2022-2023學(xué)年山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知，則下列比例式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  反比例函數(shù)經(jīng)過經(jīng)過下面哪一個點(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，在中，，，，則的值是(    )A.
B.
C.
D. 4.  二次函數(shù)得頂點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 5.  反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是(    )A.  B. 函數(shù)圖象分布在第二、四象限
C. 當時，隨的增大而增大 D. 當時，隨的增大而減小6.  如圖，若是的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  若兩個相似三角形的面積比是：，則它們對應(yīng)邊的中線之比為(    )A. ： B. ： C. ： D. ：8.  如圖所示，若∽，則需滿足(    )A.
B.
C.
D. 9.  下列關(guān)于拋物線的說法正確的是
開口方向向上；
對稱軸是直線；
當時，隨的增大而減小；
當或時，(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，中，，，點為上的動點，連，過點作于當點從點運動到點時，線段的中點運動的路徑長為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  已知銳角滿足，則銳角的度數(shù)是______度．12.  如圖，的內(nèi)接四邊形中，，則的度數(shù)為______．
 13.  將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度后，得到的拋物線的解析式為______．14.  如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條雙曲線于、兩點，若，則______．
 15.  如圖，是的切線，為切點，與交于點，以點為圓心、以的長為半徑作，分別交，于點，若，，則圖中陰影部分的面積為            ．
16.  如圖，已知拋物線與直線交于，兩點．點是個拋物線上，之間的一個動點，過點分別作兩條坐標軸的平行線，與直線交于點，，以，為邊構(gòu)造矩形，設(shè)點的坐標為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是______．
 三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  計算：．四、解答題（本大題共9小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．
求這個二次函數(shù)的解析式；
求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標．19.  本小題分
如圖，在中，，，是邊上和點，求證：．
20.  本小題分
如圖所示的拱橋，用表示橋拱．
若所在圓的圓心為，是弦的垂直平分線，請你利用尺規(guī)作圖，找出圓心不寫作法，但要保留作圖
痕跡
若拱橋的跨度弦的長為，拱高的中點到弦的距離為，求拱橋的半徑．

 21.  本小題分
無人機低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為的處測得試驗田右側(cè)邊界處俯角為，無人機垂直下降至處，又測得試驗田左側(cè)邊界處俯角為，求的長．
參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)
22.  本小題分
某商店經(jīng)銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種健身球每天的銷售量個與銷售單價元有如下關(guān)系：，設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為元
如果銷售單價定為元，那么健身球每天的銷售量是______個；
求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？23.  本小題分
如圖，為的直徑，切于點，于點，交于點，連接．
求證：平分；
若，，求的長．
24.  本小題分
已知、兩點是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點，點的坐標為．
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
求的面積．
觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
若是以為直角邊的直角三角形時，請直接寫出的值．
25.  本小題分
【問題呈現(xiàn)】
如圖，和都是等邊三角形，連接，易知 ______ ．
【類比探究】
如圖，和都是等腰直角三角形，連接，則 ______ ．
【拓展提升】
如圖，和都是直角三角形，，且，連接，．

求的值；
延長交于點，交于點求的值．26.  本小題分
若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，其對稱軸為直線，與軸的另一交點為．
求二次函數(shù)的表達式；
若點在直線上，且在第四象限，過點作軸于點．
若點在線段上，且，求點的坐標；
以為對角線作正方形點在右側(cè)，當點在拋物線上時，求點的坐標．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)等式性質(zhì)，可判斷出只有選項正確．
故選：．
根據(jù)等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為的數(shù)或字母等式仍成立即可解決．
本題考查的是等式的性質(zhì)：
等式性質(zhì)：等式的兩邊加或減同一個數(shù)或式子結(jié)果仍相等；
等式性質(zhì)：等式的兩邊同乘或除以同一個數(shù)除數(shù)不為結(jié)果仍相等．2.【答案】 【解析】解：當時，，
故A選項不符合題意；
當時，，
故B選項符合題意；
當時，，
故C選項不符合題意；
當時，，
故D選項不符合題意；
故選：．
將橫坐標分別代入函數(shù)解析式求出縱坐標，進一步比較即可．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：，，，
，
故選：．
根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，再代入求出答案即可．
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)解析式為：，
頂點坐標，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)解析式的頂點式，即可直接求得．
本題主要考查了利用二次函數(shù)頂點式求頂點坐標，頂點式，其頂點坐標是．5.【答案】 【解析】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
．
故A正確；
，
雙曲線分布在第二、四象限，
故B選項正確；
當時，反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，
即當或時，隨的增大而增大．
故C選項正確，選項錯誤，
綜上，說法錯誤的是，
故選：．
利用待定系數(shù)法求得的值，再利用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)對每個選項進行逐一判斷即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．利用待定系數(shù)法求得的值是解題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：
如圖，連接，
為直徑，
，
，
，
，
故選：．
連接，由圓周角定理可求得，，則可求得答案．
本題主要考查圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為直角、同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：兩個相似三角形的面積之比是對應(yīng)邊上的中線之比的平方，
兩個相似三角形的面積之比為：，
它們對應(yīng)邊上的中線之比為：．
故選：．
根據(jù)兩個相似三角形的面積之比是對應(yīng)邊上的中線之比的平方．
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握兩個相似三角形的面積之比是對應(yīng)邊上的中線之比的平方，開平方是解題關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：由，可得：：，由此得不出結(jié)論；
由，可得：：，
，
∽，故B選項正確；
由得不出結(jié)論；
由及可得結(jié)論，但題目中未提及．
故選：．
根據(jù)相似三角形的判定定理依次判斷即可．
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：拋物線，
，該拋物線開口向上，故正確；
其圖象的對稱軸是直線，故錯誤；
當，隨的增大而減小，故正確；
，
拋物線與軸的交點為，
拋物線開口向上，
當或時，，故錯誤；
故選：．
根據(jù)題目中拋物線和二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象與軸的交點可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．10.【答案】 【解析】解：設(shè)的中點為，連接，如圖所示：
為的中點，為的中點，
為的中位線，
，
，
，
點的路徑是以的中點為圓心，長為半徑的圓交于的，
，，
，，
，
為的周長，
線段的中點運動的路徑長為：，
故選：．
設(shè)的中點為，連接，易證為的中位線，由，得出，即，則點的路徑是以的中點為圓心，長的為半徑的，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，由圓周角定理得出，則為的周長，即可得出結(jié)果．
本題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、圓弧的計算等知識；通過三角形中位線，判斷出點的運動路徑是解題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．
【解答】解：由銳角滿足，則銳角的度數(shù)是度，
故答案為．12.【答案】 【解析】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度后，得到的拋物線的解析式為：．
故答案為：．
根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．
此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．14.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點，

由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可知，
，
，
，
，
．
故答案為：．
應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，表示、的面積，利用構(gòu)造方程即可．
本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，解答時注意觀察圖中三角形面積關(guān)系以構(gòu)造方程．15.【答案】 【解析】【分析】
連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)題意可得，然后利用陰影部分的面積的面積扇形的面積扇形的面積，進行計算即可解答．
本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及扇形面積的計算是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：連接，

是的切線，為切點，
，
，
由題意得：
，
陰影部分的面積的面積扇形的面積扇形的面積


，
故答案為：．16.【答案】 【解析】解：如圖，直線的解析式為：，點的坐標為，
點的坐標為，點的坐標為，
點的坐標為，
把點代入，可得，
、之間的關(guān)系式為，
故答案為：
根據(jù)點的坐標，可得出點的坐標，點的坐標，繼而確定點的坐標，將點的坐標代入拋物線解析式可求出，之間的關(guān)系式．
本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征的知識，解答本題需要同學(xué)們能理解矩形四個頂點的坐標之間的關(guān)系．17.【答案】解：原式

． 【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計算即可．
本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：由題意得，
解這個方程組得，
所以所求二次函數(shù)的解析式是；
，
所以頂點坐標是． 【解析】利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；
把中得到的解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定頂點坐標和對稱軸．
本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．19.【答案】證明：，，，
，，
，
又，
∽，
，
． 【解析】根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：作弦的垂直平分線，交于，交于點，交的垂直平分線于點，則點即為所求作的圓心．如圖分

連接如圖
由中的作圖可知：為直角三角形，是的中點，，
分
，
．
在中，由勾股定理得，，
分
解得：分
拱橋的半徑為． 【解析】作弦的垂直平分線，交于，交于點，交的垂直平分線于點，則點即為所求作的圓心；
首先連接，由可得：為直角三角形，是的中點，，即可求得的長，然后在中，由勾股定理得，，即可求得拱橋的半徑．
此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21.【答案】解：由題意得：
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
的長約為． 【解析】根據(jù)題意可得：，，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再利用線段的和差關(guān)系求出的長，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：
根據(jù)題意得：，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
，
，
當時，取最大值，最大值為，
答：該種健身球銷售單價定為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元． 【解析】解：在中，令，得：
，
故答案為：；
見答案；
見答案．
在中，令可得的值，即可得到答案；
根據(jù)總利潤每個健身球利潤銷售量即可列出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
結(jié)合的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關(guān)系式．23.【答案】解：如圖，

切于點，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
連接，過點作于點，
平分，
，
是的直徑，
，
四邊形是矩形，
，
，，
，
則．
，
，
． 【解析】由切于點知，結(jié)合于點知，從而得，即可得證；
作，由中角平分線知，連接，證四邊形是矩形可得，根據(jù)勾股定理求得，進而求出，即可得出答案．
本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識點是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：把代入，
得，
則反比例函數(shù)解析式為；
把代入，
得，解得，則點坐標為，
把、代入得，
，
解得，
則一次函數(shù)解析式為．
直線與軸的交點為，在中，令，則，
即直線與軸交于點，
．
．
由圖可得，不等式解集范圍是或．
，，，
，
，
，
當是斜邊時，，
：，
解得：，
當是斜邊時，，
，
解得：，
的值為：，． 【解析】先把點坐標代入，求出可得到反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式確定點坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
 根據(jù)軸上點的坐標特征確定點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，由進行計算即可；
 觀察函數(shù)圖象找出直線在雙曲線的上方時所對應(yīng)的自變量取值范圍，即可寫出不等式的解集；
分情況討論，利用勾股定理即可得答案．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．25.【答案】  【解析】【問題呈現(xiàn)】證明：和都是等邊三角形，
，，，
，
，
≌，
，
．
故答案為：；

【類比探究】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
．
故答案為：；

【拓展提升】解：，，
∽，
，，
，
∽，
；

由得：∽，
，
，
，
．
【問題呈現(xiàn)】證明≌，從而得出結(jié)論；
【類比探究】證明∽，進而得出結(jié)果；
【拓展提升】先證明∽，再證得∽，進而得出結(jié)果；
在的基礎(chǔ)上得出，進而，進一步得出結(jié)果．
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．26.【答案】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
對稱軸為直線，經(jīng)過，
，
解得，
拋物線的解析式為；

如圖中，

設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得，
直線的解析式為，
，關(guān)于直線對稱，
，
設(shè)，
軸，
，
，
，
，
，
點；

如圖中，連接，交于點設(shè)，則點，

四邊形是正方形，
，，，
軸，
，
，
，
，
點在拋物線上，
，
解得，，
點在第四象限，
舍去，
，
點坐標為． 【解析】利用待定系數(shù)法求出，，即可；
求出直線的解析式為，因為，關(guān)于直線對稱，推出，設(shè)，則，，根據(jù)，構(gòu)建方程求解；
如圖中，連接，交于點設(shè)，則點，利用正方形的性質(zhì)求出點的坐標，代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程求解．
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．

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