?2023-2024學(xué)年四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國語學(xué)校九年級第一學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一個選項符合
1．剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，距今已經(jīng)有三千多年的歷史，剪紙文化起源于人民的社會生活，蘊(yùn)含了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會認(rèn)識，生活理想和審美情趣，下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．若a＜b，c＜0，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．﹣a＜﹣b B． C．a(chǎn)+c＞b+c D．a(chǎn)c2＞bc2
3．若分式的值為0，則x的值為（　?。?br /> A．﹣3 B．3 C． D．﹣
4．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
5．下列說法正確的是（　?。?br /> A．三條邊相等的四邊形是菱形
B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD＝50°，則∠EFC的度數(shù)為（　?。?br />
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．如圖，直線y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于點P，根據(jù)圖象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集為（　?。?br />
A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
8．如圖，菱形OABC的邊長為2，∠AOC＝45°，則點B的坐標(biāo)是（　　）
?

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．因式分解12abc2﹣3ab＝　 ?。?br /> 10．一個n邊形有20條對角線，則n＝　 ?。?br /> 11．關(guān)于x的方程＝3有增根，則m的值為 　 　．
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為 　 　．

13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．若∠A＝30°，則＝　 　．

三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（1）解方程：2y2+4y＝y(tǒng)+2；
（2）解不等式組：．
15．為了解學(xué)生對“校園安全知識”的了解程度，某校隨機(jī)抽取了七年級、八年級各20名學(xué)生進(jìn)行問卷測試，并對得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)x表示，單位：分），且分為A，B，C三個等級，分別是：優(yōu)秀為A等級：80≤x≤100；合格為B等級：60≤x＜80；不合格為C等級：x＜60．分別繪制成如下統(tǒng)計圖表，其中七年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A等級，A等級測試成績情況分別為：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)在A等級的共有a個人．
七年級、八年級兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如下表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ??；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個年級的測試成績更好，并說明理由；
（3）若從獲得C等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享感受，請用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率．
成績成
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
85
b
c
99.5
八年級
85
88
96
95.1
16．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根x1和x2．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x1?x2﹣x1﹣x2＝0時，求m的值．
17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．

18．如圖所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1所示，連結(jié)AD，BE，求證：∠CAD＝∠CBE；
（2）如圖2所示，若AE＝AB，判斷BD和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3所示，O是斜邊AB的中點，M點在BC右側(cè)，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，連結(jié)OM，OM＝13，求CM的長度．

一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
19．已知，則代數(shù)式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值為 　 ?。?br /> 20．若關(guān)于x的不等式組的解集是x≤3，且關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的值之和為 　 　．
21．如圖所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個格點，在格點中任意放置點C，恰好能使△ABC的面積為1的概率是 　 ?。?br />
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對于線段AB和直線l，A，B兩端點到直線l的距離中的較小值稱為線段AB到直線l的“最近距離”．
（1）如圖，A（2，1），B（2，2），則AB到x軸的“最近距離”為 　 　；
（2）如圖，正方形OABC的邊長為4，點E、F均為正方形邊上的動點，，記線段EF到直線y＝﹣x+10的“最近距離”為d2，則d2的取值范圍是 　 ?。?br />
23．如圖，在正方形紙片ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的中點，點G是AB上一點，沿著GF，GE剪兩刀，將剪成的三片拼成一個無縫銜接的等腰三角形，若正方形的邊長為4，則拼成的等腰三角形的腰長為 　 ?。?br />
二、解答題（本大題共3個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）
24．穿親子裝是近年來現(xiàn)代家庭中涌現(xiàn)出的一種流行趨勢，不僅能表達(dá)那份久違的童真，過一把“孩童”癮，同時也體現(xiàn)出“我們是親密的一家人”的濃濃親情．某商店抓住商機(jī)，在2020年至2022年這三年每年都銷售“幸福牌”親子裝．2020年該商店用10500元購進(jìn)了一批“幸福牌”親子裝并全部售完；2022年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價比2020年下降了11元/套，該商店用9400元購進(jìn)了與2020年相同數(shù)量的“幸福牌”親子裝，也全部售完．已知“幸福牌”親子裝的售價均為130元/套．
（1）求2020年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價；
（2）若該商店每年銷售“幸福牌”親子裝所獲利潤的年增長率相同，則年增長率是多少？
25．如圖，直線l：y＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點A，B，以O(shè)A為邊在y軸的右側(cè)作正方形AOBC，且S△AOB＝8．

（1）求直線l的解析式；
（2）如圖1，點D是x軸上一動點，點E在AD的右側(cè)，∠ADE＝90°，AD＝DE．
①當(dāng)AE+CE最小時，求E點的坐標(biāo)；
②如圖2，點D是線段OB的中點，另一動點H在直線BE上，且∠HAC＝∠BAD，請求出點H的坐標(biāo)．
26．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形ABCD中，點E在CD邊上，將△ADE沿AE對折得到△AFE，延長EF交BC邊于點G，連接AG．證明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如圖2，矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求的值．
（3）拓展：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．
?


參考答案
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一個選項符合
1．剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，距今已經(jīng)有三千多年的歷史，剪紙文化起源于人民的社會生活，蘊(yùn)含了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會認(rèn)識，生活理想和審美情趣，下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．
解：A．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C．原圖既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意；
D．原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
2．若a＜b，c＜0，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B． C．a(chǎn)+c＞b+c D．a(chǎn)c2＞bc2
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
解：a＜b，兩邊同時乘以一個小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A錯誤，不符合要求；
a＜b，兩邊同時除以一個小于0的值c，可得，故B正確，符合要求；
a＜b，兩邊同時加上c，可得a+c＜b+c，故C錯誤，不符合要求；
a＜b，兩邊同時乘以一個大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D錯誤，不符合要求；
故選：B．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對不等式性質(zhì)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
3．若分式的值為0，則x的值為（　?。?br /> A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，據(jù)此可得x的值．
解：∵分式的值為0，
∴x﹣3＝0且2x﹣5≠0，
解得x＝3，
故選：B．
【點評】本題主要考查了分式值為零的條件，解題時注意：“分母不為零”這個條件不能少．
4．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及外角的特征計算．
解：多邊形的外角和是360°，根據(jù)題意得：
180°?（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故選：C．
【點評】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決．
5．下列說法正確的是（　?。?br /> A．三條邊相等的四邊形是菱形
B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
【分析】利用菱形、矩形、平行四邊形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．
解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯誤；
B、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確；
C、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故原命題錯誤；
D、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，故原命題錯誤，
故選：B．
【點評】本題考查了平行四邊形及特殊平行四邊形的判定方法，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的判定定理，難度不大．
6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD＝50°，則∠EFC的度數(shù)為（　?。?br />
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，可得∠B＝∠BDC＝65°，∠ACE＝50°，由三角形內(nèi)角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝25°．從而得到∠E＝25°．再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．
解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝50°，
∴，∠ACE＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝25°．
∴∠E＝25°．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝105°．
故選：C．
【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和等相關(guān)內(nèi)容，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E和∠ECF的角度是解題關(guān)鍵．
7．如圖，直線y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于點P，根據(jù)圖象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集為（　?。?br />
A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
【分析】觀察圖象，當(dāng)x＜1時，函數(shù)y＝kx﹣3的圖象位于函數(shù)y＝﹣x+b的圖象下方，即可求解．
解：由圖象知，當(dāng)x＜1時，函數(shù)y＝kx﹣3的圖象位于函數(shù)y＝﹣x+b的圖象下方，表明當(dāng)x＜1時，kx﹣3＜﹣x+b；
即不等式kx﹣3＜﹣x+b的解集為：x＜1；
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的交點與一元一次不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是本題的最大特點．
8．如圖，菱形OABC的邊長為2，∠AOC＝45°，則點B的坐標(biāo)是（　?。?br /> ?

A． B． C． D．
【分析】作BH⊥x軸于H，由菱形的性質(zhì)得到AO＝AB＝2，CO∥AB，推出∠BAH＝∠AOC＝45°，得到△ABH是等腰直角三角形，即可求出AH＝BH＝，得到OH＝2+，即可得到點B的坐標(biāo)．
解：作BH⊥x軸于H，
∵四邊形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝2，CO∥AB，
∴∠BAH＝∠AOC＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝AB＝，
∴OH＝AO+AH＝2+，
∴點B的坐標(biāo)是（2+，）．
故選：D．

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)，得到△ABH是等腰直角三角形．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．因式分解12abc2﹣3ab＝　3ab（2c+1）（2c﹣1）?。?br /> 【分析】直接提取公因式3ab，再利用平方差公式分解因式即可．
解：12abc2﹣3ab＝3ab（4c2﹣1）
＝3ab（2c+1）（2c﹣1）．
故答案為：3ab（2c+1）（2c﹣1）．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
10．一個n邊形有20條對角線，則n＝　8　．
【分析】利用多邊形的對角線公式列得方程，解方程即可．
解：由題意可得＝20，
解得：n＝8或n＝﹣5（舍去），
即n＝8，
故答案為：8．
【點評】本題考查多邊形的對角線及解一元二次方程，結(jié)合已知條件列得正確的方程是解題的關(guān)鍵．
11．關(guān)于x的方程＝3有增根，則m的值為 　﹣1　．
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
解：方程兩邊都乘（x﹣2），得
2x﹣（3﹣m）＝3（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最簡公分母x﹣2＝0，即增根為x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝﹣1．
【點評】增根問題可按如下步驟進(jìn)行：
①讓最簡公分母為0，確定增根；
②化分式方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為 　139?。?br />
【分析】首先利用勾股定理求得AB邊的長度，然后由三角形的面積公式和正方形的面積公式解答．
解：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，
由勾股定理知，AB＝＝13．
故S陰影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝132﹣×5×12＝169﹣30＝139．
故答案為：139．
【點評】本題主要考查了勾股定理，求陰影部分的面積時，采用了“分割法”．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．若∠A＝30°，則＝　　．

【分析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，再計算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值．
解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴＝．
故答案為．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（1）解方程：2y2+4y＝y(tǒng)+2；
（2）解不等式組：．
【分析】（1）先將方程變形，然后根據(jù)因式分解法可以解答此方程；
（2）先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
解：（1）2y2+4y＝y(tǒng)+2，
移項，得：2y2+3y﹣2＝0，
（2y﹣1）（y+2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y+2＝0，
解得y1＝0.5，y2＝﹣2；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜4，
∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜4．
【點評】本題考查解一元二次方程、解一元一次不等式組，熟練掌握解一元二次方程和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．
15．為了解學(xué)生對“校園安全知識”的了解程度，某校隨機(jī)抽取了七年級、八年級各20名學(xué)生進(jìn)行問卷測試，并對得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)x表示，單位：分），且分為A，B，C三個等級，分別是：優(yōu)秀為A等級：80≤x≤100；合格為B等級：60≤x＜80；不合格為C等級：x＜60．分別繪制成如下統(tǒng)計圖表，其中七年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A等級，A等級測試成績情況分別為：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)在A等級的共有a個人．
七年級、八年級兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如下表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a＝　13　，b＝　86　，c＝　95?。?br /> （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個年級的測試成績更好，并說明理由；
（3）若從獲得C等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享感受，請用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率．
成績成
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
85
b
c
99.5
八年級
85
88
96
95.1
【分析】（1）用20乘65%可得a的值；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得b、c的值；
（2）可從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差角度分析求解；
（3）畫樹狀圖（七年級的三名學(xué)生用甲、乙、丙表示，八年級的一名學(xué)生用丁表示）展示所有12種等可能的結(jié)果，找出一名來自七年級、一名來自八年級的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
解：（1）a＝20×（1﹣30%﹣5%）＝13，b＝＝88，c＝96；
故答案為：13，88，96；
（2）八年級測試成績更好，（答案不唯一）．
理由如下：七年級學(xué)生測試成績的平均數(shù)85等于八年級學(xué)生測試成績的平均數(shù)85，七年級學(xué)生測試成績的方差99.5大于八年級學(xué)生測試成績的方差95．
（3）20×5%＝1（人），1+3＝4（人）．
畫樹狀圖為：（七年級的三名學(xué)生用甲、乙、丙表示，八年級的一名學(xué)生用丁表示．）

共有12種等可能的結(jié)果，其中一名來自七年級、一名來自八年級的結(jié)果數(shù)為6，
所以抽中兩名學(xué)生均來自八年級的概率＝＝．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．會畫樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
16．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根x1和x2．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x1?x2﹣x1﹣x2＝0時，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，再求出答案即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1?x2＝m2，根據(jù)x1?x2﹣x1﹣x2＝0得出m2﹣（1﹣2m）＝0，再求出方程的解即可．
解：（1）x2+（2m﹣1）x+m2＝0，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根x1和x2，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
即實數(shù)m的取值范圍是m≤；

（2）x2+（2m﹣1）x+m2＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1?x2＝m2，
∵x1?x2﹣x1﹣x2＝0，
∴m2﹣（1﹣2m）＝0，
解得：m＝﹣1±，
∵m，
∴m＝﹣1+舍去，
∴m＝﹣1﹣．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，①已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝，②已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．
17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD＝BC，等量代換得到BC＝EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝25，求得∠AEB＝∠AEC＝90°，得到AC＝2OE＝14，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE＝，
∴AE＝＝＝．
【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．如圖所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1所示，連結(jié)AD，BE，求證：∠CAD＝∠CBE；
（2）如圖2所示，若AE＝AB，判斷BD和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3所示，O是斜邊AB的中點，M點在BC右側(cè)，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，連結(jié)OM，OM＝13，求CM的長度．

【分析】（1）通過SAS證明△ACD≌△BCE，從而證明結(jié)論；
（2）連接AD，BE交于點K，AD與BC交于點R，由（1）可知∠CAD＝∠CBE，證出DE＝BD，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）過點O作OP⊥OM，且OP＝OM，連接PM、PC，并延長PC交BM于點Q，交QM于點H，連接OC，證△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再證∠PQM＝∠POM＝90°，則△CMQ是等腰直角三角形，設(shè)CQ＝MQ＝x，則PQ＝x+5，然后在Rt△PQM中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE；
（2）解：BD＝CD．

理由：連接AD，BE交于點K，AD與BC交于點R，
由（1）可知∠CAD＝∠CBE，
∵∠ARC＝∠BRD，
∴∠ACR＝∠BKR＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD垂直平分BE，
∴DE＝BD，
又∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴BD＝CD；
（3）解：過點O作OP⊥OM，且OP＝OM，連接PM、PC，并延長PC交BM于點Q，交QM于點H，連接OC，

則∠POM＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜邊AB的中點，
∴CO⊥AB，CO＝AB＝OB，
∴∠COB＝∠POM＝90°，
∴∠POC＝∠MOB，
∴△POC≌△MOB（SAS），
∴CP＝BM＝7，∠OPC＝∠OMB，
又∵∠OHP＝∠QHM，
∴∠PQM＝∠POM＝90°，
∵∠BMC＝45°，
∴△CMQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝MQ，
在Rt△POM中，PM＝OM＝13，
設(shè)CQ＝QM＝x，則PQ＝x+7，
在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（13）2，
解得：x＝5（x＝﹣12舍去），
∴QM＝5，
∴CM＝QM＝10．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
19．已知，則代數(shù)式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值為 　5　．
【分析】先根據(jù)完全平方公式得出（x+1）2﹣4（x+1）+4＝（x+1﹣2）2＝（x﹣1）2，再代入求出答案即可．
解：∵，
∴（x+1）2﹣4（x+1）+4
＝（x+1﹣2）2
＝（x﹣1）2
＝（+1﹣1）2
＝（）2
＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．
20．若關(guān)于x的不等式組的解集是x≤3，且關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的值之和為 　10　．
【分析】表示出不等式組的解集，確定出a的范圍，根據(jù)分式方程有整數(shù)解確定出a的值，即可得到符合條件的a的所有值的和．
解：關(guān)于x的不等式組整理得，
而不等式組的解集為x≤3，
∴a+1＞3
∴a＞2，
解分式方程得x＝且≠2，
∵關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，且a為整數(shù)，
∴符合條件的所有整數(shù)a為3，7，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：3+7＝10．
故答案為：10．
【點評】本題考查的是解分式方程與解不等式組，求各種特殊解的前提都是先求出整個解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解決本題的關(guān)鍵．
21．如圖所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個格點，在格點中任意放置點C，恰好能使△ABC的面積為1的概率是 　?。?br />
【分析】在5×5的網(wǎng)格中共有36個格點，找到能使得三角形ABC的面積為1的格點即可利用概率公式求解．
解：在5×5的網(wǎng)格中共有36個格點，而使得三角形面積為1的格點有8個，
故使得三角形面積為1的概率為＝，
故答案為：．

【點評】本題考查了概率的公式，將所有情況都列舉出來是解決此題的關(guān)鍵．
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對于線段AB和直線l，A，B兩端點到直線l的距離中的較小值稱為線段AB到直線l的“最近距離”．
（1）如圖，A（2，1），B（2，2），則AB到x軸的“最近距離”為 　1??；
（2）如圖，正方形OABC的邊長為4，點E、F均為正方形邊上的動點，，記線段EF到直線y＝﹣x+10的“最近距離”為d2，則d2的取值范圍是 　≤d2≤　．

【分析】（1）由A（2，1）到x軸的距離為1，B（2，2）到x軸的距離為2，可得AB到x軸的“最近距離”為1；
（2）設(shè)直線y＝﹣x+10交x軸于T，交y軸于K，當(dāng)EF∥KT時，“最近距離”為d2最大，過E作EG⊥KT于G，過F作MH⊥KT于H，交x軸于M，過B作QN⊥KT于N，交EF于Q，由y＝﹣x+10可得OK＝OT＝10，∠OTK＝∠OKT＝45°，而EF∥KT，故△BEF是等腰直角三角形，可得BE＝BF＝1，BQ＝EF＝，有CF＝BC﹣BF＝3＝CM，OM＝OC﹣CM＝1，MF＝CF＝3，MT＝OT﹣OM＝9，即知MH＝＝，故FH＝MH﹣MF＝，QN＝FH＝，求得BN＝QN﹣BQ＝，即可知≤d2≤．
解：（1）∵A（2，1）到x軸的距離為1，B（2，2）到x軸的距離為2，
∴AB到x軸的“最近距離”為1；
故答案為：1；
（2）設(shè)直線y＝﹣x+10交x軸于T，交y軸于K，當(dāng)EF∥KT時，“最近距離”為d2最大，過E作EG⊥KT于G，過F作MH⊥KT于H，交x軸于M，過B作QN⊥KT于N，交EF于Q，如圖：

在y＝﹣x+10中，令x＝0得y＝10，令y＝0得x＝10，
∴OK＝OT＝10，
∴∠OTK＝∠OKT＝45°，
∵EF∥KT，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵EF＝，
∴BE＝BF＝1，BQ＝EF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝3＝CM，
∴OM＝OC﹣CM＝1，MF＝CF＝3，
∴MT＝OT﹣OM＝9，
∴MH＝＝，
∴FH＝MH﹣MF＝，
∴QN＝FH＝，
∴BN＝QN﹣BQ＝，
∴≤d2≤；
故答案為：≤d2≤．
【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，涉及正方形性質(zhì)及應(yīng)用，新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出∠OTK＝∠OKT＝45°．
23．如圖，在正方形紙片ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的中點，點G是AB上一點，沿著GF，GE剪兩刀，將剪成的三片拼成一個無縫銜接的等腰三角形，若正方形的邊長為4，則拼成的等腰三角形的腰長為 　4或8　．

【分析】分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)GP＝GQ時，此時點G為AB的中點，則AG＝BG＝2，由勾股定理求出GE＝，再由由剪拼可知PE＝GE，PD＝AG，據(jù)此可得求出GP的長；②當(dāng)PG＝PQ時，由剪拼可知PD＝AG，QC＝BG，進(jìn)而得PQ＝AB+CD，據(jù)此可得出答案；③當(dāng)QG＝QP時，同②可得出答案．
解：分三種情況討論如下：
①當(dāng)GP＝GQ時，此時點G為AB的中點，則AG＝BG＝2，如圖：

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為4，點E為AD的中點
∴∠A＝90°，AE＝ED＝2，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：GE＝＝2，
由剪拼可知：PE＝GE，PD＝AG，
∴GP＝2GE＝4；
②當(dāng)PG＝PQ時，如圖：

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為4，
∴AB＝CD＝4，
由剪拼可知：PD＝AG，QC＝BG，
∴PQ＝PD+DC+QC＝AG+DC+BG＝AB+CD＝8；
③當(dāng)QG＝QP時，如圖：

同②可得QP＝8．
綜上所述：拼成的等腰三角形的腰長為4或8．
【點評】此題主要考查了圖形的剪拼，正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，找準(zhǔn)剪拼后圖形各部分之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，分類討論是解答此題的難點，漏解是解答此題的易錯點．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）
24．穿親子裝是近年來現(xiàn)代家庭中涌現(xiàn)出的一種流行趨勢，不僅能表達(dá)那份久違的童真，過一把“孩童”癮，同時也體現(xiàn)出“我們是親密的一家人”的濃濃親情．某商店抓住商機(jī)，在2020年至2022年這三年每年都銷售“幸福牌”親子裝．2020年該商店用10500元購進(jìn)了一批“幸福牌”親子裝并全部售完；2022年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價比2020年下降了11元/套，該商店用9400元購進(jìn)了與2020年相同數(shù)量的“幸福牌”親子裝，也全部售完．已知“幸福牌”親子裝的售價均為130元/套．
（1）求2020年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價；
（2）若該商店每年銷售“幸福牌”親子裝所獲利潤的年增長率相同，則年增長率是多少？
【分析】（1）設(shè)2020年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價是x元/套，則2022年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價是（x﹣11）元/套，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合2020年和2022年購入數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）利用數(shù)量＝總價÷單價可求出2020年及2022年購進(jìn)的數(shù)量，設(shè)該商店每年銷售“幸福牌”親子裝所獲利潤的年增長率為y，根據(jù)2010年及2022年獲得的利潤，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)2020年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價是x元/套，則2022年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價是（x﹣11）元/套，
根據(jù)題意，得＝，
解得：x＝105，
經(jīng)檢驗，x＝105是原方程的解，且符合題意．
答：2020年“幸福牌”親子裝的進(jìn)價是105元/套；
（2）2020年及2022年購進(jìn)“幸福牌”親子裝的數(shù)量為10500÷105＝100（套）．
設(shè)該商店每年銷售這種“幸福牌”親子裝所獲利潤的年增長率為y，
依題意，得：（130﹣105）×100（1+y）2＝（130﹣105+11）×100，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商店每年銷售“幸福牌”親子裝所獲利潤的年增長率為20%．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
25．如圖，直線l：y＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點A，B，以O(shè)A為邊在y軸的右側(cè)作正方形AOBC，且S△AOB＝8．

（1）求直線l的解析式；
（2）如圖1，點D是x軸上一動點，點E在AD的右側(cè)，∠ADE＝90°，AD＝DE．
①當(dāng)AE+CE最小時，求E點的坐標(biāo)；
②如圖2，點D是線段OB的中點，另一動點H在直線BE上，且∠HAC＝∠BAD，請求出點H的坐標(biāo)．
【分析】（1）由S△AOB＝×OA?OB＝a2＝8，得到A（0，4），B（4，0），即可求解；
（2）①證明點E在定直線y＝x﹣4上，作點A關(guān)于直線y＝x﹣4的對稱點T，交直線y＝x﹣4于點T，則此時AE+CE＝ET+EC＝CT最小，即可求解；
②連當(dāng)點H與點E重合，符合題設(shè)條件；證明點H為直線AN與BE的交點，進(jìn)而求解．
解：（1）∵四邊形AOBC為正方形，
設(shè)OA＝OB＝AC＝BC＝a，
∵S△AOB＝×OA?OB＝a2＝8，
解得：a＝2（負(fù)值已舍去）．
即A（0，4），B（4，0），
由點A、B的坐標(biāo)得，直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；

（2）①過點E作EF⊥x軸，如圖，

由題意可得：∠AOD＝∠DFE＝∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠EDF＝∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠EDF，
∴△AOD≌△DFE（AAS），
∴DF＝OA＝4，EF＝OD，
∴BF＝DF﹣DB＝OA﹣DB＝OB﹣DB＝OD，
∴EF＝BF，
設(shè)E（x，y），則D（y，0），F(xiàn)（x，0），
由題意可得：OF＝OD+DF＝OD+OA，
即y＝x﹣4，
∴點E在定直線y＝x﹣4上，如下圖：

作點A關(guān)于直線y＝x﹣4的對稱點T，交直線y＝x﹣4于點T，則此時AE+CE＝ET+EC＝CT最小，
根據(jù)圖象的對稱性，點A關(guān)于x軸的對稱點G（0，﹣4），則點T（8，﹣4），
由點A、T的坐標(biāo)得，直線AT的表達(dá)式為：y＝﹣2x+12，
聯(lián)立y＝x﹣4和上式并解得：x＝，
則點E（，）；

②連接AE，由題意可得△ADE為等腰直角三角形，∠DAE＝45°，

∵四邊形OACB為正方形，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠EAC＝∠BAD，此時點H與點E重合，
由①可得E（6，2），
∴H（6，2），
由點A、E的坐標(biāo)得：直線AE為y＝﹣x+4，
當(dāng)x＝4時，y＝，
∴點M（4，），
作點M關(guān)于直線AC的對稱點N，
∴N（4，），
此時∠NAC＝∠EAC＝∠BAD，
∴點H為直線AN與BE的交點，
∴直線AN為y＝x+4，
聯(lián)立y＝x+4和y＝x﹣4并解得：x＝12，
即H（12，8）．
綜上，點H坐標(biāo)為（12，8）或（6，2）．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點的對稱性，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．
26．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形ABCD中，點E在CD邊上，將△ADE沿AE對折得到△AFE，延長EF交BC邊于點G，連接AG．證明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如圖2，矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求的值．
（3）拓展：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．
?
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性質(zhì)得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，則AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后證Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出結(jié)論；
（2）由翻折的性質(zhì)得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，證△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性質(zhì)得∠ANM＝∠CMN，證得AM＝AN＝CM＝CN，根據(jù)已知條件和三角形的面積公式得到DN：CM＝1：3，設(shè)DN＝k，則CN＝CM＝3k，過N作NG⊥MC于點G，則CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝2k，MN＝2k，即可得出答案；
（3）①當(dāng)DE＝DC＝2時，延長FE交AD于點Q，過點Q作QH⊥CD于點H，過點E作EM⊥AQ于點M，作EN⊥AF于點N，過點A作AR⊥FQ于點R，設(shè)DQ＝x，QE＝y(tǒng)，則AQ＝6﹣x，再證△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性質(zhì)得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面積法證得＝，得出y＝2﹣x，求出HE＝2﹣x，HQ＝x，由勾股定理得（2﹣x）2+（x）2＝y(tǒng)2，解出x的值，即可得出答案；②當(dāng)CE＝DC＝2時，延長FE交AD于點Q′，過點Q′作Q′H′⊥CD于點H′，則DE＝4，設(shè)DQ′＝x′，Q′E＝y(tǒng)′，則AQ′＝6+x′，同理求出CP＝DQ′＝x′，＝，得出y′＝4+x′，再求出H′E＝4+x′，H′Q′＝x′，由勾股定理得（x′）2+（4+x′）2＝y(tǒng)′2，解出x′的值，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，
由翻折的性質(zhì)得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFG＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝GF，
∴BG+DE＝GF+EF＝EG；
（2）解：由翻折的性質(zhì)得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，
在△ANE與△CND中，
，
∴△ANE≌△CND（AAS），
∴AN＝CN，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN＝CM＝CN，
∴S△AMN＝S△CMN＝CM?CD，
又∵S△CDN：S△CMN＝1：3，S△CDN＝DN?CD，
∴＝＝，
設(shè)DN＝k，則CN＝CM＝3k，
如圖2，過點N作NG⊥MC于點G，

則四邊形CDNG為矩形，
∴CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝3k﹣k＝2k，
NG＝＝＝2k，
∴MN＝＝＝2k，
∴＝＝2；
（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝6，AD∥BC，
①如圖3，當(dāng)DE＝DC＝×6＝2時，延長FE交AD于點Q，過點Q作QH⊥CD于點H，過點E作EM⊥AQ于點M，作EN⊥AF于點N，過點A作AR⊥FQ于點R，

設(shè)DQ＝x，QE＝y(tǒng)，
則AQ＝AD﹣DQ＝6﹣x，
∵CP∥DQ，
∴△CPE∽△DQE，
∴＝＝2，
∴CP＝2DQ＝2x，
由翻折的性質(zhì)得：EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，
∴AE是平分∠QAF，
∴EM＝EN，
∵S△AQE＝AQ?EM＝QE?AR，S△AEF＝AF?EN＝EF?AR，
∴＝，
∴＝，
即＝，
∴y＝2﹣x，
∵∠D＝60°，
∴DH＝DQ＝x，
∴HE＝DE﹣DH＝2﹣x，HQ＝＝DH＝x，
在Rt△HQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2＝EQ2，
即（2﹣x）2+（x）2＝y(tǒng)2，
∵y＝2﹣x，
解得：x1＝，x2＝0（不合題意，舍去），
∴PC＝2×＝；
②如圖4，當(dāng)CE＝DC＝×6＝2時，延長FE交AD于點Q′，過點Q′作Q′H′⊥CD于點H′，
則DE＝4，

設(shè)DQ′＝x′，Q′E＝y(tǒng)′，
則AQ′＝AD+DQ′＝6+x′，
∵CP∥DQ′，
∴△CPE∽△DQ′E，
∴＝＝，
∴CP＝DQ′＝x′，
由翻折的性質(zhì)得：EF＝DE＝4，AF＝AD＝6，∠Q′AE＝∠EAF，
同理：＝，
即＝，
∴y′＝4+x′，
∵∠CDA＝∠Q′DH′＝60°，
∴DH′＝DQ′＝x，
∴H′E＝DE+DH′＝4+x′，H′Q′＝DH′＝x′，
在Rt△H′Q′E中，由勾股定理得：H′Q′2+H′E2＝EQ′2，
即（x′）2+（4+x′）2＝y(tǒng)′2，
∵y′＝4+x′，
解得：x′1＝，x′2＝0（不合題意，舍去），
∴PC＝×＝；
綜上所述，PC的長為或．
【點評】本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、分類討論等知識，綜合性強(qiáng)，難度大，熟練掌握翻折的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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