2022-2023學(xué)年貴州省黔東南州高二下學(xué)期末文化水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，然后根據(jù)交集的定義求解.【詳解】，根據(jù)交集的定義，.故選：A.2．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦值和角的范圍求出特殊角，再求角的正切.【詳解】已知，，則，所以.故選：C3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則（    ）A．16 B．18 C．20 D．25【答案】B【分析】利用進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意，.故選：B4．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由于，故,故選：C5．根據(jù)如圖所示的散點(diǎn)圖得出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（   ）  A．2.8 B．3.2 C．3.6 D．4【答案】B【分析】計(jì)算的值，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上，代入計(jì)算，可得答案.【詳解】由散點(diǎn)圖可得，故，故選：B6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則函數(shù)的極大值為（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與極大值點(diǎn)，再表示出，由求出解析式，最后代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，又（為常數(shù)）且，所以，解得，所以，則，即函數(shù)的極大值為.故選：C7．杭州亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目，共設(shè)杭州賽區(qū)、寧波賽區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū)，現(xiàn)需從6名管理者中選取4人分別到溫州，金華、紹興、湖州四個(gè)賽區(qū)負(fù)責(zé)志愿者工作，要求四個(gè)賽區(qū)各有一名管理者，且6人中甲不去溫州賽區(qū)，乙不去金華賽區(qū)，則不同的選擇方案共有（    ）A．108種 B．216種 C．240種 D．252種【答案】D【分析】根據(jù)題意，分為：甲乙都未選中、甲選中且乙未選中、甲未選中且乙選中和甲乙都選中，四類(lèi)情況討論，結(jié)合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為四類(lèi)：①當(dāng)甲乙都未選中，則不同的選擇方案有種；②當(dāng)甲選中，乙未選中，則不同的選擇方案有種；③當(dāng)甲未選中，乙選中，則不同的選擇方案有種；④當(dāng)甲乙都選中，則由中選法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金華賽區(qū)，則有；若甲未去金華賽區(qū)，則有，則不同的安排方案有種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的安排方案.故選：D.8．已知分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，利用雙曲線(xiàn)的定義以及、，利用余弦定理及中線(xiàn)的向量關(guān)系可求得的值.【詳解】  在雙曲線(xiàn)中，，，則，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，則．因?yàn)?/span>， 所，．在中，，①在中，是中點(diǎn),則，兩邊平方可得，所以②所以,,．故選：A. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的有（    ）A．相關(guān)系數(shù)越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)B．在一元線(xiàn)性回歸模型中，若，則兩個(gè)變量正相關(guān)C．決定系數(shù)越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好D．若隨機(jī)變量，且，則【答案】BC【分析】由相關(guān)系數(shù)的含義判斷A；根據(jù)回歸分析的基本思想判斷B；根據(jù)決定系數(shù)的含義判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求值計(jì)算，判斷D.【詳解】對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，說(shuō)明散點(diǎn)圖中的點(diǎn)沿向右上方的方向分布，并集中在某條直線(xiàn)附近，故在一元線(xiàn)性回歸模型中，若，則兩個(gè)變量正相關(guān)，B正確；對(duì)于C，根據(jù)回歸分析的基本思想可知決定系數(shù)越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，C正確；對(duì)于D，隨機(jī)變量，且，則，則，D錯(cuò)誤，故選：BC10．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若，則可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】將題干條件全部轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】由題意，，，故，即，故，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，約去得到，故，解得或或.故選：ABD11．若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，是的中點(diǎn)，則（    ）  A．B．C．三棱錐的體積為D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【答案】BC【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算可先判斷B選項(xiàng)是正確的，然后利用向量數(shù)量積計(jì)算，看其是否為，從而得出A的判斷，對(duì)于C選項(xiàng)利用等體積法處理，對(duì)于D選項(xiàng)，只需求出到平面的距離即可.【詳解】結(jié)合幾何體可得：，故B選項(xiàng)正確；，結(jié)合長(zhǎng)方體中的位置關(guān)系可知，，，，于是，即不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)長(zhǎng)方體中的線(xiàn)面關(guān)系，平面，于是，C選項(xiàng)正確；，，，注意到，故為直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，由，解得，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12．已知直線(xiàn)分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論，則其中正確的結(jié)論是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與垂直，可判定A正確，利用基本不等式可判定B正確，構(gòu)造函數(shù)，得到，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯(cuò)誤；構(gòu)造，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確；【詳解】對(duì)于A中，由直線(xiàn)與垂直，又由函數(shù)和的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且與的交點(diǎn)分別為，，所以，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又由得交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)?/span>，所以，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)，則，所以，由于，因?yàn)楹瘮?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以不成立，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D中，直線(xiàn)與聯(lián)立，可得，即，設(shè)函數(shù)，易知是增函數(shù)，又由，，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，所以D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 三、填空題13．已知，若，則             .【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由可得，故答案為：14．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)為          ．【答案】【分析】先求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求第四項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，所以第4項(xiàng)為：，所以第4項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．斜率為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與圓相切，則          .【答案】【分析】由拋物線(xiàn)方程得焦點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線(xiàn)方程，利用圓心到直線(xiàn)距離等于半徑求的值.【詳解】圓，圓心，半徑，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，由直線(xiàn)與圓相切，有圓心到直線(xiàn)距離等于半徑，即，解得.故答案為：.16．在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的最大值為            .【答案】【分析】依題意可得，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將角化邊即可求出，結(jié)合正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】因?yàn)?/span>，，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（負(fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，，所以，其中，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為： 四、解答題17．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：①，②成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件列方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，可求通項(xiàng)公式；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，依題意有，解得，所以.（2），.18．在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點(diǎn).  (1)證明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，即可證明，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，為的中點(diǎn)，所以且  所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然二面角為銳二面角，設(shè)其平面角為，則，所以二面角的余弦值為.19．黔東南州某高中舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：  (1)求出的值并計(jì)算這1000名學(xué)生的平均得分；(2)若成績(jī)不低于80分的為“優(yōu)良”，①請(qǐng)補(bǔ)充完善下面列聯(lián)表，②依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為這次黨史知識(shí)競(jìng)賽男女生的優(yōu)良率存在差異？性別黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)合計(jì)非“優(yōu)良”“優(yōu)良”男  500女280  合計(jì)   參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；能 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1，列式計(jì)算，求得x的值；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可求得平均數(shù)；（2）由頻率分布直方圖可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，與臨界值表比較，即得結(jié)論.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，則；這1000名學(xué)生的平均得分為.（2）由題意可得列聯(lián)表：性別黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)合計(jì)非“優(yōu)良”“優(yōu)良”男320180500女280220500合計(jì)600400100則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為這次黨史知識(shí)競(jìng)賽男女生的優(yōu)良率存在差異.20．猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示.歌曲猜對(duì)的概率0.60.50.3獲得的公益基金額/元100020003000(1)該嘉賓從三首歌曲中隨機(jī)選擇一首，求該嘉賓猜對(duì)歌名的概率.(2)若猜歌名的規(guī)則如下：按照的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額的分布列及均值.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）根據(jù)全概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）分別用、、表示猜對(duì)歌曲、、歌名的事件，則、、相互獨(dú)立，用表示事件“該嘉賓從、、隨機(jī)選擇一首歌曲，且猜對(duì)歌名”，用表示事件“該嘉賓選擇歌曲”， 用表示事件“該嘉賓選擇歌曲”，用表示事件“該嘉賓選擇歌曲”，則，，，，所以.（2）依題意的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列如下：所以.21．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)分別與軸、軸垂直時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)分別為2、4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意可得、，即可求出、，從而得解；（2）依題意直線(xiàn)的斜率存在且不為，設(shè)，，，則，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，再表示出直線(xiàn)的方程，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出面積的最大值.【詳解】（1）依題意，即，在中，令得，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）依題意直線(xiàn)的斜率存在且不為，設(shè)，，，則，由，消去整理得，顯然，所以，，所以，所以，所以直線(xiàn)的方程為，令得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，此時(shí).  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求證：函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，并判斷其范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)的表達(dá)式，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；故當(dāng)時(shí)，，則，令，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增，且，即存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極大值點(diǎn)，即為；由，即，故，由于，故，且，即.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值問(wèn)題，解答的難點(diǎn)在于第二問(wèn)證明不等式，解答時(shí)要注意零點(diǎn)問(wèn)題的解決，并判斷零點(diǎn). 

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