2022-2023學(xué)年安徽省池州市貴池區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為 （    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)除法求出的代數(shù)形式，進(jìn)而可得虛部.【詳解】，其虛部為.故選：A.2．如圖，已知等腰直角三角形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（　　）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．3．某圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長為，扇形的半徑為5，則圓錐的體積為（    ）A． B．75 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形弧長求出圓錐底面圓的半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，則，解得：，設(shè)圓錐的高為，則，則圓錐的體積為.故選：D4．已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意可得，即得，再利用數(shù)量積的定義即可求得答案.【詳解】由題意可知向量在向量上的投影向量為，則，即，而，故，故選：D5．一正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（    ）A．6π B．12π C． D．24π【答案】D【分析】由于正四棱柱的體對角線就是其外接球的直徑，所以先求出體對角線，從而可求得球的半徑，進(jìn)而可求出外接球的表面積【詳解】設(shè)正四棱柱的外接球半徑為因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L為2，高為4，所以，得，所以該正四棱柱的外接球的表面積為，故選：D6．已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（    ）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角為邊可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，整理可得.故選：B.7．如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，則塔高（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足，過點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N，若，，則的最小值為（    ）A．3 B．12 C．4 D．16【答案】C【分析】根據(jù)和向量的線性運(yùn)算可得，再利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求的最小值.【詳解】連接，因?yàn)?/span>，故，故，故，而三點(diǎn)共線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為4，故選：C 二、多選題9．在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（    ）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】BC【分析】由題意畫出圖形，可知，求出的范圍，根據(jù)選項(xiàng)，得出結(jié)果即可.【詳解】解：如圖：要使有兩個(gè)解，則，即，解得：，故選：BC10．如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler's formula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是（    ）A．共有20個(gè)六邊形B．共有10個(gè)五邊形C．共有90條棱D．共有32個(gè)面【答案】ACD【分析】分別設(shè)出正五邊形和正六邊形的個(gè)數(shù)，利用關(guān)系式即可解出正五邊形和正六邊形的數(shù)量，以及棱數(shù)和面數(shù).【詳解】解：由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，解得：.B錯(cuò)誤.∵頂點(diǎn)數(shù)：，解得：，∴A正確.面數(shù)：.∴D正確.棱數(shù)：.C正確.故選：ACD.11．已知△ABC的重心為，邊的中點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（    ）A．B．若△ABC為正三角形，則C．若，則D．【答案】ACD【分析】對于A，利用向量的加法法則分析判斷，對于B，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解，對于C，利用向量的減法法則和數(shù)量積的性質(zhì)判斷，對于D，利用向量的加法法則分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>為中的中點(diǎn)，所以，所以A正確；對于B，因?yàn)?/span>為正三角形，所以，所以，所以B不正確；對于C，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)?/span>為的重心，分別為邊的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以D正確.故選：ACD.12．如圖，已知正方體的棱長為，、分別為、的中點(diǎn)，在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說法正確的是（    ）  A．三棱錐的體積與點(diǎn)位置無關(guān)B．若為中點(diǎn)，三棱錐的體積為C．若為中點(diǎn)，則過點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是D．若與重合，則過點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為三角形【答案】AC【分析】根據(jù)錐體的體積、正方體的截面等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案．【詳解】對于A選項(xiàng)，由正方體可得平面平面，平面所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值即的長因?yàn)?/span>，由于三角形的面積固定，所以三棱錐的體積與點(diǎn)位置無關(guān)，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，連接，則是的中點(diǎn)，連接，  由于，分別是，的中點(diǎn)，所以，由于，則，即過點(diǎn)，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，延長交的延長線于，連接，交于，連接，延長交的延長線于，連接，交于，連接，  則五邊形是過點(diǎn)，，作正方體的截面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC． 三、填空題13．在中，若，則的值為           .【答案】/【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理，即，所以，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：14．已知復(fù)數(shù)，則         【答案】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解作答.【詳解】復(fù)數(shù)，則，所以.故答案為：15．如圖所示，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（棱臺(tái)的體積），（幾何體的體積）的兩部分，那么      .【答案】【分析】設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則，然后利用棱臺(tái)的體積公式求出，從而可得，進(jìn)而可得答案【詳解】解： 設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則.因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，.所以.故答案為： 四、雙空題16．如圖，在邊長為1的正方形中，E為的中點(diǎn)，P為以A為圓心，為半徑的圓?。ㄔ谡叫蝺?nèi)，包括邊界點(diǎn)）上的點(diǎn)，若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則的取值是           ；若向量，則的最大值為           .   【答案】          【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.空1：若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；空2：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，  則，設(shè)，則，空1：若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則，可得，所以；空2：因?yàn)?/span>，可得，若，則，可得，因?yàn)?/span>，則，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.故答案為：；. 五、解答題17．已知為虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的范圍；(2)若復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的特點(diǎn)，解不等式組得出的范圍；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等以及模長公式得出復(fù)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，得的取值范圍是：（2）設(shè)復(fù)數(shù)，由條件得，所以解得：，所以18．已知向量．(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算與向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解；（2）利用向量的線性運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示即可得解；【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)?/span>，，因?yàn)?/span>，又與向量平行，所以，即，解得，所以.19．如圖，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可知，即可求解；（2），從而即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樵诹庑?/span>中，.故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑?/span>，且，，故，.所以.故①式.故.20．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大??；(2)若，求△ABC的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將條件整理然后代入余弦定理計(jì)算即可；（2）先利用正弦定理將角化邊，然后結(jié)合條件求出，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.21．如圖，兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放入一個(gè)底面為正方形的長方體內(nèi)，且長方體的正方形底面邊長為2，高為4，已知重合的底面與長方體的正方形底面平行，八面體的各頂點(diǎn)均在長方體的表面上．(1)若點(diǎn)A，B，C，D恰為長方體各側(cè)面中心，求該八面體的體積；(2)求該八面體表面積S的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由點(diǎn)A，B，C，D恰為長方體各側(cè)面中心，求得正方形邊長，相應(yīng)四棱錐的高是長方體高的一半，由棱錐體積公式可得八面體體積；（2）如圖，設(shè)平面ABCD截正方體所得截面為，且的中心為O，過點(diǎn)O作，垂足為G．由對稱性，不妨設(shè)，求出正四棱錐底面邊長，斜高，由一個(gè)側(cè)面的面積得八面體的表面積，從而得范圍．【詳解】（1）由點(diǎn)A，B，C，D恰為長方體各側(cè)面中心，∴，∴八面體．（2）如圖1，設(shè)平面ABCD截正方體所得截面為，且的中心為O，過點(diǎn)O作，垂足為G．　　　　圖1由對稱性，不妨設(shè)，則，，，．設(shè)AD的中點(diǎn)為H，如圖2，　　　　　圖2則，，所以．因?yàn)?/span>，所以，則，故，所以，所以此八面體的表面積S的取值范圍為．22．如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個(gè)小池塘，E，F在邊BC上（E，F不與B，C重合，且E在B，F之間），且.(1)若，求EF的值；(2)為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可求，即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理用表示，再結(jié)合條件得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）由題意可得，設(shè)，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）設(shè)，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故面積的最小值. 

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