m與半圓相切時，點(m，0)在A處，，當(dāng)y=|x-m|的圖象的頂點(m，0)在線段AB上移動時，兩個函數(shù)圖象均有公共點，所以“關(guān)于的方程有解”的充要條件是，B不正確；因，，即是的必要不充分條件，A正確；，，即是的充分不必要條件，C不正確；，，即是的不充分不必要條件，C不正確.故選：A.5．（2021·遼寧高三月考）已知的定義域為，且滿足，若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函數(shù)在區(qū)間值域及單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，以此類推，當(dāng)時，，且函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，且，因此，在內(nèi)的零點個數(shù)為.故選：B.6．（2021·浙江高三其他模擬）設(shè)是常數(shù)，若函數(shù)不可能有兩個零點，則b的取值情況不可能為（    ）A．或 B．C．1 D．【答案】D【解析】令，易知是的一個零點.只需討論的情況：分為b=0和b≠0分類討論.在b≠0時，根據(jù)判別式討論根的情況即可.【詳解】令，即或.顯然是的一個零點.下面討論的根的情況：（1）b=0時，.不符合題意.（2）b≠0時，①若時，有或，此時沒有實數(shù)根，符合題意；②若時，有或，若，的根為，所以有一個零點，符合題意；若，的根為，所以有兩個零點，不符合題意；③若時，有或，此時有實數(shù)根，要使函數(shù)不可能有兩個零點，只需不是的根，所以，即， 符合題意；故選：D7．（2021·江西撫州市·高三其他模擬（文））若函數(shù)f(x)滿足，當(dāng)時，．若在區(qū)間內(nèi)有兩個零點則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)可得，由內(nèi)有兩個零點，可知內(nèi)與有兩個交點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合并利用導(dǎo)數(shù)判斷存在兩個交點時m的范圍即可.【詳解】由題意，若，則，則，∴時，，∴，在內(nèi)有兩個零點，即內(nèi)與有兩個交點，且過定點，∴時，顯然圖象只有一個交點，即僅有一個零點，時，在右半支上，當(dāng)過時，要使上圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，在左半支上，當(dāng)與相切時只有一個交點，此時，得，則，∴，整理得，可得，∴要使上圖象有兩個交點，則.綜上，.故選：A8．【多選題】（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，．則下列四個命題中正確的是（    ）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的周期為8D．函數(shù)在區(qū)間上有4個零點【答案】BC【解析】先利用條件中的等式得到，再利用函數(shù)的奇偶性得到，然后結(jié)合條件中的等式逐個對選項進行分析判斷即可．【詳解】令，得，故，又是上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為8，選項C正確．因為，所以，又是上的奇函數(shù)，所以，即，故，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以為偶函數(shù)，選項B正確．是上的奇函數(shù)，則，又，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，只有2個根．又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時，只有，故當(dāng)時，只有2個根，由對稱性知，當(dāng)時，只有2個根，所以函數(shù)在區(qū)間上有5個零點，故選項D錯誤若函數(shù)為奇函數(shù)，則，令，則，又，所以．又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故，與當(dāng)時，矛盾，故選項A錯誤．故選：BC．9．（2021·晉中市新一雙語學(xué)校高三其他模擬（文））規(guī)定記號""表示一種運算，即，若，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】1【解析】根據(jù)新運算的定義，得到函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，得到函數(shù)的四個零點兩兩對稱，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，則函數(shù)有四個零點，從大到小依次是，，，，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，所以，解得故答案為：1.10．（2021·上海格致中學(xué)高三三模）已知函數(shù)的定義域是，滿足且，若存在實數(shù)k，使函數(shù)在區(qū)間上恰好有2021個零點，則實數(shù)a的取值范圍為____【答案】【解析】方程在上恰有2021個零點，等價于存在，使在上恰有2021個交點，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，再根據(jù)函數(shù)周期性的應(yīng)用，使每個交點都處在之間才能取到2021個點，代入條件求得參數(shù)取值范圍.【詳解】由函數(shù)在上的解析式作出如圖所示圖像，由知，函數(shù)是以4為周期，且每個周期上下平移|a|個單位的一個函數(shù)，若使時，存在，方程在上恰有2021個零點，等價于在上恰有2021個交點，如圖所示，知在每個周期都有4個交點，即時滿足條件，且必須每個周期內(nèi)均應(yīng)使處在極大值和極小值之間，才能保證恰有2021個交點，則當(dāng)時，需使最后一個完整周期中的極小值，即，解得，即當(dāng)時，需使最后一個極大值，即，解得，即，綜上所述，故答案為：1.（2018·全國高考真題（理））已知函數(shù) ．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0）    B．[0，+∞）    C．[–1，+∞）    D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即，故選C.2.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.3.（安徽高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與函數(shù)的圖像只有一個交點，則的值為            .【答案】【解析】時取得最小值．即函數(shù)的圖像的最低點為．當(dāng)時，由數(shù)形結(jié)合可知此時直線與的圖像必有兩個交點，故舍；當(dāng)時，要使直線與的圖像只有一個交點，則有直線必過點，即，解得．綜上可得．4.（2018·浙江高考真題）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．【答案】  (1,4)  【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時，，此時，即在上有兩個零點；當(dāng)時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.5.（2018·天津高考真題（理））已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】分類討論：當(dāng)時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，當(dāng)時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，令，其中，原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，求的取值范圍.結(jié)合對勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實數(shù)的取值范圍是.6.（2019·江蘇高考真題）設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則 的取值范圍是_____.【答案】.【解析】當(dāng)時，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.  當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有個交點；當(dāng)時，的圖象為恒過點的直線，只需函數(shù)與的圖象有個交點.當(dāng)與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個交點；當(dāng)過點時，函數(shù)與的圖象有個交點，此時，得.綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為. 

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