一、單選題
1．數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列的通項公式
【詳解】奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，可用來實現(xiàn)，
而各項分母可看作
各項分子均為1，
∴該數(shù)列的通項公式為．
故選：A
2．函數(shù)y＝x2cs 2x的導數(shù)為（ ）
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
【答案】B
【分析】利用復合函數(shù)的導數(shù)運算法則計算即可．
【詳解】y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
故選：B
3．已知等比數(shù)列的前三項和為84，，則的公比為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)已知結合等比數(shù)列的通項與前項和列式聯(lián)立得出答案.
【詳解】由可設的公比為，
等比數(shù)列的前三項和為84，，
，解得，
故選：B.
4．若,則的解集為（ ）
A．(0,)B．(-1,0)(2,)
C．(2,)D．(-1,0)
【答案】C
【詳解】
5．已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則數(shù)列的各項之和為（ ）
A．1666B．1654C．1472D．1460
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求出兩個數(shù)列相同的項組成的數(shù)列，求出項數(shù)，然后求出它們的和即可.
【詳解】有兩個等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列：
2，14，26，38，50，…，182，194，共有項，是公差為12的等差數(shù)列，
故新數(shù)列前17項的和為，
即數(shù)列的各項之和為1666.
故選：A.
6．已知曲線在點處的切線方程為，則
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．
【詳解】詳解：
，
將代入得，故選D．
【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關系．
7．等比數(shù)列的前項和是,且,若,則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列，列方程求解
【詳解】設,則,所以
由等比數(shù)列性質(zhì)知成等比數(shù)列
所以,得,所以
所以
故選：D
8．等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
9．德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，利用倒序相加法求解.
【詳解】解：因為，
且，
令,
又
，
兩式相加得：，
解得，
故選：B
10．若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線方程，再根據(jù)切線過點，結合韋達定理可得的關系，進而可得的關系，再利用導數(shù)即可得出答案.
【詳解】設切點，
則切線方程為，
又切線過，則，
有兩個不相等實根，
其中或，
令或，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
，，
當時，，當時，，
所以，
即.
故選：D.
二、多選題
11．記正項等比數(shù)列的前n項和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項公式和逐項分析判斷.
【詳解】由題意可得：等比數(shù)列的首項，公比，即，
對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；
對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；
∵，則有：
對C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯誤；
對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯誤；
故選：AB.
12．若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.
【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯誤；
對于B, ,對，若,則，
則,即，故B正確；
對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯誤；
對于D, ,對，若,則，
則，故，即，故D正確；
故選：BD
13．已知函數(shù)的導函數(shù)，且，，則（ ）
A．是函數(shù)的一個極大值點
B．
C．函數(shù)在處切線的斜率小于零
D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)導數(shù)符號與單調(diào)性的關系，以及極值的定義逐項分析判斷.
【詳解】令，解得，則在上單調(diào)遞增，
令，解得或，則在上單調(diào)遞減，
故是函數(shù)的一個極大值點，，A、B正確；
∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯誤；
又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負，D錯誤；
故選：AB.
14．已知等差數(shù)列，前項和為，則下列結論正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為D．
【答案】ACD
【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項公式和求和公式對選項逐一分析即可.
【詳解】對于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，
數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
故A正確，
對于B, 數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
的最大值為，
故B錯，
對于C,
由得
的最小值為,即，
故C正確，
對于D,
故D正確.
故選：ACD
15．已知，下列說法正確的是（ ）
A．存在b，d使得是奇函數(shù)
B．時，過原點且與相切的直線只有1條
C．若為的兩個極值點，則
D．若在R上單調(diào)，則
【答案】ABD
【分析】對于A，當時,為奇函數(shù)，從而即可判斷；
對于B，求過原點的切線方程，即可判斷；
對于C，求導，由題意和韋達定理可得，，再由重要不等式得，即可判斷；
對于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.
【詳解】對于A，當時,，定義域為，并且滿足此時函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對于B，當時,，設切點為，，
則，解得：（舍）
當切點為原點時，，所以在原點的切線方程為，只有一條，故B正確；
對于C，因為，
又因為為的兩個極值點，
所以，，所以C錯誤；
對于D，若單調(diào)，則有恒成立，
所以，
解得，選項D正確.
故選：ABD.
16．提丟斯·波得定律是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列的通項公式為
B．數(shù)列的第2021項為
C．數(shù)列的前項和
D．數(shù)列的前項和
【答案】CD
【分析】由題意可得數(shù)列由此可得數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，判斷選項A，由于，所以可求出數(shù)列的通項公式，從而可判斷B，對于C，利用分組求和可求出數(shù)列的前項和，對于D，利用錯位相減法可求出數(shù)列的前項和
【詳解】數(shù)列各項乘以10再減4得到數(shù)列
故該數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，所以故A錯誤；
從而所以故B錯誤
當時；
當時
0.3.
當時也符合上式，所以故C正確
因為所以當時
當2時，
所以
所以
又當時也滿足上式，所以，故D正確.
故選：CD.
三、填空題
17．已知函數(shù)，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，兩邊求導再賦值計算得解.
【詳解】函數(shù)，求導得：函數(shù)，
當時：，解得，
所以.
故答案為：
18．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，則公差d＝ ．
【答案】2
【分析】由數(shù)列的前n項和定義、等差數(shù)列的等和性、等差數(shù)列的通項公式及等差前n項和公式計算可得.
【詳解】{an}為等差數(shù)列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，
由等差數(shù)列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，
所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，
所以，解得：n＝10，
所以，解得d＝2．
故答案為：2.
19．已知數(shù)列滿足，，則的通項公式是 .
【答案】
【分析】根據(jù)所給遞推關系可得，，與原式作差即可求解.
【詳解】因為①
所以，
當時，②，
①-②可得，，
所以，
所以數(shù)列的通項公式是.
故答案為： .
20．若，，則 ；
【答案】
【分析】設，求出，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.
【詳解】解：設，
所以，
，，
所以，
所以數(shù)列是一個以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
故答案為：.
四、解答題
21．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足.
(1)求的值及數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）當時，，兩式相減得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由絕對值的定義結合等差數(shù)列的前項和公式即可求出數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）因為，所以時，，所以.
又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，
綜上.
（2）由（1）知，
當時，，
當時，
所以.
22．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間以及其在上的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)，間是，
函數(shù)在區(qū)間的最大值是，最小值是.
【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求切線方程；
（2）首先利用極值點求，再根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性，端點值，極值求函數(shù)的最值.
【詳解】（1）當時，，，
，，
所以曲線在點處的切線方程為，
即；
（2），
由題意可知，，得，
當時，，
函數(shù)與的變化情況如下表，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，
由表格可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，，，，
所以函數(shù)在區(qū)間的最大值是，最小值是.
23．已知首項不為0的等差數(shù)列，公差（為給定常數(shù)），為數(shù)列前項和，且為所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.
(1)求；
(2)設為數(shù)列的前項和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關于的方程，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，得到數(shù)列的通項公式，再由裂項相消法即可得到其前項和.
【詳解】（1）由題意得，，得①
由，得②
由①②，可得且，則，
由，當在范圍內(nèi)取值時的所有取值為：
所以.
（2）
所以
由于是遞減的，所以
24．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先判斷在上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性解不等式得解；
（2）等價于對恒成立，令，利用二次求導對分類討論求函數(shù)的最大值得解.
【詳解】（1）解：，由復合函數(shù)的單調(diào)性原理得在上單調(diào)遞增，由得，即.
（2）解：對恒成立
令，，
，在上單調(diào)遞減，
，
若，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，符合題意.
若，即時，
（i）若，則，在上單調(diào)遞增，這與題設矛盾，舍去.
（ii）若，則存在使，且當時，單調(diào)遞增，此時這與題設也矛盾，舍去.
綜上：實數(shù)的取值范圍為.
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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