?東營市2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研
高二數(shù)學(xué)試題
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，則（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的通項(xiàng)公式，然后整理出項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)系數(shù)相等可得答案.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得；
所以含項(xiàng)系數(shù)為，即，解得.
故選：C.
2. 已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義確定參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可得切線方程.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，
所以，故，，
所以，，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故選：A.
3. 現(xiàn)有兩筐排球，甲筐中有10個(gè)白色球、5個(gè)紅色球，乙筐中有4個(gè)黃色球、6個(gè)紅色球、5個(gè)黑色球.某排球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)發(fā)球時(shí)，在甲筐取球的概率為0.6，在乙筐取球的概率為0.4.若該運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球，則取到紅色排球的概率為（ ）
A. 0.73 B. 0.36 C. 0.32 D. 0.28
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)事件“運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球，則取到紅色排球”，事件“運(yùn)動(dòng)員從甲筐球中取球”， 事件“運(yùn)動(dòng)員從乙筐球中取球”，計(jì)算出，，，由全概率公式可得答案.
【詳解】設(shè)事件“運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球，則取到紅色排球”，
事件“運(yùn)動(dòng)員從甲筐球中取球”， 事件“運(yùn)動(dòng)員從乙筐球中取球”，
由題意可得，，，
，由全概率公式可得
.
故選：B.
4. 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A. 充分且不必要條件 B. 必要且不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)，得到遞增，充分性成立，再推導(dǎo)出必要性成立.
【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，且，所以，即，
所以為遞增數(shù)列，充分性成立，
若為遞增數(shù)列，則，因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，所以，必要性成立.
故選：C
5. 國內(nèi)現(xiàn)存兩件國寶級(jí)文物——戰(zhàn)國宴樂水陸攻戰(zhàn)紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壺上的圖像采用“嵌錯(cuò)”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設(shè)第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺(tái)，且圓柱與圓臺(tái)的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據(jù)正視圖，可得圓柱與圓臺(tái)這兩個(gè)幾何體的體積之比為（ ）（注：）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓柱和圓臺(tái)體積公式直接求解即可.
【詳解】由題意知：圓柱的底面直徑為，設(shè)高為；圓臺(tái)的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺(tái)的高之比為，則高為，
圓柱的體積；
圓臺(tái)的體積，
圓柱與圓臺(tái)這兩個(gè)幾何體的體積之比為.
故選：B.
6. 若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性再比較大小可得答案.
【詳解】令，則，
由于的正負(fù)不確定，所以的正負(fù)不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯(cuò)誤；
令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
因?yàn)?，所以，即，故B錯(cuò)誤D正確；
故選：D.
7. 數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們平時(shí)聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為，則其部分圖象大致為（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，與選項(xiàng)中的圖象比較即可得出答案.
【詳解】令，
求導(dǎo)得
，
當(dāng)時(shí)，由解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)和時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，
由于，
可得，當(dāng)時(shí)，
結(jié)合圖象，只有C選項(xiàng)滿足．
故選：C．
8. 古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A. 15 B. 20 C. 24 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到，然后將分離出來，再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故，所以2.
由，得，
整理得對(duì)任意，且恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，即實(shí)數(shù)的最大值為27.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，滿足下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列
B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C.
D. 數(shù)列的前n項(xiàng)的和
【答案】BC
【解析】
【分析】計(jì)算數(shù)列前三項(xiàng)可判斷A；利用，構(gòu)造等比數(shù)列，可判斷B，C；結(jié)合C的結(jié)果以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可判斷D.
【詳解】由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則，
則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；
由得，，否則與矛盾，
則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；
由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
則，所以，C正確；
數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨(dú)”比賽（獨(dú)唱獨(dú)奏獨(dú)舞），由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場(chǎng)只有9名教師評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評(píng)分，比賽評(píng)分采取10分制．某選手比賽后，現(xiàn)場(chǎng)9名教師原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分如下表．對(duì)學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分按分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示．

教師評(píng)委
A
B
C
D
E
F
G
有效評(píng)分
9.6
9.1
9.4
8.9
9.2
9.3
9.5
則下列說法正確的是（ ）
A. 現(xiàn)場(chǎng)教師評(píng)委7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)相同
B. 估計(jì)全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)
C. 在去掉最高分和最低分之前9名教師評(píng)委原始評(píng)分的極差一定大于0.7
D. 從學(xué)生觀眾中隨機(jī)抽取10人，用頻率估計(jì)概率，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)概念判斷A，由頻率分布直方圖估計(jì)樣本容量判斷B，由極差概念判斷C，由二項(xiàng)分布求出期望判斷D．
【詳解】去掉9個(gè)原始評(píng)分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，不會(huì)改變?cè)摻M數(shù)據(jù)的中位數(shù)，A正確；
因?yàn)閷W(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.3，學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000，則網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生估計(jì)有人，B正確；
若去掉的一個(gè)最高分為9.6，去掉的一個(gè)最低分為8.9，則9名教師原始評(píng)分的極差等于0.7，C錯(cuò)誤；
學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.5，則，所以，D正確；
故選：ABD．
11. 如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，點(diǎn)為圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），則（ ）

A. 存在值，使得
B. 三棱錐體積的最大值為
C. 當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為
D. 當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，平面截四棱錐外接球的截面面積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)棱錐的體積計(jì)算公式判斷選項(xiàng)B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式判斷選項(xiàng)C；利用線面垂直的性質(zhì)以及勾股定理和基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由題意知，
若，，平面，則平面，
所以，不成立，故不正確；
對(duì)于選項(xiàng)，在三棱錐中，半圓面，
則是三棱錐的高，
當(dāng)點(diǎn)是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的底面積取得最大值，
三棱錐體積取得最大值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則為的中點(diǎn)，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,，，，
可得，則，
故異面直線與所成角的余弦值為，所以正確；
對(duì)于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
由題意知，平面，平面，，
又因，，平面，
可得平面，
所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，
設(shè)，則，
在Rt中，，
所以，
故，
令，則，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，則，
所以直線與平面所成最大角的正弦值為，
此時(shí)，
所以，
連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 因?yàn)闉檎叫?，所以?br /> 在中，可得，
在中，可得，
則，因?yàn)椋?br /> 所以點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，
因?yàn)?，由，解得?br /> 所以球心到面的距離，
設(shè)截面半徑為，則有，
所以截面面積為，故D正確.
故選：BCD.

12. 已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②，．是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 關(guān)于對(duì)稱 B. 的一個(gè)周期為
C. 不關(guān)于對(duì)稱 D. 關(guān)于對(duì)稱
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，對(duì)兩邊求導(dǎo)可判斷選項(xiàng)正誤；
B選項(xiàng)，由①②可知的一個(gè)周期為，即可判斷選項(xiàng)正誤；
C選項(xiàng)，驗(yàn)證是否等于2d即可判斷選項(xiàng)正誤；
D選項(xiàng)，驗(yàn)證是否成立可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，由兩邊求導(dǎo)得，即關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
B選項(xiàng)，由為偶函數(shù)，知.
又，
則
，即的一個(gè)周期為，則的一個(gè)周期為，故B正確；
C選項(xiàng)，注意到當(dāng)時(shí)，.
則，即此時(shí)
關(guān)于，即對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由為偶函數(shù)，知關(guān)于對(duì)稱，即，則，即關(guān)于對(duì)稱，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：為偶函數(shù)；
若以為對(duì)稱軸，且以為一個(gè)對(duì)稱中心，，則為周期函數(shù)，且其一個(gè)周期為.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.
13. 等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項(xiàng)的和為_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，得到，再由等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】在等差數(shù)列中，滿足，即，
由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，可得，
又由.
故答案為：.
14. 若，且，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，列式求解.
【詳解】由題意可知，正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，
由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，在上可導(dǎo)，若，則成立.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式：，則________________ .
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)題中所給定義，求出，進(jìn)而可得，后利用裂項(xiàng)相消法可得.
【詳解】設(shè)，，則
，
記，，
則，又，所以，
所以，
所以，
故答案為：
16. 如圖，一張紙的長，寬，.M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是___________.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用外接球球心為兩個(gè)平面的外接圓圓心的交點(diǎn)，可知三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn)，即可求出半徑；分析直線MN被球O截得的線段長與二面角的大小有關(guān)，求出二面角在臨界值時(shí)的情況，即可得到線段長的取值范圍.
【詳解】解：由于和都是直角三角形，所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處，
因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn)，
則半徑，
直線MN被球O截得的線段長與二面角的大小有關(guān)，
當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長最長，趨于直徑，
當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長最短，

如圖翻折后，此時(shí)，所以
則，由相似比可得，
所以，
直線MN被球O截得的線段長，
綜上直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是，
故答案為：；.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知正項(xiàng)數(shù)列與，且為等比數(shù)列，,,
從條件①的前3項(xiàng)和；②；③.任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中，并解答下列問題：
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，可得，根據(jù)，可得，從而證得結(jié)論；
（2）確定，再設(shè)等比數(shù)列的公比為，選擇條件①②③可得的值，從而得通項(xiàng)，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可得前項(xiàng)和.
【小問1詳解】
由可得，
又，所以，則，即.
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）可得
設(shè)等比數(shù)列的公比為，且
若選①，則，解得或
又因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，∴，故；
若選②，又，得，又，則解得或
又因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，∴，故；
若選③，因?yàn)?，則，則解得或
又因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，∴，故；
所以
即
則
相減得：所以.
18. 2021年4月7日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上線“強(qiáng)國醫(yī)生”功能，提供智能導(dǎo)診、疾病自查、疾病百科、健康宣傳等多種醫(yī)療健康服務(wù).
（1）為了解“強(qiáng)國醫(yī)生”使用次數(shù)的多少與性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)研了200名“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用者，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有 99.9%的把握認(rèn)為“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；

男
女
總計(jì)
使用次數(shù)多
40


使用次數(shù)少

30

總計(jì)
90

200

（2）該機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了“強(qiáng)國醫(yī)生”上線7天內(nèi)每天使用該服務(wù)的女性人數(shù)，“強(qiáng)國醫(yī)生”上線的第x天，每天使用“強(qiáng)國醫(yī)生”的女性人數(shù)為y，得到以下數(shù)據(jù)：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
通過觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線的周圍，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)“強(qiáng)國醫(yī)生”上線第12天使用該服務(wù)的女性人數(shù).
附：隨機(jī)變量

0.05
0.02
0.01
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為





61.9
1.6
51.8
2522
3.98

【答案】（1）表格見解析，有99.9%的把握認(rèn)為“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)
（2），3980人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成表格，計(jì)算出與附表中值作比較可得答案；
（2）將兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，設(shè)，則，求出，可得y關(guān)于x的回歸方程，把代入回歸方程，可得答案.
【小問1詳解】

男
女
總計(jì)
使用次數(shù)多
40
80
120
使用次數(shù)少
50
30
80
總計(jì)
90
110
200

，
所以有99.9%的把握認(rèn)為“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；
【小問2詳解】
將兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得
，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以y關(guān)于x的回歸方程為
把代入回歸方程，得，
所以“強(qiáng)國醫(yī)生”上線第12天，使用該服務(wù)的女性約有3980人.
19. 如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；
（2）求出平面的法向量后利用線面角的向量公式直接求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，，且，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則
所以
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，故，
所以，故，
又平面，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）得
設(shè)平面的法向量為則，令，解得，
故所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則又，所以.
20. 某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達(dá)不到一?二級(jí)，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤如下表：
等級(jí)
一等
二等
三等
利潤（萬元/每件）
0.8
0.6
-0.3

（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；
（2）求該公司每天所獲利潤（萬元）的數(shù)學(xué)期望；
（3）若該工廠要增加日產(chǎn)能，公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件產(chǎn)能，其成本也將相應(yīng)提升（萬元），假如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說明理由.（）
【答案】（1）0.75 （2）1.22（萬元）
（3）不該增產(chǎn)，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算；
（2）先分析 的可取值，再按步驟寫出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解；
（3）分析當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量增加n件時(shí)的凈利潤，根據(jù)凈利潤決策.
【小問1詳解】
設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A，則一件產(chǎn)品不是一等品為事件 ， ，2件產(chǎn)品至少有1件為一等品事件為 ，
其概率 ；
【小問2詳解】
設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A，二等品為事件B，次品為事件C，則 ，
則可取的值為 ，
，
, ，
, ,
其分布列為：

-0.6
0.3
0.5
1.2
1.4
1.6

0.01
0.08
0.1
0.16
0.4
0.25
數(shù)學(xué)期望 （萬元）；
【小問3詳解】
由（2）可知，每件產(chǎn)品的平均利潤為 （萬元），則增加n件產(chǎn)品，利潤增加為萬元），
成本也相應(yīng)提高 （萬元），所以凈利潤 ， ，
設(shè) ，則 ，當(dāng) 時(shí)，，是增函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)，是減函數(shù) ，在取得最大值，又 ，只能取整數(shù)， 或時(shí)可能為最大值 ，
， ，
即在 取得最大值時(shí)也是虧本的，所以不應(yīng)增加產(chǎn)量；
21. 已知函數(shù).
（1）若在處取得極值，求在區(qū)間上的值域；
（2）若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性可得值域；
（2）當(dāng)時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題可得；當(dāng)時(shí)，直接判斷可知；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求極值，通過極值結(jié)合問題分析可解.
【小問1詳解】

因?yàn)樵谔幦〉脴O值
所以，得
則時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?br /> 【小問2詳解】
的定義域?yàn)?br /> 函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)實(shí)數(shù)根與有一個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由圖可知滿足題意；

當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，得
令，得
所以，當(dāng)時(shí)，有最大值
因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得
綜上，a的取值范圍為.
22. 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，.是棱PD上的點(diǎn)，且四面體的體積為

（1）證明：；
（2）若過點(diǎn)C，M的平面α與BD平行，且交PA于點(diǎn)Q，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解法一：取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.推導(dǎo)得到平面，平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；解法二：先證明平面PAB. 過M作交AP于點(diǎn)N，證明得到平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；
（2）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法三：通過作圖，作出二面角的平面角，構(gòu)造直角三角形，即可得出答案.
【小問1詳解】
解法一：

如圖1，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.
因?yàn)?，，所以，?
又因?yàn)槭橇庑?，，所以?
因?yàn)椋?，所?
又因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，，
所以平面.
因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，
所以.
因?yàn)椋?br /> 所以點(diǎn)M到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的，
所以.
解法二：
如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO，

因?yàn)椋?br /> 所以，，，
又因?yàn)槭橇庑?，?br /> 所以，.
因?yàn)椋?，所?
因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，，
所以平面PAB.
所以，.
過M作交AP于點(diǎn)N，，所以.
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，所以.
因?yàn)?，?br /> 所以，
所以N是PA的中點(diǎn)，所以M是PD的中點(diǎn)，所以.
【小問2詳解】
解法一：
由（1）知，，，.

如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，所以，，，，，.
因?yàn)椋O(shè)，則，
因?yàn)?，，，，故存在?shí)數(shù)a，b，使得，
所以，解得，
所以.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，得到平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面夾角是，
又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，
則.
所以平面與平面夾角的余弦值是.
解法二：
由（1）知，，，，
如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，所以，，，，，.
設(shè)平面的法向量為，則，即.
取，得到平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)?，設(shè)，則，
因?yàn)椋?，所?br /> 設(shè)平面的法向量為，則，即.
取，得到平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面夾角是，
又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，
則.
所以平面與平面夾角余弦值是.
解法三：
在平面內(nèi)，過C作交AD延長線于點(diǎn)E，交AB延長線于點(diǎn)F，
因?yàn)槭橇庑危?

如圖4，在平面PAD內(nèi)，作交EM的延長線于點(diǎn)，設(shè)交AP于點(diǎn)Q.
所以，四邊形是平行四邊形，，.
所以，所以，
所以點(diǎn)Q是線段PA上靠近P的三等分點(diǎn).
如圖5，在平面PAB內(nèi)，作，交AB于T，

因?yàn)槠矫妫云矫?，所以?br /> 因?yàn)?，?br /> 在平面內(nèi)，作，交BC于點(diǎn)N，連接QN，過A作交BC于K，
在中，，，所以，
所以，
因?yàn)?，，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
所以是二面角的平面角.
在中，，所以.
所以平面與平面夾角的余弦值是.




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