題型一　帶電粒子在疊加場中的運動
題型二　帶電粒子在交變電、磁場中的運動
帶電粒子在疊加場中的運動
1.疊加場電場、磁場、重力場共存，或其中某兩場共存.
2.帶電粒子在疊加場中常見的幾種運動形式
例1　(多選)(2022·廣東卷·8)如圖所示，磁控管內(nèi)局部區(qū)域分布有水平向右的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場.電子從M點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經(jīng)過N、P兩點.已知M、P在同一等勢面上，下列說法正確的有A.電子從N到P，電場力做正功B.N點的電勢高于P點的電勢C.電子從M到N，洛倫茲力不做功D.電子在M點所受的合力大于在P點所受的合力
由題可知電子所受電場力水平向左，電子從N到P的過程中電場力做負功，故A錯誤；根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，N點的電勢高于P點的電勢，故B正確；
由于洛倫茲力一直都和速度方向垂直，故電子從M到N，洛倫茲力不做功，故C正確；
由于M點和P點在同一等勢面上，故從M點到P點電場力做功為0，而洛倫茲力不做功，M點速度為0，根據(jù)動能定理可知電子在P點速度也為0，則電子在M點和P點都只受電場力作用，在勻強電場中電子在這兩點所受電場力相等，即所受合力相等，故D錯誤.
例2　如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的坐標系xOy，在第三象限空間有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B＝0.5 T，還有沿x軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E＝2 N/C.在第一象限空間有沿y軸負方向、電場強度大小也為E的勻強電場，并在y＞h＝0.4 m的區(qū)域有磁感應(yīng)強度
大小也為B的垂直于紙面向里的勻強磁場.一個帶電荷量為q的油滴從圖中第三象限的P點得到一初速度，恰好能沿PO做勻速直線運動(PO與x軸負方向的夾角為θ＝45°)，并從原點O進入第一象限.已知重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)油滴在第三象限運動時受到的重力、電場力、洛倫茲力三力的大小之比，并指出油滴帶哪種電荷；
根據(jù)受力分析(如圖所示)，可知油滴帶負電荷，設(shè)油滴質(zhì)量為m，由平衡條件得
(2)油滴在P點得到的初速度大?。?br/>(3)油滴在第一象限運動的時間(取π＝3.14).
進入第一象限，電場力和重力平衡，油滴先做勻速直線運動，從A點進入y>h的區(qū)域后做勻速圓周運動，再從C點離開y>h區(qū)域，最后從x軸上的N點離開第一象限.
由對稱性知，從C→N的時間t3＝t1故油滴在第一象限運動的總時間t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝0.828 s.
帶電粒子在交變電、磁場中的運動
解決帶電粒子在交變電、磁場中的運動問題的基本思路
例3　如圖甲所示，水平放置的平行金屬板a、b間加直流電壓U，a板上方有足夠長的“V”字形絕緣彈性擋板，兩板夾角為60°，在擋板間加垂直紙面的交變磁場，磁感應(yīng)強度隨時間變化如圖乙，垂直紙面向里為磁場正方向，其中B1＝B0，B2未知.現(xiàn)有一比荷為　、不計重力的帶正電粒子從c點由靜止釋放，t＝0時刻，粒子剛好從小孔O進入上方磁場中，在t1時刻粒子第一次撞到左擋板，緊接著在t1＋t2時刻粒子撞到右擋板，然后粒子從O點豎直向下返回平行金屬板
間，使其在整個裝置中做周期性的往返運動.粒子與擋板碰撞前后電荷量不變，沿板方向的分速度不變，垂直板方向的分速度大小不變、方向相反，不計碰撞的時間及磁場變化產(chǎn)生的影響.求：
(1)粒子第一次到達O點時的速率；
(2)圖中B2的大?。?br/>粒子進入a板上方后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
使其在整個裝置中做周期性的往返運動，運動軌跡如圖所示，由圖易知r1＝2r2，已知B1＝B0，則得B2＝2B0
(3)金屬板a和b間的距離d.
在0～t1時間內(nèi)，粒子做勻速圓周運動的周期
粒子在金屬板a和b間往返時間為t，
且滿足t＝t2＋n(t1＋t2)(n＝0,1,2，…)
例4　如圖(a)所示的xOy平面處于變化的勻強電場和勻強磁場中，電場強度E和磁感應(yīng)強度B隨時間t做周期性變化的圖像如圖(b)所示，y軸正方向為E的正方向，垂直于紙面向里為B的正方向，t＝0時刻，帶負電的粒子P(重力不計)由原點O以速度v0沿y軸正方向射出，它恰能沿一定軌道做周
0～t0時間內(nèi)粒子P在勻強磁場中做勻速圓周運動，
所以粒子P第一次離x軸的最遠距離等于軌道半徑R，
(2)t＝2t0時刻粒子P的位置坐標；
設(shè)粒子P在磁場中運動的周期為T，
聯(lián)立①④式解得T＝4t0　　　　 ⑤
(3)帶電粒子在運動中距離原點O的最遠距離L.
分析知，粒子P在2t0～3t0時間內(nèi)，電場力產(chǎn)生的加速度方向沿y軸正方向，由對稱關(guān)系知，在3t0時刻速度方向為x軸正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0時間內(nèi)粒子P沿逆時針方向做勻速圓周運動，往復(fù)運動軌跡如(2)中圖所示，由圖可知，帶電粒子在運動中距原點O的最遠距離L，即O、d間的距離，則L＝2R＋2x1，解得L＝　　 v0t0.
1.(多選)如圖所示，空間中存在水平方向的勻強電場和勻強磁場，電場方向水平向左，磁場方向垂直紙面向里.一帶電小球恰能以速度v0做直線運動，其軌跡如圖中虛線所示，虛線與水平方向成30°角，小球最終穿過一軸線沿小球運動方向且固定擺放的光滑絕緣管道(管道內(nèi)徑略大于小球直徑)，下列說法正確的是A.小球一定帶正電B.磁場和電場的大小關(guān)系為C.小球可能是從管道的乙端運動到甲端D.若小球剛進入管道時撤去磁場，小球?qū)⒃诠艿乐凶鰟蛩僦本€運動
小球做勻速直線運動，當小球帶正電時，所受電場力方向水平向左，重力豎直向下，小球從甲端運動到乙端時，洛倫茲力垂直于虛線斜向右上，三力恰好平衡，能保證小球沿
題圖中虛線運動.當小球帶負電時，電場力水平向右，重力豎直向下，小球從甲端運動到乙端時或者從乙端運動到甲端時，洛倫茲力垂直于虛線斜向左下或者右上，均不能使小球沿直線運動，故A正確；
根據(jù)A項分析，小球只能是從管道的甲端運動到乙端，故C錯誤；
未撤去磁場時，小球受三力作用處于平衡狀態(tài)，其中電場力和重力沿虛線方向的合力為零，當撤去磁場時，在管道中所受重力和電場力均沒有變化，故沿虛線方向(管道方向)合力仍為零.而管道的支持力垂直于管道，即小球所受合力仍為零，做勻速直線運動，故D正確.
2.如圖所示，一帶電液滴在相互垂直的勻強電場和勻強磁場中剛好做勻速圓周運動，其軌道半徑為R，已知該電場的電場強度大小為E、方向豎直向下；該磁場的磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面向里，不計空氣阻力，設(shè)重力加速度為g，則A.液滴帶正電
電場力方向豎直向上，液滴帶負電，選項A錯誤；由左手定則可判斷液滴沿順時針方向運動，選項C正確；
3.(2023·福建福清市模擬)如圖所示，在水平向左的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場中，有一足夠長的豎直固定的絕緣桿MN，小球P套在桿上.已知P的質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q，電場強度大小為E，磁感應(yīng)強度大小為B，P與桿間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩(wěn)定的過程中A.小球的加速度一直減小B.小球的機械能和電勢能的總和保持不變
小球靜止時只受電場力、重力、支持力及摩擦力，電場力水平向左，摩擦力豎直向上；
開始下滑后，小球速度將增大，受到水平向右的洛倫茲力，則桿對小球的支持力將減小，摩擦力減小，合力增大，加速度增大；當洛倫茲力等于電場力時，支持力為零，摩擦力為零，此后小球繼續(xù)加速，洛倫茲力將大于電場力，桿對小球的支持力變?yōu)樗较蜃螅S著速度增大，洛倫茲力增大，則桿對小球的支持力將增大，摩擦力隨之增大，小球的合力減小，加速度減小，所以小球的加速度先增大后減小.
在下降過程中，摩擦力對小球做負功，故有部分能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故機械能和電勢能的總和減小，故B錯誤；由以上分析知，小球的最大加速度出現(xiàn)在洛倫茲力等于電場力的狀態(tài)，且最大加速度為g.下滑加速度大小為最大加速度一半時有兩種情況：一種情況在洛倫茲力小于電場力時，另一種情況在洛倫茲力大于電場力時.
4.如圖，區(qū)域Ⅰ內(nèi)有與水平方向成45°角的勻強電場E1，區(qū)域?qū)挾葹閐1，區(qū)域Ⅱ內(nèi)有正交的有界勻強磁場B和勻強電場E2，區(qū)域?qū)挾葹閐2，磁場方向垂直紙面向里，電場方向豎直向下.一質(zhì)量為m、電荷量大小為q的微粒在區(qū)域Ⅰ左邊界的P點由靜止釋放后水平向右做直線運動，進入?yún)^(qū)域Ⅱ后做勻速圓周運動，從區(qū)域Ⅱ右邊界上的Q點穿出，其速度方向改變了30°，重力加速度為g，求：
(1)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ內(nèi)勻強電場的電場強度E1、E2的大小；
微粒在區(qū)域Ⅰ內(nèi)水平向右做直線運動，則在豎直方向上有qE1sin 45°＝mg
(2)區(qū)域Ⅱ內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小；
粒子進入磁場區(qū)域時滿足：
(3)微粒從P運動到Q的時間.
微粒從P到Q的時間包括在區(qū)域Ⅰ內(nèi)的運動時間t1和在區(qū)域Ⅱ內(nèi)的運動時間t2，
5.在如圖甲所示的正方形平面Oabc內(nèi)存在著垂直于該平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的變化規(guī)律如圖乙所示.一個質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子(不計重力)在t＝0時刻平行于Oc邊從O點射入磁場中.已知正方形邊長為L，磁感應(yīng)強度的大小為B0，規(guī)定垂直于紙面向外為磁場的正方向.
(1)求帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期T0.
(2)若帶電粒子不能從Oa邊界射出磁場，求磁感應(yīng)強度的變化周期T的最大值.
在磁場變化的半個周期內(nèi)，粒子在磁場中的運動軌跡對應(yīng)的圓心角為150°，
(3)要使帶電粒子從b點沿著ab方向射出磁場，求滿足這一條件的磁感應(yīng)強度變化的周期T及粒子射入磁場時的速度大小.
如圖乙所示為粒子從b點沿著ab方向射出磁場的一種情況.在磁場變化的半個周期內(nèi)，粒子在磁場中的運動軌跡對應(yīng)的圓心角為2β，其中β＝45°，
6.(2023·江西高三月考)如圖所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標系xOy中，第四象限內(nèi)有垂直坐標平面向里的勻強磁場和沿x軸正方向的勻強電場，磁感應(yīng)強度大小為B，電場強度大小為E.第一象限中有沿y軸正方向的勻強電場(電場強度大小未知)，且某未知矩形區(qū)域內(nèi)有垂直坐標平面向里的勻強磁場(磁感應(yīng)強度大小也為B).一個帶電小球從圖中y軸上的M點沿與x軸成θ＝45°角斜向上做勻
速直線運動，由x軸上的N點進入第一象限并立即在矩形磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動，離開矩形磁場區(qū)域后垂直打在y軸上的P點(圖中未標出)，已知O、N兩點間的距離為L，重力加速度大小為g，取sin 22.5°＝0.4，cs 22.5°＝0.9.求：
(1)小球所帶電荷量與質(zhì)量的比值和第一象限內(nèi)勻強電場的電場強度大??；
設(shè)小球質(zhì)量為m、電荷量為q、速度為v，小球在MN段受力如圖因為在MN段做勻速直線運動，所以小球受力平衡，由平衡條件得mgtan 45°＝qE，
要使小球進入第一象限后能立即在矩形磁場區(qū)城內(nèi)做勻速圓周運動，則小球受的重力必須與電場力平衡有mg＝qE1聯(lián)立解得E1＝E
(2)矩形勻強磁場區(qū)域面積S的最小值；
軌跡圖如圖所示，由圖可知矩形的最小面積
(3)小球從M點運動到P點所用的時間.
聯(lián)立解得小球從M到P的總時間
7.如圖甲所示，在坐標系xOy中，y軸左側(cè)有沿x軸正方向的勻強電場、電場強度大小為E；y軸右側(cè)有如圖乙所示周期性變化的磁場，磁感應(yīng)強度大小B0已知，磁場方向垂直紙面向里為正.t＝0時刻，從x軸上的P點無初速度釋放一帶正電的粒子，粒子(重力不計)的質(zhì)量為m、電荷量為q，粒子第一次在電場中運動的時間與第一次在磁場中運動的時間相等，且粒子第一次在磁場中做圓周運動的軌跡為半圓.求：(1)P點到O點的距離；
如圖所示，設(shè)粒子在磁場中做圓周運動的半徑分別為R1和R2，
8.如圖甲所示的坐標系中，在x軸上方的區(qū)域內(nèi)存在著如圖乙所示周期性變化的電場和磁場，交變電場的電場強度大小為E0，交變磁場的磁感應(yīng)強度大小為B0，取x軸正方向為電場的正方向，垂直紙面向外為磁場的正方向.在t＝0時刻，將一質(zhì)量為m、帶電荷量為q、重力不計的帶正電粒子，從y軸上A點由靜止釋放.粒子經(jīng)過電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)后垂直打在x軸上.求：
(1)粒子第一次在磁場中運動的半徑；
粒子第一次在電場中有qE0＝ma
(2)粒子打在x軸負半軸上到O點的最小距離；
由題意可知粒子經(jīng)2次加速和偏轉(zhuǎn)后打在x軸負半軸上到O點的距離最小，如圖甲所示
第二次加速的位移Δx2＝3Δx1
(3)起點A與坐標原點間的距離d應(yīng)滿足的條件；
分析帶電粒子運動軌跡，如圖乙所示可知A與坐標原點間的距離d應(yīng)滿足

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