考點(diǎn)02 與三角形的角有關(guān)的8大考點(diǎn)歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊考點(diǎn)歸納與解題策略（人教版）

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?考點(diǎn)02 與三角形的角有關(guān)的8大考點(diǎn)歸類


1，三角形的內(nèi)角和的應(yīng)用類型
三類問題：
①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；
②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；
③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．
重點(diǎn)剖析
(1)在一個(gè)三角形中，可以通過三角形內(nèi)角和定理來求未知角的度數(shù)或確定角與角之間的數(shù)量關(guān)系。
(2)三角形至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角，最大的角不小于60°。
2，直角三角形的判斷方法
(1)判定一個(gè)三角形是直角三角形，可以利用直角三角形的定義，即“有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形”；
(2)等腰直角三角形的兩個(gè)銳角都是45°如果直角三角形中有一個(gè)銳角為45°，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形
3，三角形外角的特征和性質(zhì)以及應(yīng)用
(1)外角的特征：
①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；
②一條邊是三角形的一邊；
③另一條邊是三角形某條邊的延長線．
重點(diǎn)：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．
（2）三角形外角性質(zhì)：
（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．
備注：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．
（3）三角形的外角和：
(1)三角形內(nèi)角和定理的另一個(gè)推論：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和為360°；
備注：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°。
5， 三角形內(nèi)角和定理的推論的應(yīng)用
三角形內(nèi)角和定理的推論有兩個(gè).利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”可求三角形的某一外角或內(nèi)角的度數(shù)；利用“三角形的任一外角大于與它不相鄰的內(nèi)角”可比較兩個(gè)角的大小。
6，求角的度數(shù)的方法
求角的度數(shù)時(shí)，可以把已知角放在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理求解；也可以轉(zhuǎn)化為與已知角有互余關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的角；還可以轉(zhuǎn)化為已知角的和或差來求解
【第二關(guān)、高頻考點(diǎn)】
考點(diǎn)1 利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算或證明
考點(diǎn)2利用直角三角形的性質(zhì)與判定計(jì)算或證明
考點(diǎn)3 利用三角形內(nèi)角和定理的推論計(jì)算或證明
考點(diǎn)4 利用定理及推論結(jié)合高和角平分線計(jì)算或證明
考點(diǎn)5 利用定理及推論解決實(shí)際問題
考點(diǎn)6 與平行線相結(jié)合問題
考點(diǎn)7 與角平分線相結(jié)合問題
考點(diǎn)8 折疊問題

考點(diǎn)1 利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算或證明
1．（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交點(diǎn)．求和的度數(shù)．
??
【答案】，
【分析】利用三角形的高的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理分別求解，即可得到答案．
【詳解】解：是上的高，
，
，
，
，
，
是上的高，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)圖形找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2023春·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E分別是，上任意一點(diǎn)，連接，若，．
??
(1)求線段的取值范圍；
(2)若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，即可作答；
（2）根據(jù)兩直線平行同位角相等以及三角形內(nèi)角和定理即可作答．
【詳解】（1）∵，，
∴在中，，
即，
即線段BE的取值范圍為；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴在中，．
【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
3．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在 中，，垂足為 ，垂足為 ．如果 ，求 的度數(shù)．
??
【答案】
【分析】先證明，再求解，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的定義，平角的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記三角形的內(nèi)角和定理是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023春·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于E點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連接，若．
??
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1），得到，推出，即可得證；
（2）三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．


考點(diǎn)2 利用直角三角形的性質(zhì)與判定計(jì)算或證明
5．（2023春·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，、分別是的角平分線和高，，，求．
??
【答案】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后求解即可．
【詳解】解：，，
，
是角平分線，
，
是高，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·山東東營·七年級(jí)東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在中．是邊上的高，，平分交于點(diǎn)，，求．
??
【答案】
【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義及直角三角形的性質(zhì)可知，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2020秋·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，，求的度數(shù)．
??
【答案】
【分析】用表示出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列方程求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，于點(diǎn)O，．求證：．
??
【答案】見解析
【分析】根據(jù)垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，進(jìn)而利用同角的余角相等可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，再利用等量代換即可解答．
【詳解】解：，
，
，
，
．
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．



考點(diǎn)3 利用三角形內(nèi)角和定理的推論計(jì)算或證明
9．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，的外角的平分線交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)F，求度數(shù)．
??
【答案】．
【分析】由，利用三角形的外角的性質(zhì)求解，再利用角平分線的含義求解，由三角形的外角的性質(zhì)求解，再利用平行線的性質(zhì)求解即可得到答案．
【詳解】解：，
，
平分，
，
，
∵，

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023春·吉林長春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，為邊延長線上一點(diǎn)，平分，為射線上一點(diǎn)，連結(jié)．
??
(1)求的度數(shù)．
(2)若，求的度數(shù)．
(3)若平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)角平分線可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)平角可求的度數(shù)，根據(jù)平分可求出的度數(shù)，根據(jù)平分可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，外角和的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的綜合，理解圖示，掌握三角形內(nèi)角和定理，外角和的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，分別是邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，且．
??
(1)求證：．
(2)的平分線和的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)，試寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)．理由見解析

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的外角性質(zhì)即可得證；
（2）設(shè)，，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)推出，，再利用三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵是的外角，
∴；
（2）解：．理由如下，
設(shè)，，
??
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）得，
在中，，即，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)定理并熟練運(yùn)用解題是關(guān)鍵．
12．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，，．
??
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若， ，求的度數(shù)．
【答案】(1)，理由見解析
(2)

【分析】（1）先根據(jù)判斷，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證得，等量代換得，根據(jù)平行線的判定定理證得；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：，
理由如下：
，
，
，

，
；
（2），
，
，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．


考點(diǎn)4 利用定理及推論結(jié)合高和角平分線計(jì)算或證明
13．（2022秋·廣東中山·八年級(jí)中山市坦洲實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的高，是的平分線，，，求的度數(shù)．
??
【答案】
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再求出，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：是邊上的高，



是的平分線


【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線和高，主要利用了直角三角形兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．（2020秋·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，平分，F(xiàn)為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且于D；
??
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且，時(shí)，求的度數(shù)；
(2)如果點(diǎn)F在線段上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2，直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得，，由角平分線的性質(zhì)易得的度數(shù)，可得；
（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出，外角的性質(zhì)得出，在中，由三角形內(nèi)角和定理可得．
【詳解】（1）解：，，
．
平分，
．
在中，
在中．
（2）
證明：平分，

為的外角，

，
．

．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．
15．（2023春·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為的高，相交于H點(diǎn)，，求．

【答案】
【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，從而得解．
【詳解】解：∵是的高，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴．.
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
16．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交射線于點(diǎn)E．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)D不重合），設(shè)．猜想：的值是否變化？若不變，求出這個(gè)值；如變化，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的值不變，為

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，從而得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余，即可求解；
（2）由直角三角形兩銳角互余，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由平分，可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
（2）解：的值不變，為
∵，即，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，為定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和等于，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．


考點(diǎn)5 利用定理及推論解決實(shí)際問題

17．（2023春·河南洛陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點(diǎn)．
??
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系；
(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．
【答案】(1)
(2)
(3)（2）的結(jié)論仍然成立，見解析

【分析】（1）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出的度數(shù)；
（2）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出，，的數(shù)量關(guān)系；
（3）的解析可得，時(shí)，，的關(guān)系與與的大小無關(guān)，所以，即（2）的結(jié)論仍然成立．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
得，，
∵與的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
得，，
∵與的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
得，，
∵與的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∴，
此時(shí)，，的關(guān)系與與的大小無關(guān)，
即（2）的結(jié)論仍然成立．
【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
18．（2023春·吉林長春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，，平分、于D，猜想、、的數(shù)量關(guān)系．　

(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入、的特殊值求值并尋找它們的數(shù)量關(guān)系，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：（單位：度）

10
30
30
20
20

70
70
60
60
80

30
a
15
20
30
上表中a＝，猜想與、的數(shù)量關(guān)系并證明．
【變式應(yīng)用】
(2)小明繼續(xù)研究，在圖②中，，，其它條件不變，若把“于D”改為“點(diǎn)F是線段上任意一點(diǎn)，于D”，則（直接寫出結(jié)果）．
(3)小明提出問題，在中，，平分，若點(diǎn)F是線段延長線上一點(diǎn)，于D，試探究與、的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不需證明）．
【答案】(1)20；；見解析
(2)20
(3)

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算和度數(shù)即可得的度數(shù)，再通過找規(guī)律得出三者間關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明．
（2）如圖，過點(diǎn)A作于G，可證明，再利用（1）中結(jié)論寫出結(jié)果．
（3）如圖，過點(diǎn)A作于G，可證明，再利用（1）中結(jié)論寫出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，，
，
中，，
平分，
，
，
；
，，，
，
．
故答案為：20；．
（2）如圖，過點(diǎn)A作于G，

，，
，
，
，，
由（1）同理可得：，
，
故答案為：20．
（3）如圖，過A作于G，而，

，
，
由（1）同理可得：，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的的定義，平行線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算與推理是解題關(guān)鍵．
19．（2021秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠C應(yīng)分別是21°和32°，現(xiàn)測量得∠BDC=148°，你認(rèn)為這個(gè)零件合格嗎？為什么？

【答案】不合格，理由見解析
【分析】直接利用圖形中的外角和等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解．
【詳解】解：延長CD與AB相交于點(diǎn)F．

∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，
又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，
∵實(shí)際量得的∠BDC=148°，
143°≠148°，
∴這個(gè)零件不合格．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．
20．（2013·遼寧朝陽·八年級(jí)競賽）1.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于120°，∠B、∠D應(yīng)分別為15°、20°.李叔叔量得∠BCD=145°，就能斷定該零件不合格，你能說出其中的道理嗎？

【答案】見解析
【分析】連接BD，則可得；而，可求得，這與上面的結(jié)果不一致，即可判斷．
【詳解】連接BD，如圖所示：

，
∴，
，
∴在中，，
，，
∴，
這與上面的結(jié)果不一致，從而知這個(gè)零件不合格．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解題．

考點(diǎn)6 與平行線相結(jié)合問題
21．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，平分，，求的度數(shù)．
??
【答案】
【分析】如圖，連接，首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，然后利用角平分線的概念得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
??

∵
∴
∵
∴
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理，屬于常考題型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023春·甘肅定西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，于，平分交于，．??
??
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）由，即可判斷與平行；
（2）由平分，可得的度數(shù)，由可求得的度數(shù)，從而可得的度數(shù)，再由即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵，

∴
∴
（2）解：∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
23．（2021秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，與交于點(diǎn)C，，，，判斷與是否平行，并說明理由．

【答案】平行，見解析
【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和關(guān)系求出∠CED=∠A即可證明AB與DE平行．
【詳解】解：與平行，理由如下：
∵，
∴
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24．（2021春·山東棗莊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．

（1）求證：AB∥CD；
（2）試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）∠AED+∠D=180°，見解析；（3）130°
【分析】（1）根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”得到CM∥FG，從而得到∠C=∠FGD，根據(jù)等量代換得到∠FGD=∠EFG，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得到AB∥CD；
（2）根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得到∠AED+∠D=180°；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FEH=∠D =30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EFH=50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FEM=∠EFH=50°，根據(jù)鄰角互補(bǔ)即可求出∠AEM的度數(shù)．
【詳解】解：（1）∵∠CED=∠GHD，
∴CM∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD；
（2）∠AED+∠D=180°，
理由：∵AB∥CD ，
∴∠AED+∠D=180°；
（3）∵AB∥CD，
∴∠FEH=∠D =30°，
∵∠EHF=100°，
∴∠EFH=180°-100°-30°=50°，
∵CM∥FG，
∴∠FEM=∠EFH=50°，
∴∠AEM=180°-50°=130°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．


考點(diǎn)7 與角平分線相結(jié)合問題
25．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，如圖，在中，角平分線，相交于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)；
(3)若，，試求，之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵角平分線，相交于點(diǎn)，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵角平分線，相交于點(diǎn)，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵角平分線，相交于點(diǎn)，
∴，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念．
26．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，分別在射線，上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），，分別是和的平分線，交于點(diǎn)．

(1)若，則___________；若，則___________．
(2)若，請求出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】(1)120，135
(2)

【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，由角平分線的定義可得的度數(shù)，進(jìn)而可求出；
（2）同（1）的方法求出，從而求出．
【詳解】（1）解：若，
，
、的平分線交于點(diǎn)，
，
；
若，
，
、的平分線交于點(diǎn)，
，
；
故答案為：120，135；
（2）在中，，
、的平分線交于點(diǎn)，
，
即，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
27．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示：的角平分線相交于P，，求的度數(shù)．

【答案】．
【分析】根據(jù)角平分線的定義，可得，，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，即可求解．
【詳解】解：∵的角平分線相交于P，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的三角形內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)F， 求證：??請?jiān)谝韵碌慕忸}過程中的括號(hào)里填推理的理由．
證明：∵平分（已知）
∴（_____________________）
∵（已知）
∴（_____________________）
∵是的高（已知）
∴（三角形高的定義）
∴（直角三角形的兩銳角互余）
∴（____________________________）
∵（_____________________）
∴（____________________）

【答案】角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對(duì)頂角相等；等量代換

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到，，再利用等角的余角相等得到，最后利用等量代換可得結(jié)果．
【詳解】解：證明：∵平分（已知）
∴（角平分線的定義）
∵（已知）
∴（直角三角形的兩銳角互余）
∵是的高（已知）
∴（三角形高的定義）
∴（直角三角形的兩銳角互余）
∴（等角的余角相等）
∵（對(duì)頂角相等）
∴（等量代換）
故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對(duì)頂角相等；等量代換
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．


考點(diǎn)8 折疊問題
29．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)?？计谥校┌鸭埰卣郫B，點(diǎn)落在四邊形的外部，已知，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形外角和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．
【詳解】解：如圖：是翻折變換而成，

，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，注意折疊前后圖形是全等的，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
30．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探索與的關(guān)系______（不必證明）．
（2）如圖2，BI平分，CI平分，把折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若，求的度數(shù)；

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；
（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出，得出的度數(shù)即可；
【詳解】（1）∵把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，
∴
∵
又
∴；
（2）由（1），得，
∴
∵IB平分，IC平分，
∴


，
∴


；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的翻折變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
31．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．
（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．
（3）如圖2，請你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說明理由．
（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析；（4），理由見解析．
【分析】（1）利用互余關(guān)系和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）∵為直角三角形，，
∴，
∴．
（2）∵中，，
∴，
∴．
（3）；理由如下：
∵中，，
∴．
（4），理由如下：
如圖：是由折疊得到的，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，以及折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．
32．（2020春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外， 若，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：在中，
由折疊可知，??
所以
所以

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊三角形的問題，掌握三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．