九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則，即，所以.故選:C2. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，或，因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：A3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值為（    ）A.  B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，作出可行域，結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，即可得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域的區(qū)域，因?yàn)?/span>，可轉(zhuǎn)化為，平移直線，結(jié)合圖像可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且，解得，即點(diǎn)，所以.故選:D4. 已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】因?yàn)槊}：，，所以：，，又因?yàn)?/span>為假命題，所以為真命題，即，恒成立，所以，即，解得，故選：D．5. 已知，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，將原式兩邊平方結(jié)合二倍角公式即可求得，再求出.【詳解】∵，且，∴，，∴，∴.故選:B．6. 執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，不斷循環(huán)直到滿足為止.【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，， ，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7. 已知變量的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由上表可得線性回歸方程，則（    ）x12345z2451014 A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸方程上可得，再利用對數(shù)運(yùn)算法則即可得，所以.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知，．即樣本中心點(diǎn)，由，得，即，所以，即，可得，故選：B．8. 如圖，正方體的棱長為2，M是面內(nèi)一動點(diǎn)，且，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】先由確定M在線段上，再將沿著展開，使得D，B，C，四點(diǎn)共面，由平面內(nèi)二點(diǎn)間的直線距離最短求解即可．【詳解】如圖，連接BD，，，易知平面，∵，∴平面，即M在線段上，將沿著展開，使得D，B，C，四點(diǎn)共面，如圖，又因?yàn)檎襟w的棱長為2，故此時(shí)，，，由平面內(nèi)二點(diǎn)間的直線距離最短得， 故選：C．9. 青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，瓷碗的軸截面可以近似看成是拋物線，碗里不慎掉落一根質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同長度為的筷子，筷子的兩端緊貼瓷碗內(nèi)壁．若筷子的中點(diǎn)離桌面的最小距離為，則該拋物線的通徑長為（    ）A. 16 B. 18 C. 20 D. 22【答案】C【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系設(shè)，且拋物線為，利用三角形三邊關(guān)系得，結(jié)合已知有求參數(shù)p，進(jìn)而確定通徑長.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線為，焦點(diǎn)，，，∵，，∴，設(shè)線段AB中點(diǎn)為M，則，由題意知，的最小值為6，即，得，∴該拋物線的通徑長為.故選：C10. 在中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，．當(dāng)B取最小值時(shí)，的面積為（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)、正切和角公式可得，即A，C為銳角，利用基本不等式得B最小時(shí)最小值，即知為等腰三角形，應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.【詳解】由正弦定理得，即，∴，即．∵，∴，故A，C為銳角．又，僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以三角形內(nèi)角B最小時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以為等腰三角形，，，∴.故選：C11. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，M雙曲線C左支上一點(diǎn)，且，點(diǎn)F1關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合離心率的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為P，連接，則為正三角形，∴又，∴，，由雙曲線的定義知，解得，故選:A．12. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性可得.【詳解】解：將用變量x替代，則，，，其中，令，則，令，則，易知在上單調(diào)遞減，且，，∴，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．又，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，記，，則，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以綜上，.故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題90分）本卷包括必考題和選考題兩部分．第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_________.【答案】60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式寫出通項(xiàng)的公式并整理，令的指數(shù)為0，求得的值，代回計(jì)算即可.【詳解】的展開式中，通項(xiàng)公式為，令，求得.可得展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：60.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是熟練掌握通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的化簡運(yùn)算.14. 已知非零向量，滿足，且，則，的夾角為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，利用數(shù)量積夾角公式可得答案.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，∵，且，∴，∴，又，∴.故答案為：15. 函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為______．【答案】6【解析】【分析】令，兩個(gè)解即為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，作圖即可求出零點(diǎn)，且和的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，零點(diǎn)也關(guān)于，即可求出所有零點(diǎn)之和.【詳解】解：令，得，解得或，即為零點(diǎn)，令，，可知的周期，對稱軸，且的對稱軸，做出和的圖象如圖所示：顯然，在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，在處的切線為x軸，在上存在零點(diǎn)，同理在上存在零點(diǎn)，所以在上存在6個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>和的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則零點(diǎn)關(guān)于對稱，所以的所有零點(diǎn)之和為.故答案為：6.16. 根據(jù)祖暅原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為______．（注：）【答案】【解析】【分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺的體積，因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為，相應(yīng)圓臺的體積為，所以，解得，故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列，記．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求前n項(xiàng)和的最值．【答案】（1）    （2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義由可得，再根據(jù)成等比數(shù)列即可解得，可得的通項(xiàng)公式；（2）易得，分別討論n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)前n項(xiàng)和的表達(dá)式，再利用其函數(shù)特性即可求得最大值為，最小值為.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴∵，，成等比數(shù)列，∴，即，化簡得由解得或（舍去）∴即的通項(xiàng)公式【小問2詳解】由（1）可知設(shè)的前n項(xiàng)和為，即當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴∴前n項(xiàng)和的最大值為，最小值為18. 如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱BC上是否存在異于點(diǎn)B的一點(diǎn)E，使得DE與平面所成的角為？若存在，求出的值若存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析    （2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別證明，，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，連接，以A為原點(diǎn)，AB，AC，所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合線面角的求法即可得到結(jié)果.【小問1詳解】∵平面，平面，∴，∵，∴由已知得，，∴，同理可得∴，即又，平面，∴平面【小問2詳解】連接，∵，，，∴，∵平面，∴，以A為原點(diǎn)，AB，AC，所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，∴由（1）知平面的一個(gè)法向量為∴化簡得，解得或（舍去）故在棱BC上存在異于點(diǎn)B的一點(diǎn)E，使得DE與平面所成的角為，且19. 現(xiàn)有編號為2至5號的黑色、紅色卡片各一張．從這8張卡片中隨機(jī)抽取三張，若抽取的三張卡片的編號和等于10且顏色均相同，得2分；若抽取的三張卡片的編號和等于10但顏色不全相同，得1分；若抽取的三張卡片的編號和不等于10，得0分．（1）求隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率；（2）現(xiàn)有甲、乙兩人從中各抽取三張卡片，且甲抽到了紅色3號卡片和紅色5號卡片，乙抽到了黑色2號卡片，求兩人的得分和X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）    （2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先研究三張卡片編號和等于10的情況，然后根據(jù)對立事件之間的概率關(guān)系得出所求概率；（2）得分和X的可能值為0，1，2，3，4．①若，則甲乙各得2分；②若，則甲得2分乙得1分；③若，則甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分；④若，則乙得1分甲得0分；⑤若，則甲和乙均得0分．根據(jù)以上分析求出對應(yīng)概率，進(jìn)而得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】三張卡片編號和等于10有3種可能，分別為：，，其中，三張卡片編號均不同的情況共有：種有兩張卡片編號相同的情況共有：種設(shè)“隨機(jī)抽取三張卡片得分為0分”為事件A，∴，即隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率為.【小問2詳解】得分和X的可能值為0，1，2，3，4①若，則甲乙各得2分．即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），有1種情況．∴②若，則甲得2分乙得1分．即甲2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+4（紅）+4（黑）有1種情況．∴③若，則甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分．若甲得2分乙得0分，則甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），對應(yīng)乙有4種情況：2（黑）+3（黑）+4（黑），2（黑）+3（黑）+4（紅），2（黑）+4（黑）+5（黑），2（黑）+4（紅）+5（黑）；若乙得2分甲得0分，則乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），對應(yīng)甲有2種情況：3（紅）+4（紅）+5（紅），3（紅）+4（黑）+5（紅）．∴④若，則乙得1分甲得0分．即乙為2（黑）+4（紅）+4（黑），對應(yīng)甲有2種情況：3（紅）+3（黑）+5（紅），3（紅）+5（黑）+5（紅）．∴⑤若，則甲和乙均得0分．∴∴得分和X的分布列為：X01234P∴.20. 如圖，已知橢圓離心率為，直線l與圓相切于第一象限，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于M，N兩點(diǎn)，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)的面積取最大值時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和離心率的定義求出a、b，即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得.將直線方程聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示、，結(jié)合弦長公式化簡計(jì)算可得，由基本不等式計(jì)算可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，求出m即可求解.【小問1詳解】依題意得，∴，又，∴，，∵，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】依題意可設(shè)直線l的方程為，，，∵直線l與圓C相切，∴，即，聯(lián)立方程組消去y整理得，∴，，∴∵，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，此時(shí)，∴直線l的方程為，即21. 已知函數(shù)，．（1）若直線與曲線相切，求a的值；（2）用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)已知切線方程求列方程求切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入求參即可；(2)先分段討論最小值，再分情況根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域判斷每種情況下零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【小問1詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，，，∴在上無零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，．若，，此時(shí)，是的一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)，不是的零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．令，得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，即在上無零點(diǎn)（ii）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，即時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)（iv）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有三個(gè)零點(diǎn)請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B，與直線l相交于點(diǎn)C，求的最大值．【答案】（1）直線l的極坐標(biāo)方程：，曲線C的普通方程：    （2）【解析】【分析】（1）利用公式、以及消參的方法求解.（2）利用方程聯(lián)立、兩點(diǎn)間的距離公式、換元法以及函數(shù)進(jìn)行計(jì)算求解.【小問1詳解】因?yàn)橹本€l的方程為，，所以直線l的極坐標(biāo)方程：，曲線C的參數(shù)方程為，所以，消去參數(shù)有：，所以曲線C的普通方程：.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與曲線C相交于點(diǎn)A，B，由(1)有：曲線C，由，得，解得，，所以，，解得，所以，又直線與與直線l相交于點(diǎn)C，由得，，，，所以，所以，令 由有：，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以,所以，所以的最大值為選修4—5：不等式選講23. 已知函數(shù)．（1）若的最小值為1，求a的值；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)結(jié)合取等條件即可得解；（2）把恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，分情況討論去絕對值符號，從而可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，解得或，故a的值為或；小問2詳解】令，由題意知恒成立，當(dāng)且時(shí), ,要使得恒成立,則可得當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>恒成立, 則,由圖像可知所以,所以綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．  
 

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