專題4.2 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．（浙江高考真題）函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（    ）A．    B．C．    D．【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．2．（2020·重慶市第七中學(xué)校高三期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出的減區(qū)間，只需，，解不等式求出a的范圍.【詳解】解：，當(dāng)，即時，有，即在上函數(shù)是減函數(shù)，從而，，即且，解得．所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：A.3．（2021·廣東高三其他模擬）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖象，然后根據(jù)圖象得出，再用表示出，根據(jù)所得關(guān)于的函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果．【詳解】函數(shù)大致圖象如下：則由圖可得，而，故．，令，，．則在，上為單調(diào)增函數(shù)．，．故選：D4．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，進(jìn)而可得出，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為．由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：A.5．（2021·福建高三三模）已知函數(shù)，實數(shù)，滿足不等式，則下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于對稱，求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴函數(shù)關(guān)于對稱，又，∵，∴，∴恒成立，則是增函數(shù)，∵，∴，∴，得，故選：A.6．【多選題】（2021·全國高三其他模擬）如圖是函數(shù)的部分圖像，則的解析式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得到必為奇函數(shù)，排除B選項；根據(jù)時，，可排除D選項，對于A、C項，得出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由為奇函數(shù)，則函數(shù)必為奇函數(shù)，排除B選項；當(dāng)時，，可得，排除D選項.對于A中，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)或時，可得，又由，當(dāng)時，，所以函數(shù)在軸右側(cè)先單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在附近存在單調(diào)遞減區(qū)間，選項A符合；對于C中，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)或時，可得，又由，當(dāng)時，，所以函數(shù)在軸右側(cè)先單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在附近存在單調(diào)遞減區(qū)間，選項C符合.故選：AC.7．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，且在與處取得極值，則下列結(jié)論正確的有（    ）
A． B．C． D．函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】BC【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在與處取得極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合韋達(dá)定理求出，，之間的關(guān)系，判斷其符號，進(jìn)而可得到結(jié)論．【詳解】因為，所以，由圖知的增區(qū)間是，，減區(qū)間是，所以的解集為，的解集為，所以，A錯誤；因為在與處取得極值，則，是方程的根，由韋達(dá)定理可知，B正確；由圖可知，由韋達(dá)定理可知，故，故，C正確；因為的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，所以在上遞減，在上遞增，D錯誤，故選：BC．8．（2021·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三月考）已知在上單調(diào)遞增，.若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為____________.【答案】【解析】先解出.再由是的充分不必要條件即可得出答案.【詳解】在上單調(diào)遞增在上恒成立.即在上恒成立，所以：.又是的充分不必要條件，即.故答案為：.9. (2019年高考北京理)設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數(shù)的取值范圍是.10．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三月考）已知，函數(shù)．（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直，求a，b的值；（2）設(shè)，若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，由題可得，，列出式子即可求出；（2）可得，求出導(dǎo)數(shù)，可得對任意，有恒成立，由此可求出a的取值范圍.【詳解】（1），，依題意有，且，可得，解得,或.（2）在上是增函數(shù).可得，依題意有, 對任意，有恒成立. 由，則，可得.1．（2021·遼寧實驗中學(xué)高三其他模擬）已知實數(shù)，，滿足且，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先根據(jù)題中的條件得到，從而得到；再根據(jù)時得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到.【詳解】由得，————①由得，————②兩式相加得，因為，，所以，又因為 ，所以；因為，，所以，即，所以；令，則，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以，即，又令，則，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，所以由，得到.所以.故選：D.2.【多選題】（2021·山東濟(jì)南市·高三其他模擬）數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（），則（    ）A．存在n使an0 B．任意n使an0C．anan+1 D．anan+1【答案】BD【解析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性判斷每一個選項.【詳解】解：設(shè)f(x)＝x+ln（1+x），其定義域為（﹣1，+∞），則f′(x)＝1+＝在（﹣1，+∞）上大于0恒成立，故f(x)在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）＝0，若an0，則an+1+ln（1+an+1）0，即f（an+1）0，即f（an+1）f（0），則由f(x)的單調(diào)性可得an+10，即an0可得an+10，又由a1＝10可得：任意，使an0，故A錯，B對，又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+10，故ln（1+an+1）0，∴an﹣an+10?anan+1，故C錯，D對，故選：BD．3．（2021·遼寧高三其他模擬）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是____________________【答案】【解析】先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)在上恒成立即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，由題意知在上恒成立且不恒為0，顯然時，恒成立，所以只需在 上恒成立且不恒為0，即在 上恒成立且不恒為0，所以只需當(dāng)時，又當(dāng)時，有，所以，即有最大值，所以，即.故答案為：.4．（2021·陜西寶雞市·高三月考（文））若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】先求導(dǎo)，根據(jù)題意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得結(jié)果.【詳解】由知，,時，是增函數(shù)，，又，∴在上恒成立，而，．故答案為：．5．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，得到為奇函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且滿足，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又由，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，所以函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，又因為，即，即，所以，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：.6．（2020·重慶市云陽江口中學(xué)校高三月考）已知函數(shù)，，，且對于任意實數(shù)x，恒有. （1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由偶函數(shù)定義待定系數(shù)b即可；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”和“在上恒成立”兩個問題分別求解.【詳解】（1）由題設(shè)得：，，則，對于任意實數(shù)x都成立，，.（2）， .要使在上單調(diào)，只需在上恒成立，或在上恒成立．則在上恒成立，或在上恒成立．即在上恒成立，或在上恒成立.設(shè)，則.要使在上恒成立，則，要使 在上恒成立，則.或.7．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)是圖象的一條切線，求證：當(dāng)時，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積與切點無關(guān)； （Ⅱ）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)切點為，求出切線方程并計算與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，故可得相應(yīng)的結(jié)論.（Ⅱ）由題設(shè)可得，利用參變分離可得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，， 設(shè)圖象上任意一點，切線斜率為.     過點的切線方程為.令，解得；令，解得.         切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積與切點無關(guān).   （Ⅱ）由題意，函數(shù)的定義域為.因為在上單調(diào)遞減， 所以在上恒成立，即當(dāng)，恒成立，所以因為當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以當(dāng)時，所以.     所以的取值范圍為.8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若，分析在上的單調(diào)性.【答案】（1）最大值為；（2）在上單調(diào)遞減.【解析】(1)求導(dǎo)后，判斷單調(diào)性進(jìn)而求出最大值即可；(2)由題意可知，求導(dǎo)后表達(dá)式比較復(fù)雜，故因式分解后構(gòu)造新的函數(shù)，通過二次求導(dǎo)來判斷的正負(fù)號，進(jìn)而判斷出在上的單調(diào)性.【詳解】(1)由條件知，令，得，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為.(2)由已知得，所以，當(dāng)時，.令，則，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，從而，所以在上單調(diào)遞減.9．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)對都有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分,討論，當(dāng)時，根據(jù)兩根關(guān)系討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）不妨令，由恒成立可得在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)恒成立求解即可.【詳解】（1）依題意有定義域為，當(dāng)時，，，∴當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，令，得，（i）當(dāng)，，即當(dāng)時，，則時，在，上均為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（ii）當(dāng)，，即時，，上為增函數(shù)；(iii)當(dāng)，，即時，則時，在，上均為增函數(shù)；在上為減函數(shù).綜上：當(dāng)時，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）不妨令，則，即，令，則在上為減函數(shù).即對恒成立.令，當(dāng)時，所以當(dāng)時，∴故的取值范圍為.10．（2020·四川成都市·北大附中成都為明學(xué)校高三月考（文））已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得到，求導(dǎo)，分別求得，寫出切線方程；  （2）設(shè)，易知在上單調(diào)遞減，則，  然后分，，討論求解.【詳解】（1）當(dāng)時，， 則， 所以， 所以，所求切線方程為，即.  （2）設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，即.  （i）當(dāng)時，，則，則，若在上單調(diào)遞增，則對于任意的恒成立，即.因為，所以當(dāng)時，，所以，又，此時的取值范圍為（ii）當(dāng)時，，則，則，若在上單調(diào)遞增，則對于任意的恒成立，即.因為，所以當(dāng)時，，所以，此時的取值范圍為.  （iii）當(dāng)時，則存在唯一的，使得.當(dāng)時，，即存在且，使得，從而，即，這與“在上為增函數(shù)”矛盾，此時不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍1．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，，．則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0<x<2時，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.2.（2018·全國高考真題（文））函數(shù)的圖像大致為（    ）A．    B．C．    D．【答案】D【解析】函數(shù)過定點，排除，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，排除，故選D.3．（2017·江蘇高考真題）已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是_________。【答案】【解析】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因為，所以數(shù)在上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為．4．（2020·全國高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】（1）由題，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.5.（2019年高考全國Ⅲ卷理）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（i）當(dāng)a≤0時，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，l]的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即a=0，．（ii）當(dāng)a≥3時，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，b=1，即a=4，b=1．（iii）當(dāng)0<a<3時，由（1）知，在[0，1]的最小值為，最大值為b或．若，b=1，則，與0<a<3矛盾.若，，則或或a=0，與0<a<3矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，或a=4，b=1時，在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．6．（2016北京理）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】（1）因為，所以.依題設(shè)，即解得；（2）由（Ⅰ）知.由即知，與同號.令，則.所以，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故是在區(qū)間上的最小值，從而.綜上可知，，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為. 

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