敘州區(qū)二中高2021級(jí)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試文科數(shù)學(xué)第I卷  選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 若命題，，則為（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】通過(guò)改量詞否結(jié)論，將命題否定【詳解】因?yàn)槊}，，所以為，，故選：D2. 已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，若，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合向量相等的知識(shí)列方程組，解方程組求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】∵點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.設(shè)，，，解得∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的運(yùn)算，考查向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3. 某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖（如圖①）、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖（如圖②），則下列結(jié)論中不一定正確的是 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%C. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根據(jù)餅圖中的數(shù)據(jù)結(jié)合崗位分布圖中的數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，即可得答案；【詳解】對(duì)A，可知90后占了56%，故A正確；對(duì)B，技術(shù)所占比例為39.65%，故B正確；對(duì)C，可知90后明顯比80前多，故C正確；對(duì)D，因?yàn)榧夹g(shù)所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖的信息提取，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.4. 某校有高三學(xué)生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)，用電腦對(duì)這1200名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1，2，3，…，1200，已知隨機(jī)抽取的一個(gè)學(xué)生編號(hào)為10，則抽取的學(xué)生最大編號(hào)為（     ）A. 2004 B. 1198 C. 1192 D. 1086【答案】B【解析】【分析】首先求出分段間隔，再根據(jù)系統(tǒng)抽樣規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為，編號(hào)共分為段，編號(hào)屬于第段，所以最大編號(hào)在第段，號(hào)碼為．故選：B5. “”是“”（    ）條件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)條件“”為“”，再利用包含關(guān)系判斷必要不充分條件即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，，則?所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求解一元二次不等式、判斷兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系、利用集合的包含關(guān)系判斷必要不充分條件，是基礎(chǔ)題.6. 若，滿足，則的最大值是A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線在y軸上的截距最小值即可．【詳解】解：畫(huà)出可行域（如圖），z＝x﹣2y?yxz，由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）時(shí)，z最大，且最大值為zmax＝0﹣2×（﹣1）＝2．故選C．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．7. 若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)b的值為（    ）A. 或1 B. 或3 C. 0或2 D. 或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑，列出方程即可得答案；【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，有，解得或3．故選：B.8. 劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在其撰寫(xiě)的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”，就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓的面積并以此求取圓周率的方法.如圖所示，正十二邊形的中心為圓心，圓的半徑為2.現(xiàn)隨機(jī)向圓內(nèi)投放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二邊形內(nèi)（，），則圓周率的近似值是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由正十二邊形的面積與圓的面積公式，結(jié)合幾何概型中的面積型得：，所以，即π，得解【詳解】解：由幾何概型中的面積型可得：，所以，即π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正十二邊形的面積及幾何概型中的面積型，考查計(jì)算能力，屬中檔題9. 已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)， 且 ， 當(dāng) 時(shí)， ， 則 （    ）A. B C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，再結(jié)合奇偶性可以將的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為的函數(shù)值，從而求出函數(shù)值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，所以因?yàn)?/span>，所以，，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C.10. 若，a＞0且b＞0，則a+b的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，，等號(hào)左右兩邊同時(shí)除以，然后再運(yùn)用1的應(yīng)用，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為故選：D11. 對(duì)任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分離參數(shù)得對(duì)任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，∴對(duì)任意的恒成立．設(shè)，，，當(dāng)，即時(shí)，，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.12. ，是：上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，到直線：的距離分別為，，則的最大值是A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】由題設(shè),其中，先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，再利用三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值得解.【詳解】由題設(shè),其中.可以由題得
 ≤5，此時(shí).故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.第II卷  非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所，所以曲線在處切線方程為，即．故答案為：14. 已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)_____.【答案】【解析】【分析】分別求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線相互垂直的性質(zhì)即可得解．【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)閮蓷l直線相互垂直，所以直線的斜率必然存在，又，，則，，又所以，解得．所以．故答案為：.15. 已知函數(shù)，對(duì)于任意都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】令，將已知不等式轉(zhuǎn)化為，則只需在上單調(diào)遞增，即恒成立即可；令，分別在、和三種情況下，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性得到最小值，由此可求得的范圍.【詳解】由得：，令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，令，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，解得：，；綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒁阎仁竭M(jìn)行變形，從而構(gòu)造出新的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增來(lái)進(jìn)行求解.16. 在三棱錐S-ABC中，∠ABC=90°，AC中點(diǎn)為點(diǎn)O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，則三棱錐外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】【詳解】由AC中點(diǎn)為點(diǎn)O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，易知：△SAC為等邊三角形，外接球的球心應(yīng)該是等邊三角形的中心，故R= ，故外接球的表面積為.點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17 設(shè)函數(shù)，（1）求、的值；（2）求在上的最值．【答案】（1），    （2），【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，再由區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以，取，則有，即；所以，取，則有，即．故，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，所以、與，的關(guān)系如下表：012 0 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，．18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，與交于點(diǎn).(1)求證:；(2)若為的中點(diǎn)，平面，求三棱錐的體積.【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) 【解析】【分析】(1)先證明平面，即證；（2）先證明是四棱錐的高，再利用求三棱錐的體積.【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為平面，又平面，底面是正方形，又，平面平面，(2) 平面， 平面 ，，又的中點(diǎn)為由平面，可得，又，平面.而平面，又由(1)可知，平面，即是四棱錐的高，故【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素垂直關(guān)系的證明，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19. 近年來(lái)，國(guó)際環(huán)境和局勢(shì)日趨嚴(yán)峻，高精尖科技圍堵和競(jìng)爭(zhēng)更加激烈，國(guó)家號(hào)召各類(lèi)高科技企業(yè)匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，大力增加研發(fā)資金，以突破我國(guó)在各個(gè)領(lǐng)域的“卡脖子”關(guān)鍵技術(shù)．某市為了解本市高科技企業(yè)的科研投入和產(chǎn)出方面的情況，抽查了本市8家半導(dǎo)體企業(yè)2018年至2022年的研發(fā)投資額x（單位：百億元）和因此投入而產(chǎn)生的收入附加額y（單位：百億元），對(duì)研發(fā)投資額和收入附加額進(jìn)行整理，得到相關(guān)數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)投資額x和收入附加額y成線性相關(guān)．投資額（百億元）234568911收入附加額（百億元）3.64.14.85.46.27.57.99.1 （1）求收入的附加額y與研發(fā)投資額x的線性回歸方程（保留三位小數(shù)）；（2）現(xiàn)從這8家企業(yè)且投資額不少于5百億元的企業(yè)中，任意抽取3家企業(yè)，求抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的概率．參考數(shù)據(jù)：．附：在線性回歸方程，．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)線性回歸方程的公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列出基本事件，再得出抽中的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的事件數(shù)，根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】由，得：，由得，所以年收入的附加額與投資額的線性回歸方程為．【小問(wèn)2詳解】已知這8家企業(yè)中投資額不少于5百億元的企業(yè)有5家，其中收入附加額大于投資額的企業(yè)有2家，編號(hào)為，；余下3家編號(hào)為，，，現(xiàn)從中5家中任選3家，基本事件總數(shù)為10，情況如下：，，，其中抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的情況共有6種，情況如下：，故抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的概率．20. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)，都有，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論即可；（2），分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).21. 已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的的頂點(diǎn)，為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過(guò)E的右焦點(diǎn).（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)若直線 ， 與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）    （2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義直接求解即可；（2）設(shè)出直線 方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)S、T的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線 方程即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓方程為 ，焦距為，所以周長(zhǎng)為 ，即 ， ，因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，所以，，所以 ，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .【小問(wèn)2詳解】由題意知， , ，直線斜率均存在，所以直線，與橢圓方程聯(lián)立得 ，對(duì)恒成立，則 ，即 ，則 ，同理 ， ，所以 ，所以直線 方程為： ，所以直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 .（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．（選修4-4 極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），．以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，．當(dāng)時(shí)，求的極坐標(biāo)方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)的幾何意義可設(shè)，，列出韋達(dá)定理，由求出，即可求出的普通方程與極坐標(biāo)方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，因?yàn)?/span>，所以，所以的直角坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】將曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入的直角坐標(biāo)方程，整理得，由的幾何意義可設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，所以的普通方程為，則的極坐標(biāo)方程為.（選修4-5 不等式選講）23 已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）或    （2）．【解析】【分析】（1）分區(qū)間討論求解不等式即可得解；（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，由不等式恒成立求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，所以；當(dāng)時(shí)，令，得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，得，所以．綜上，原不等式的解集為或．【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，，在時(shí)取得最大值．又因?yàn)殛P(guān)于x的不等式恒成立，所以，即，所以m的取值范圍為．
 

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