專題05 函數(shù)與導數(shù)壓軸小題（十大題型）-備戰(zhàn)2023-2024學年高三數(shù)學上學期期中真題分類匯編（全國通用）

這是一份專題05 函數(shù)與導數(shù)壓軸小題（十大題型）-備戰(zhàn)2023-2024學年高三數(shù)學上學期期中真題分類匯編（全國通用），文件包含專題05函數(shù)與導數(shù)壓軸小題十大題型原卷版docx、專題05函數(shù)與導數(shù)壓軸小題十大題型解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共54頁， 歡迎下載使用。
?專題05函數(shù)與導數(shù)壓軸小題


不等式恒成立問題
1．（河北省石家莊市部分學校2023屆高三上學期期中）對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由得，令，，利用導函數(shù)求最小值、最大值即可.
【詳解】當時，，不等式顯然成立；
當時，，
令，
令，則是上的增函數(shù)且，
當時，此時遞減，時，此時遞增.
故的最小值為，
令，則，
故是增函數(shù)，的最大值為，故，
綜上所述，，
故選：D
2．（河北省張家口市第一中學2023屆高三上學期期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內任取兩個實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡題目所給不等式，構造函數(shù)，由在區(qū)間上恒成立分離常數(shù)，結合二次函數(shù)的性質求得的取值范圍.
【詳解】不妨設，
則，
即，
令
，
則，
∴在單調遞增，
對恒成立，
而恒成立，
令，，
則在單調遞減，
∴，
∴，
的取值范圍是.
故選：A
【點睛】利用導數(shù)研究含有參數(shù)的不等式恒成立問題，可以利用分離常數(shù)法，然后通過求函數(shù)的最值來求得參數(shù)的取值范圍.

不等式能成立問題
3．（福建省泉州市安溪一中、泉州實驗中學、養(yǎng)正中學2023屆高三上學期期中）已知函數(shù)，若有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則函數(shù)的最小值為 ；實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】求出導函數(shù)，確定的單調性，得最小值，然后比較，，的大小結合單調性可得結論．
【詳解】函數(shù)，∴，
∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
∴當時，取得最小值，且.顯然，.
當時，恒成立，
因為有且僅有兩個不同的整數(shù)解，
則，即，.
故答案為；.
4．（2022秋·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學上學期期中）已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，轉化為在有解，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最大值，即可求解.
【詳解】若存在，使得有解，
由函數(shù)，即，即在有解，
設，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以當時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，即，
所以，即實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C.

雙變量問題
5．（2022秋·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）若對任意正實數(shù)x，y都有，則實數(shù)m的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將不等式變式為，設后轉化為恒成立，只需求函數(shù)的最大值即可.
【詳解】因為，
所以，設，
則，，
令
恒成立，故單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減；.
故
所以，得到.
故選:A.
6．（湖北省十一校2023屆高三上學期期中）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】對已知等式進行同構可得，令，利用導數(shù)可求得單調遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導數(shù)可求得，即為所求最大值.
【詳解】由得：；
由得：，；
，
令，，
，在上單調遞增，
；
令，則，
則當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，
，即的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求解多變量的式子最值的問題；解題關鍵是能夠對于已知等式進行同構變形，將問題轉化為某一單調函數(shù)的兩個函數(shù)值相等的問題，從而確定兩個變量之間的關系，將所求式子化為單變量的式子來進行求解.

導數(shù)與體積
7．（安徽省合肥市肥東縣綜合高中2023屆高三上學期期中）如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為 ．

【答案】4
【分析】設該正四棱柱的高為h，底面邊長為a，計算出底面外接圓的半徑，利用勾股定理，得出，利用柱體體積公式得出柱體體積V關于h的函數(shù)關系式，然后利用導數(shù)可求出V的最大值．
【詳解】設正四棱柱的高為h，底面棱長為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為，所以，．
由勾股定理得，即，得，其中，
所以，正四棱柱的體積為，其中，
構造函數(shù)，其中，則，令，得．
當時，；當時，．
所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則．
因此，該正四棱柱的體積的最大值為4．
【點睛】本題考查球體內接幾何體的相關計算，解決本題的關鍵在于找出相應幾何量所滿足的關系式，考查計算能力，屬于中等題．
8．（山東省聊城市第二中學2022-2023學年高三上學期期中）已知正三棱柱的所有頂點都在球O的表面上，若球O的表面積為48π，則正三棱柱的體積的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結合正三棱柱和外接球關系先求出外接球半徑，令正三棱柱底面邊長為，由函數(shù)關系表示出體積與函數(shù)關系，利用導數(shù)可求最值.
【詳解】如圖，設正三棱柱上?下底面的中心分別為H，，連接.根據(jù)對稱性可知，線段的中點O即為正三棱柱外接球的球心，線段OA即為該外接球的半徑.由已知得，所以.設正三棱柱的底面邊長為x，則.在中，，所以，所以正三棱柱的體積.
令，則，，故，.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.
故選：C.


指對數(shù)冪的比較大小
9．（山東省滕州市第一中學2022-2023學年高三上學期期中）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構造函數(shù)，，利用導數(shù)分析這兩個函數(shù)的單調性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性質可得出、的大小關系，由此可得出、、三個數(shù)的大小關系.
【詳解】令，其中，
則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
故當時，，則，所以，
因為，則，
當時，證明，令，其中，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，
所以當時，，則，所以，
所以，因此.
故選：D.
10．（江蘇省淮安市漣水縣第一中學2023屆高三上學期期中）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出的單調性，可比較的大小，即可得出答案.
【詳解】因為，
，，
所以令，則，
所以當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
又因為，所以，
即，所以，又因為，所以.
故選：A.
11．（江蘇省蘇州市昆山中學2023屆高三上學期期中）設，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再利用，判斷函數(shù)值的大小，即可判斷選項.
【詳解】，，，
設，且，，得，
當和時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，
因為，且，
所以，即.
故選：D

距離問題
12．（2022秋·遼寧鐵嶺·高三昌圖縣第一高級中學上學期期中）已知點A在函數(shù)的圖象上，點B在直線上，則A，B兩點之間距離的最小值是 ．
【答案】
【分析】分析函數(shù)單調性得圖象，確定A，B兩點之間距離的最小值的情況，利用導數(shù)的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.
【詳解】由題意可得，令得
所以當，，函數(shù)單調遞減，當，，函數(shù)單調遞增，所以，
所以的圖象如下圖：
??
要使得A，B兩點之間距離最小，即直線與平行時，當直線與曲線相切時，
與的距離即為A，B兩點之間最小的距離，
令，解得．由，
所以直線的方程為，即
則與的距離的距離，
則A，B兩點之間的最短距離是．
故答案為：．
13．（江蘇省徐州市第七中學2023屆高三上學期期中）若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】轉化為在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最小，利用導數(shù)的幾何意義求出切點的坐標，再根據(jù)點到直線的距離公式可求出結果.
【詳解】設，由題意知，
則在點處的切線斜率為，
當在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最小，
由，得，則，
所以點到直線的距離.
所以動點到直線的距離的最小值為.
故選：A

導函數(shù)與原函數(shù)的構造問題
14．（2022秋·吉林長春·高三長春市第十七中學上學期期中）（多選）已知函數(shù)在R上滿足，且當時，成立，若，則下列說法正確的有（????）
A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．在R上單調遞減 D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)奇偶性定義判斷AB；構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調性推理判斷CD作答.
【詳解】因為函數(shù)在R上滿足，則函數(shù)是R上的偶函數(shù)，A錯誤；
令，則，則函數(shù)是R上的奇函數(shù)，B正確；
當時，，則函數(shù)在上單調遞減，且，
由選項B知，函數(shù)在上單調遞減，因此在R上單調遞減，C正確；
顯然，
由選項C知，，因此，D正確.
故選：BCD
【點睛】關鍵點睛：涉及給定含有導函數(shù)的不等式，根據(jù)不等式的特點結合求導公式和求導法則構造函數(shù)，再利用導數(shù)探求給定問題是解題的關鍵.
15．（2022秋·江蘇連云港·高三江蘇省贛榆高級中學上學期期中）（多選）定義在函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立；則下列正確的是（????）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性進行大小比較.
【詳解】構造函數(shù)，
則，
∴在遞減，
對于A：，故A正確；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確.
故選：AD.
16．（江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學期期中）已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，，若，，，則，，的大小關系是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可比較函數(shù)值的大小.
【詳解】令，，
則，
∵當時，，
即，在單調遞減，
∴，
∴，
即，
∴.
故選：D.

同構問題
17．（江蘇省揚州市高郵市2022-2023學年高三上學期期中）已知，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)已知條件進行同構，研究同構函數(shù)單調性得到再轉化求解即可.
【詳解】因為，
所以，
令，則，
因為當時，，
所以在上單調遞增，
所以，
所以，即，
所以．
故答案為：3
18．（江蘇省南京市金陵中學2022-2023學年高三上學期期中）已知實數(shù)x，y滿足且，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分離同構，得到，設,則上式表明,利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，并結合由已知條件得到的和的取值范圍，得到,進而，然后將表示為的函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值.
【詳解】∵，∴，∴，即，
設,則上式表明,
求導得，當時，,單調遞減，
由于，∴，∴，
∴,∴，∴,令,
,當時，單調遞減；當時，單調遞增，
∴,
故選：D.
【點睛】本題關鍵難點在于將已知條件整理得到兩邊同構的形式，構造同構函數(shù)，然后利用函數(shù)單調區(qū)間上的函數(shù)值與自變量的一一對應關系得到.
19．（湖南省長沙市長郡中學2023屆高三上學期期中）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在上遞增，利用同構法求解即可．
【詳解】解：構造，
則在上顯然遞增，
由得
，
即，
，
，
令，
則，
由得，遞增，
由得，遞減，
，
．
故選：B．
【點睛】本題解題的關鍵是看到 “指對跨階”要想到同構，同構后有利于減少運算，化煩為簡．

已知零點個數(shù)求參數(shù)
20．（2022秋·黑龍江牡丹江·牡丹江一中上學期期中）已知在處有極大值，若 有兩個零點，則實數(shù)n的取值范圍為 .
【答案】或
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)給定條件求出，再探討函數(shù)的性質，結合圖象求出直線與的圖象有兩個公共點的n的范圍作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，
依題意，，解得，此時，
當或時，，當或時，，則在處取得極大值，即，
于是函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，且，
顯然，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
函數(shù)在處取得極小值，顯然當時，，
而函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，則函數(shù)在上的取值集合為，
當時，，函數(shù)在上的取值集合為，
因此函數(shù)在上的取值集合為，函數(shù)的圖象如圖，
????
函數(shù)有兩個零點，即直線與的圖象有兩個公共點，
觀察圖象得或，
所以實數(shù)n的取值范圍為或.
故答案為：或
21．（山東省大教育聯(lián)盟學校2022-2023學年高三上學期期中）若關于的方程有三個不等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】構造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，畫出對應的圖像，數(shù)形結合即可求解.
【詳解】由已知可知關于的方程有三個不等實數(shù)根，
即函數(shù)的圖象與直線有三個公共點，
構造函數(shù)，求導，
令，解得
當時，，故在區(qū)間上單調遞增，
當時，，故在區(qū)間和上單調遞減，
且，，當或時，，
且當時，，當時，，
畫出的大致圖象如圖，要使的圖象與直線有三個交點，需，即，即的取值范圍是．
故答案為：
??
【點睛】方法點睛：本題考查判斷利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)問題，常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有幾個解就有幾個零點．
（2）零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖像與性質確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質．
（3）數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題．

存在零點求參數(shù)
十、未命名題型
22．（海南省文昌中學2023屆高三上學期期中）已知函數(shù)存在零點，函數(shù)存在零點，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先由題給條件求得，再根據(jù)題意得到方程在有解，求得函數(shù)的值域即可得到實數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)為R上單調遞增函數(shù)，
又函數(shù)存在零點，則，由，可得
存在零點，即方程在有解
令，
則
當時，單調遞減；
當時，單調遞增
則在時取得最小值
又，，
則的值域為，則實數(shù)的取值范圍是
故答案為：


一、單選題
1．（海南省瓊海市嘉積第三中學2023屆高三上學期期中）已知點在曲線上運動，過點作一條直線與曲線交于點，與直線交于點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率為的切線方程，再利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】如下圖所示，，當斜率為的直線與的圖像相切時，為切點，此時的值最小.

設，，則有，解得，代入函數(shù)，求得，
即，則的最小值即點到直線的距離，則.
故選：C
2．（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學南山附屬學校2023屆高三上學期期中）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時（其中是的導函數(shù)），若，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構造函數(shù)，根據(jù)其單調性和奇偶性，結合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，即可比較大小.
【詳解】令，又為定義在上的偶函數(shù)，則，
故為定義在上的奇函數(shù)；
又，由題可知，當時，，即在單調遞增，
結合是上的奇函數(shù)可知，為上的單調增函數(shù)；
又，
又，，，
故.
故選：B.
3．（廣東省梅州市大埔縣虎山中學2022-2023學年高三上學期期中）已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】令，得，，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)求最小值可得.
【詳解】不妨設，則，，
則．令，
則，記，則
所以在上單調遞增，由，可得，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以．
故選：A
4．（湖北省二十一所重點中學2023屆高三上學期期中）如圖，在棱長為的正四面體中，點、、分別在棱、、上，且平面平面，為內一點，記三棱錐的體積為，設，對于函數(shù)，則（????）

A．當時，函數(shù)取到最大值
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關于直線對稱
D．存在，使得（其中為四面體的體積）
【答案】A
【分析】求出的解析式，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與最值，可判斷ABD選項的正誤，利用函數(shù)對稱性的定義可判斷C選項的正誤.
【詳解】設點在平面內的射影為點，連接、，如下圖所示：

則為等邊的中心，故，
平面，平面，，，
，，
因為平面平面，則，，
且點到平面的距離為，所以，點到平面的距離為，
，其中，
對于A選項，，
當時，，此時函數(shù)單調遞增，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
所以，當時，函數(shù)取到最大值，A對；
對于B選項，由A選項可知，B錯；
對于C選項，，
故函數(shù)的圖象不關于直線對稱，C錯；
對于D選項，，
，
故對任意的，，D錯.
故選：A.
【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：
（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；
（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．
5．（湖北省荊荊宜三校2022-2023學年高三上學期;期中）已知：，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的公式求出，然后借助指數(shù)函數(shù)的單調性得到，即可得到，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性得到，整理后即可得到.
【詳解】，
，
∵，
∴，則，即，
設函數(shù)，則，
∵，，且函數(shù)單調遞增，
∴只存在一個使，且，
當時，，在單調遞減，
∴，即，即，
所以.
故選：B.
【點睛】方法點睛：比較數(shù)值大小方法．
（1）估值法：找出式子的取值區(qū)間，以此判斷各個式子的大小關系；
（2）構造函數(shù)法：當無法進行估值判斷式子大小時，可通過構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性，從而判斷式子大?。?br /> 6．（江蘇省常州市橫林高級中學2022-2023學年高三上學期期中）已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先不等式同構變形為，引入函數(shù)，由導數(shù)確定單調性得，分離參數(shù)變形為，再引入函數(shù)，由導數(shù)求得其最小值，從而得的范圍，得最小值．
【詳解】不等式可化為，即，
，，則，，
設，則，時，，是增函數(shù)，
所以由得，，，
所以時，恒成立．
設，則，
時，，遞減，時，，遞增，
所以，
所以，．所以的最小值是．
故選：B．
【點睛】難點點睛：本題考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題，難點在于不等式的同構變形，然后引入新函數(shù)，由新函數(shù)的單調性化簡不等式，從而再由變量分離法轉化為求函數(shù)的最值．
7．（江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級中學2022-2023學年高三上學期期中）若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)題目不等式構造，得到，構造，，證明出在上恒成立，得到在上單調遞減，轉化為在上恒成立，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】依題意，．
令，
則．
令，，
則，
所以在上單調遞減，
則，
所以在上恒成立，
故在上單調遞減，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在單調遞增，故．
所以，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D
【點睛】同構思想，在利用導函數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題上，經(jīng)?？疾欤ǔｎ}目特征為題干條件中同時出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，則可以考察同構的方法.
二、填空題
8．（遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】令，進而結合題意得函數(shù)為上的偶函數(shù)，在上單調遞增，在上單調遞減，，進而根據(jù)單調性和奇偶性解不等式即可.
【詳解】解：令，則
因為，即，
所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，
因為，當時，
所以，當時，，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，
因為函數(shù)為上的偶函數(shù)
所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，所以
因為可變形為，即，
因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集為
故答案為：
9．（遼寧省沈陽市東北育才學?？茖W高中部2022-2023學年高三上學期期中）已知函數(shù)，若的零點個數(shù)為3，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用導數(shù)，先求出的圖像，再設，，得到，
可整理出復合函數(shù)，令，得到，再通過，與的交點情況，求出的范圍，進而求出的范圍.
【詳解】根據(jù)題意，對于，
求導，則時，，單調遞增；時，，單調遞減；可得時，有最大值，且時，恒有，
故可畫出的圖像，

令，則，令
故， 令，
此時，參變分離可得，，
作出的圖像，明顯為對勾函數(shù)，

故只需求出滿足題意時的范圍，即可根據(jù)等量代換，得到的范圍.
對于，當只有一個根滿足時，令，此時，
如圖，

此時，滿足有3個零點，此時，明顯地，當時，

此時滿足唯一的，故對于對勾函數(shù)：，；
又，當有兩個根和滿足時，要滿足有3個零點，則如圖

或如圖，

此時，必有，或
對應的對勾函數(shù)圖為：
，或

如圖，因為交點不存在，必有對應的，或，三種情況，故關鍵是要有對應的兩個與之對應，取，故對于，有，
對于或，，可得，或，
故且或，其交集為；
綜上所述，.
故答案為：
10．（遼寧省朝陽市建平縣2022-2023學年高三上學期期中）不等式對任意實數(shù)，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設，則可得，而分別在曲線和直線上，將直線平移恰好與曲線相切時，可求出的最小值，從而可解關于的不等式可得答案.
【詳解】由題意設，則，所以，
因為分別在曲線和直線上，
所以將直線平移恰好與曲線相切時，切點到直線的距離最小，此時最小，
設切線為，切點為，則，得，
所以，得，則，
所以的最小值為點到直線的距離，，
即的最小值為，
所以，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查導數(shù)的幾何意義，解題的關鍵是將問題轉化為，，進一步轉化為曲線上的點和直線的點的距離最小問題，考查數(shù)學轉化思想，屬于較難題.
三、多選題
11．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學校聯(lián)考期中）定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】設函數(shù)，，利用導數(shù)可得在上單調遞減，從而，即可得出答案.
【詳解】設函數(shù)，，
則，
因為恒成立，所以，
所以在上單調遞減，
所以，即，
則必有，，，，
故AD正確，BC錯誤.
故選：AD.
12．（2022秋·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則（????）
A．當時， B．當時，
C．當時，的最小值為 D．當時，的最大值為
【答案】ACD
【分析】對于A項，可通過解不等式直接得出；對于B項，可以取合適的特殊值驗證；求出，可知在上單調遞增，在上單調遞減，則可畫出的圖象.利用同構可知等價于，結合圖象可知當時，與只有一個交點，則，則 ，代入CD項可構造函數(shù)，通過求導得到最值.
【詳解】由已知，當時，即，，，，
所以有，A正確；
取，則，此時令，則有，，B項錯誤；
∵，?????????∴
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
所以， 的圖象如圖所示.

又，即.當時，如圖易知，與只有一個交點，
由可得，此時，，.
則.
令，則.
當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞減.
所以，在處有最小值，C項正確；
當時，.令，.
當時，，即在上單調遞減；
當時，，即在上單調遞增.
所以，在處有最大值，D項正確.
故選：ACD.
【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與交點問題，屬于難題.通過導函數(shù)得出性質，畫出函數(shù)圖象.對多個變量時，常考慮利用同構.本題利用同構可知，等價于，結合圖象，得出的關系，簡化解題過程，找到突破口.
13．（2022秋·浙江杭州·高三學軍中學?？计谥校┮阎瘮?shù)有兩個零點，則可以取到的整數(shù)值有（????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】將問題轉化為與有兩個不同交點的問題，令，可求得單調遞增且存在，使得；設，利用導數(shù)可求得單調性，結合復合函數(shù)單調性的判斷方法可知的單調性，由此可作出的大致圖象，采用數(shù)形結合的方式可確定的范圍，由此可得結果.
【詳解】由題意知：定義域為，
有兩個零點，有兩個不等實根，
當時，恒成立，不合題意，，
有兩個解，即與有兩個不同交點，
令，則，在上單調遞增，
且存在，使得，
設，則定義域為，，
當時，；當時，；
在，上單調遞增，在上單調遞減，
又當時，，
由復合函數(shù)單調性可知：在，上單調遞增，在上單調遞減，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
由此可得的圖象如下圖所示，

由圖象可知：若與有兩個不同交點，則，
即實數(shù)的取值范圍為，則可能取到的整數(shù)值為和.
故選：CD.