2023～2024學年度高二年級階段測試（一）數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合，求函數(shù)的值域求得集合，進而求得.【詳解】，解得，所以，由于，所以，所以，所以.故選：C2. 已知復數(shù)滿足，則（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算求得，再求復數(shù)的模即可.【詳解】依題意，，所以.故選：C3. “m<1”是“點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點與圓的位置，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【詳解】由x2＋y2﹣2mx＝0可得，該方程表示圓，所以有，當點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外時，有，所以此時，顯然由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“m<1”是“點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的必要不充分條件，故選：B4. 已知函數(shù)與的部分圖象如圖1（粗線為部分圖象，細線為部分圖象）所示，則圖2可能是下列哪個函數(shù)的部分圖象（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、特殊點的函數(shù)值確定正確選項.【詳解】由圖1可知偶函數(shù)，為奇函數(shù)，A選項，，所以是偶函數(shù)，不符合圖2.A錯.C選項，，所以是偶函數(shù)，不符合圖2.C錯.D選項，，所以的定義域不包括，不符合圖2.D錯.B選項，，所以是奇函數(shù)，符合圖2，所以B符合.故選：B5. 若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（    ）A. 3 B. 2 C.  D. 4【答案】A【解析】【分析】由題意，知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意，知點M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，則，即，∴點M在直線上，∴點M到原點的距離的最小值就是原點到直線的距離，即.故選：A.6. 已知圓，從點出發(fā)的光線要想不被圓擋住直接到達點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成點落在過點且與圓相切的兩直線“外”，再通過求出切線方程即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，從點出發(fā)的光線與圓相離時，光線不被擋住，設(shè)過點與圓相切的直線方程為，即，又圓，所以圓心到的距離，解得，故，令，，所以或.故選：B.7. 設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（　?。?/span>A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】，只需要研究的根的情況，借助于和的圖像，根據(jù)交點情況，列不等式組，解出的取值范圍.【詳解】令，則令，則則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，觀察交點個數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，由題意列不等式的：解得：.故選：B【點睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性質(zhì)通常用換元法（令），轉(zhuǎn)化為研究的圖像和性質(zhì)較為方便.8. 已知點，直線將三角形ABC分割成面積相等的兩個部分，則b的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求得直線與x軸的交點為，根據(jù)面積相等可得點M在射線OA上即．求出直線和BC的交點N的坐標，就的不同位置分類討論后可得結(jié)果．【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點M在射線OA上．設(shè)直線和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為．①若點M和點A重合，則點N為線段BC的中點，故，把A、N兩點的坐標代入直線，求得．②若點M在點O和點A之間，此時，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，故，即 ，可得，求得 ，故有．③若點M在點A的左側(cè)，則，由點M的橫坐標，求得．設(shè)直線和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為，此時由題意可得，的面積等于，即，即，化簡可得．由于此時，，．兩邊開方可得，，化簡可得 ，故有．綜上的取值范圍應是 ，故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 下列說法中，正確的有（    ）A. 點斜式 = 可以表示任何直線B. 直線在軸上的截距為-2C. 直線關(guān)于對稱的直線方程是D. 點到直線的最大距離為2【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線點斜式方程，斜截式方程的適用范圍，結(jié)合直線關(guān)于直線的對稱直線的求法，以及直線恒過定點的處理方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：當直線斜率不存在時，不能用該方程表示，故A錯誤；對B：在軸上的截距為，故B正確；對C：點關(guān)于的對稱點為，故直線關(guān)于對稱的直線方程是，故C錯誤；對D：，即，其恒過定點，又，故點到直線的最大距離為2，D正確.故選：BD.10. 關(guān)于函數(shù)的描述錯誤的是（    ）A. 其圖象可由的圖象向右平移個單位得到B. 在僅有1個零點C. 在單調(diào)遞增D. 在的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】求得的圖象向右平移個單位所得圖像的解析式判斷選項A；求得在上的零點個數(shù)判斷選項B；舉反例否定選項C；求得在的最小值判斷選項D【詳解】選項A：的圖象向右平移個單位得到但，即沒有得到.判斷錯誤；選項B：當時，，由，可得，或，即或則在有且僅有2個零點.判斷錯誤；選項C：由，，可得則在上不單調(diào)遞增.判斷錯誤.選項D：由，可得，則，則在的最小值為.判斷正確.故選：ABC11. 下列說法中，不正確的有（    ）A. 已知點，，若直線的傾斜角小于，則實數(shù)a的取值范圍為B. 若集合，滿足，則C. 若兩條平行直線和之間的距離小于1，則實數(shù)a的取值范圍為D. 若直線與連接，的線段相交，則實數(shù)a的取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角、斜率、平行直線、直線相交等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當時，直線即直線，此時直線的傾斜角為， 所以A選項錯誤.B選項，由，得 ，所以集合表示斜率為的直線上的點（除去點）.由，得，所以集合表示過點且斜率為的直線，若，此時兩直線平行，滿足，若直線過點，則，此時，且，所以B選項錯誤.C選項，依題意，所以實數(shù)的取值范圍是，C選項正確.D選項，直線過定點，斜率為，，所以或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為，D選項正確.  故選： CD12. 香囊，又名香袋?花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2，其平面展開圖如圖2所示，則下列說法正確的是（    ）A. AB⊥DE B. 直線CD與直線EF所成的角為45°C. 該六面體的體積為 D. 該六面體內(nèi)切球的表面積是【答案】AD【解析】【分析】對應展開圖的各點，標出立體圖形的各頂點.利用線面垂直，可以得到線線垂直；與分別為正三角形的邊，其所成的角為；把幾何體分割成二個四面體求體積；計算內(nèi)切球的半徑，就可以求內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題知，所給六面體由兩個同底面的正四面體組成，將題圖2的平面展開圖還原為直觀圖后如下圖所示，其中四點重合.對于A：取的中點，連接，則.又平面又平面故正確.對于B：由圖可知，與分別為正三角形的邊，其所成的角為故錯誤.對于C：連接，過點作平面，則垂足在上，且， 該六面體的體積故C錯誤.對于D：該六面體的各棱長相等其內(nèi)切球的球心必在公共面上又為正三角形點即為該六面體內(nèi)切球的球心，且該球與相切過點作，則就是內(nèi)切球的半徑.在Rt中，該內(nèi)切球的表面積為故D正確故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 中，頂點，點在直線上，點在軸上，則周長的最小值為_______________．【答案】【解析】【分析】求出關(guān)于直線對稱點坐標，關(guān)于軸對稱點坐標，與的交點即為，與交點即為．的長即為最小值．【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱點為，關(guān)于軸對稱點為，與的交點即為，與交點即為．的長即為周長的最小值．設(shè)，則，解得，即，關(guān)于軸對稱點為，周長的最小值為．故答案為：．【點睛】思路點睛：求線段和（或差）的最?。ㄗ畲螅┲祮栴}，實質(zhì)上是對稱問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，求出點關(guān)于直線的對稱點，關(guān)于軸的對稱點，連結(jié)即可求得最小周長．14. 設(shè)是從集合中隨機選取的數(shù)，則直線與圓有公共點的概率是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】直線與圓公共點，等價于，等價于，，，設(shè)，當時，；當時，，當時，；當時，；當時，.故，所以.即直線與圓有公共點的概率是.故答案為：15. 已知兩定點，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為__________.【答案】12【解析】【分析】首先求點的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】設(shè)點，則，整理為：，設(shè)圓的圓心為，圓的圓心為，  如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個圓的半徑，即.故答案為：1216. 在三棱錐中，已知平面，，，，，則該三棱錐外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】求解底面ABC的外接圓的半徑，利用球心與圓心的連線垂直底面，構(gòu)成直角三角形即可求解三棱錐外接球的半徑，可得其表面積【詳解】在底面 中， ，，，
由余弦定理可得，設(shè)外接圓的圓心為 ，半徑為r，球心為O，
由正弦定理可得， ，得，
底面ABC，且球心到點P，A的距離相等，
球心與底面的距離為 ，
球心與圓心的連線垂直于底面，，
，
該三棱錐外接球的表面積
故答案為： 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且（1）求A；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）由題意，再由正弦定理化簡得，可得A；（2）由余弦定理得，再由三角形面積公式得，即可求，進而得出的周長．【小問1詳解】由，則，由正弦定理得：，中，故，即，因為，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，可得，又，得，則，即，所以的周長為18. 已知圓．（1）直線過點，且與圓C相切，求直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C相交于M，N兩點，點P為圓C上一動點，求的面積S的最大值．【答案】（1）x＝－1或4x－3y＋7＝0    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的斜率是否存在，分別設(shè)出直線方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可解出；（2）根據(jù)弦長公式求出，再根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當時，點P到直線距離的最大值為半徑加上圓心到直線的距離，即可解出．【小問1詳解】由題意得C（2，0），圓C的半徑為3．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，由直線與圓C相切，得，解得，所以直線的方程為4x－3y＋7＝0．當直線的斜率不存在時，直線的方程為，顯然與圓C相切．綜上，直線的方程為x＝－1或4x－3y＋7＝0．【小問2詳解】由題意得圓心C到直線的距離，設(shè)圓C的半徑為r，所以r＝3，所以，點P到直線距離的最大值為，則的面積的最大值．19. 設(shè)函數(shù)（1）當時，求的取值范圍；（2）若，且，求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式和兩角和或差的三角函數(shù)公式對函數(shù)解析式化簡整理，即可求解；
（2）根據(jù)已知求得的值，討論角的范圍得，利用二倍角公式求解即可.【小問1詳解】

，
因為，所以，
所以的取值范圍為【小問2詳解】由，
得，
，
，
，
又，
，
，
 20. 三角形的頂點，邊上的中線所在直線為，A的平分線所在直線為．（1）求A的坐標和直線的方程；（2）若P為直線上的動點，，，求取得最小值時點P的坐標．【答案】（1），直線的方程為    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)點A坐標并表示中點D坐標，由點在直線方程建立方程求解即可得A，利用角平分線的性質(zhì)可得點B關(guān)于直線的對稱點，從而求方程；（2）由兩點之間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值計算即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)，則，由直線，的方程可知：，即，設(shè)點B關(guān)于直線的對稱點，則中點坐標為，，依題意有，解之得，即，易知在直線上，故由兩點式可得，化簡得；  【小問2詳解】由（1）所得方程，不妨設(shè)，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當，上式取得最小值，此時.21. 已知圓M與直線相切，圓心M在直線上，且直線被圓M截得的弦長為．（1）求圓M的方程；（2）若在x軸上的截距為且不與坐標軸垂直的直線l與圓M交于A，B兩點，在x軸上是否存在定點Q，使得？若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）    （2）存在，點坐標為【解析】【分析】（1）設(shè)圓M的圓心為，半徑為r，根據(jù)垂徑定理，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)列式求解即可；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓的方程，得出韋達定理，假設(shè)存在滿足條件，根據(jù)，化簡，再代入韋達定理化簡即可.【小問1詳解】設(shè)圓M的圓心為，半徑為r，因為圓M與直線相切，所以．又因為直線被圓M截得的弦長為，所以，解得，即圓心坐標為，，所以圓M的方程為．  【小問2詳解】存在．設(shè)，，，由，得．由根與系數(shù)關(guān)系，得．假設(shè)存滿足條件，則，．由，得，即，即，，即且，所以．所以存在滿足條件．  22. 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）證明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求點D到平面PBE的距離；（3）求平面PAD和平面PBE所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面.(2) 在三棱錐中，利用等體積法求點到面的距離.(3) 先作出所求二面角并證明，再用解三角形知識求解.【詳解】(1)證明：連接BD，由四邊形ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60° ，可知是正三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以因為PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB，又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB.(2)因為PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB.又 PA=2， AB=1，所以.因為正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中點，所以.因為BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB，所以因為，PA⊥底面ABCD，設(shè)點D到平面PBE的距離為d，所以，而所以，即點D到平面PBE的距離為.(3)延長BE、AD，交于點F，連PF，則PF為平面PAD和平面PBE的交線.取AD中點H，連BH，過B作，垂足為I，連HI.由四邊形ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形，因為H是AD的中點，所以 .因為PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH.又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A，所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF，又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B，所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI，則∠BIH為二面角B-PFA的一個平面角.因為BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI.因為菱形ABCD中，DE//AB，， E為BF的中點，.在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF，所以，，又，所以中，，，即平面PAD和平面PBE所成銳二面角的余弦值為
 

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