成都外國語學(xué)校2023–2024學(xué)年度高2021級(jí)高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（理科）考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘  滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分）1．設(shè)集合，，，則（    ）A． B． C． D．2．底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長(zhǎng)為（    ）A．1 B． C．2 D．3．已知，則z的共軛復(fù)數(shù)（    ）A． B． C． D．4．已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，，點(diǎn)到軸的距離為6，則（    ）A．2 B．8 C．6 D．105．水稻是世界上最重要的糧食作物之一，也是我國以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的“第五大發(fā)明”．育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn)．在應(yīng)用該技術(shù)的兩塊面積相等的試驗(yàn)田中，分別種植了甲、乙兩種水穩(wěn)，觀測(cè)它們連續(xù)6年的產(chǎn)量（単位：）如表所示：甲、乙兩種水稻連續(xù)6年產(chǎn)量年品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲289029602950285028602890乙290029202900285029102920根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（    ）A．甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)小B．甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水穩(wěn)產(chǎn)量的中位數(shù)小C．甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等D．甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定6．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（    ）A．8 B．6 C． D．7．在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為（    ）A． B． C． D．8．第十四屆全國人民代表大會(huì)于3月5日至13日在北京召開，政府工作報(bào)告總結(jié)了過去五年的巨大成就，繪就出未來五年的美好藍(lán)圖，既鼓舞人心，又催人奮進(jìn)．為學(xué)習(xí)貫徹會(huì)議精神，現(xiàn)組織4名宣講員宣講會(huì)議精神，分配到3個(gè)社區(qū)，每個(gè)宣講員只分配到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分配方案共有（    ）A．72 B．12 C．36 D．249．我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”科學(xué)地求出了圓周率的結(jié)果．他的方法是從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正十二邊形、正二十四邊形……割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小，他通過計(jì)算正3072邊形的面積估算出了的值．某同學(xué)利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（    ）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．11．設(shè)，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（    ）個(gè)①的最小值為1②四面體的體積為③存在無數(shù)條直線與垂直④點(diǎn)為所在邊中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球半徑為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題5分，共20分）13．在2023年8月15日，成都市物價(jià)部門對(duì)金牛區(qū)5家商場(chǎng)的某種商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：由散點(diǎn)圖可知，銷售量與價(jià)格之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是：，則______．價(jià)格99.51010.511銷售量111086514．若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是－16，則實(shí)數(shù)的值是______．15．若函數(shù)在上單減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．16．已知函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．三、解答題（共70分）17．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的最值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．18．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)組成樣本，并將得分分成以下6組：、、、…、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；（2）從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，，，，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知橢圓的離心率為，，是的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）A是橢圓的右頂點(diǎn)，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)（與不重合）．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值．21．已知函數(shù)，．（1）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．（1）寫出曲線和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)，求的值．成都外國語學(xué)校高2021級(jí)高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)答案（理科）考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘   滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分）1－5：BCDBB    6－12：AACBB   DB二、填空題13．40   14．2   15．   16．三、解答題17．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?/span>，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，即，無最大值．（2）定義域?yàn)?/span>，且，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞堿；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．18．【詳解】（1）由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)：分．（2）由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得，，［90，100]的人數(shù)之比為6：3：2，∴在分組中抽6人，在分組中抽3人，在［90，100]分組中抽取2人，∴的可能取值為0，1，2，則，，，∴的分布列為：012P．19．【詳解】（1）分別取中點(diǎn)，連接，則為的中位線，∴，，又，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，正方向?yàn)?/span>軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，，設(shè)，則，∴，令平面的法向量為，則，令，則，，∴；又平面的一個(gè)法向量，∴，解得：或（舍），∴，∴，即的長(zhǎng)為．20．【詳解】（1）由已知得點(diǎn)，，，則，∴①又由有，∴，即②聯(lián)立①②解得，，∴，故橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線的方程為，聯(lián)立整理得：，則，即由韋達(dá)定理得：，，（*）又點(diǎn)，，則，，故，將，代入整理得：，將（*）代入得：因?yàn)?/span>，所以，即，解得或因?yàn)?/span>與不重合，所以，故所以，（**）所以，將（**）代入得，故．21．【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，由，得，則，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，所以，所以，解得，（2），則，因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，所以在上有兩個(gè)不同的根，此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的根，則，且，，解得，若不等式恒成立，則恒成立，因?yàn)?/span>不妨設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以在上遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．【詳解】（1）將等號(hào)兩邊同時(shí)乘以可得，所以；即；所以曲線的普通方程為；將：消去參數(shù)可得，，整理得；即直線的普通方程為（2）注意到在直線上，直線傾斜角為，，∴，，，，∵，解得，，所以直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），聯(lián)立的直角坐標(biāo)方程與的參數(shù)方程得整理得，設(shè)方程的解為，，則，，、異號(hào)．不妨設(shè)，有．   

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