2023-2024學(xué)年河南省信陽高級中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，根據(jù)補集和交集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由得或，則或，則，又，所以.故選：A2．若，（為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)），則（    ）A．2 B． C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得到，然后求模長即可.【詳解】，所以.故選：C.3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，則事件A與B的關(guān)系是（    ）A． B． C．相互獨立 D．互斥【答案】C【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個選項即可.【詳解】依題意，記拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上為，反面向上為，則拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：，事件A包含的結(jié)果有：，事件B包含的結(jié)果有：，而事件A，事件B中有不同的結(jié)果，則事件A與事件B不互相包含，也不相等，故AB錯誤；顯然事件A，事件B都含有“”這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時發(fā)生，因此，事件A與事件B不互斥，故D錯誤；因為，則，所以A與B相互獨立，故C正確.故選：C.4．已知向量，則向量在向量上的投影向量（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】投影向量結(jié)合數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化即可.【詳解】由題意可得 ， 所以.故選：A5．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】從甲校和乙校報名的教師中各任選名，列出基本事件的總數(shù)，利用古典概型求解即可.【詳解】設(shè)甲校2男1女的編號分別為1，2，A，乙校1男2女編號分別為B，3，4，若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，共計9個，選出的2名教師性別相同的結(jié)果有，，，共計4個，故選出的2名教師性別相同的概率為．故選：B.6．車厘子是一種富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛根據(jù)車厘子的果徑大小，可將其從小到大依次分為個等級，其等級（）與其對應(yīng)等級的市場銷售單價單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式若花同樣的錢買到的級果比級果多倍，且級果的市場銷售單價為元千克，則級果的市場銷售單價最接近（   ）參考數(shù)據(jù)：，，，A．元千克 B．元千克C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】利用指數(shù)運算，化簡求的值.【詳解】由題意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故選：C7．如圖，在正四面體中，點E，F分別是棱上的點（不含端點），，記二面角的大小為，在點F從點A運動到點C的過程中，下列結(jié)論正確的是（    ）A．一直增大 B．一直減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【分析】根據(jù)正四面體的幾何特征,作出二面角的平面角,再根據(jù)平面角的正切值的表達式得出θ的取值情況.【詳解】過P作PO⊥面ABC于O,則OP⊥EF.過O作OM⊥EF于點M.因為，所以面OPM.連接PM,則∠PMO為二面角P-EF-B的平面角,即.當點F從點A運動到點C的過程中，,OM先變大后變小.所以.因為PO不變,∴先變小后變大.故選：D8．在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為，則角A的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用兩種方法表示出，從而得到，再根據(jù)余弦定理，得到，消去后利用輔助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出角A的取值范圍.【詳解】∵BC邊上的高為，∴由面積公式得：，∴，故由余弦定理得：∴由輔助角公式得：∴其中，當且僅當時，等號成立∴，解得：∵∴故選：C 二、多選題9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，且.下列命題中正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的特征、幾何意義以及復(fù)數(shù)運算判斷各選項即可.【詳解】對于選項A：若，則，因為，則，所以，故A正確；對于選項B：若，則，因為與不一定相等，所以不一定相等，故B錯誤；設(shè)，對于選項C：所以，由，則，整理得，又因為不一定等于0，故C錯誤；對于選項D：因為，則，由選項C可知：因為，，所以，故D正確；故選：AD.10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若向量同向，則B．若向量反向，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】向量同向和反向都是說的共線，就利用向量共線的定理分別求解即可；然后利用向量數(shù)量積的計算求解其角度即可.【詳解】由題意可得.當同向時，，則A正確；當反向時，（），則B正確；由，得，所以，即，解得，則D正確；因為，所以，所以，則C錯誤.故選：ABD11．數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，每一個音都是由純音合成，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).像我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個純音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生的頻率為的基音的同時，其各部分，如二分之一、三分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如，等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，我們一般不易單獨聽出來.如我們聽到的某個聲音函數(shù)，對此以下說法正確的是（    ）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷A，證明，判斷B，證明判斷C，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對于A：，A選項錯誤對于B：.∴函數(shù)關(guān)于點對稱，∴B選項正確，對于C：∴函數(shù)不關(guān)于直線對稱，∴C選項錯誤對于D：，，，在均單調(diào)遞增，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增所以D選項正確故選：BD.12．如圖1，在菱形中，是的中點，將沿直線翻折至的位置，得到如圖2所示的四棱錐.若是的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（    ）A．點到平面的距離恒為B．當時，過點的截面周長為4C．異面直線與所成的角不斷變小D．當時，直線與平面所成的角的正切值為【答案】ABD【分析】對A：求得點到平面的距離，再求點到平面的距離即可；對B：作出截面圖，求得各邊的長度即可；對C：討論的變化，即可判斷正誤；對D：根據(jù)的長度，求得到面的距離，再求線面角即可.【詳解】對A：根據(jù)題意可得：，又面，故面，則點到面的距離為，易得；又//，面面，故//面，則到平面的距離也為；又為的中點，故點到平面的距離恒為，A正確；對B：因為面，故此時面；取的中點為，連接，如下所示：因為分別為△中兩邊的中點，故//，則四邊形即為所求截面；又因為，故四邊形為平行四邊形；又面，故面，即△為直角三角形，則，故其周長為，故B正確；對C：因為//，故所成的異面直線夾角，即為所成直線的夾角，即當為鈍角時，其補角即為所求；當為直角時，所成的異面直線夾角為；當為銳角時，所求異面直線夾角即為；顯然在折疊過程中，所求異面直線的夾角先增大，后減小，故C錯誤；對D：過點作的垂線，交的延長線于點，連接如下所示：由A所證可得面，又面，故面面，又面面，面，故面，故即為所求直線與面的夾角；在△中，，由余弦定理，又，故可得；在△中，，則，；在直角梯形中，容易得，，故由余弦定理，即，解得，故，即直線與平面所成的角的正切值為，D正確.故選：ABD. 三、填空題13．河北省九大高峰按照海拔（單位：米）排名依次為小五臺山（2882）?駝梁山（2281）?霧靈山（2118）?長城嶺（2100）?白石山（2096）?野三坡（1983）?祖山（1428）?天桂山（1270）?狼牙山（1105），則這九大高峰的海拔數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為      .【答案】2118【分析】將數(shù)據(jù)從小打到排列，利用百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：將這九大高峰的海拔數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，依次為1105，1270，1428，1983，2096，2100，2118，2281，2882，因為，所以第70百分位數(shù)為第7項數(shù)據(jù)，即2118.故答案為：2118.14．已知點在平面內(nèi)，為平面外一點，且，則的最小值是           .【答案】9【分析】由題可得，再利用基本不等式即可求出.【詳解】因為共面，所以，又， 則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值是9.故答案為：9.15．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的方差為5，且滿足，則樣本數(shù)據(jù)的方差為            .【答案】9【分析】由條件可求原數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的表達式，再求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差可得結(jié)論.【詳解】因為，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差，由已知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故答案為：.16．已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是      .【答案】【分析】設(shè)，，可得、、三點共線，則的最小值即的最小值為表示到邊上的高為，根據(jù)幾何關(guān)系求出，。再根據(jù)極化恒等式將化成，通過幾何關(guān)系求出的最小值即可。【詳解】∵∴設(shè)，又∵，∴、、三點共線，的最小值即的最小值為.由圖可得，當時，有最小值，又∵，，，∴，即，由余弦定理，。設(shè)為中點，由極化恒等式，，∴當取最小值時，有最小值。∵為邊上任意一點，∴當時，有最小值。設(shè)，過點作于點，則，又∵，為的中位線，∴。即。故答案為：【點睛】本題考查了平面向量三點共線定理和極化恒等式的運用，遇到兩個帶系數(shù)的向量相加時，可以看看是否能將其中一個向量轉(zhuǎn)換成另一向量從而將系數(shù)湊成定值，再運用平面向量三點共線定理。本題屬于難題。 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，.(1)若為純虛數(shù)，求m的值；(2)若，求的虛部.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和純虛數(shù)的定義進行求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則，結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)、復(fù)數(shù)虛部定義進行求解即可.【詳解】（1）由題意得，因為為純虛數(shù)，所以且，解得.（2）因為，所以，即，所以，所以，所以的虛部為.18．已知，設(shè)向量，.（1）若，求x的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標表示，得到，求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積，得到，整理，得到，根據(jù)題中條件求出，再由，由兩角差的正弦公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，即.又，∴.（2）∵，∴，即.又，故，∴.所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換的化簡求值，涉及平面向量共線和數(shù)量積的坐標表示，屬于常考題型.19．已知的內(nèi)角的對邊分別為 ，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求值，可得答案.（2）根據(jù)三角形的面積之間的關(guān)系，即，可得，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,∴，即，又，∴,又，∴，即角B的大小為.（2）∵.是的角平分線，而，∴，即，∴.∵，∴，∵，∴，即,當且僅當時取等號，則，即的面積的最小值為.20．如圖，在直三棱柱中，，且，點P為線段上的動點．  (1)當P為線段中點時，求證：平面平面；(2)當直線AP與平面所成角的正切值為時，求二面角P-AB-C的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由題意，得平面，從而，又，可得平面，由此可證得結(jié)論；（2）由（1）得平面，所以直線AP與平面所成角即為，求得，作，，可證得∠PNM為二面角P-AB-C的平面角，求解即可.【詳解】（1）由題意，，，，平面，故平面，∵平面，∴，∵P為的中點，∴，且，平面∴平面，又∵平面ABP，∴平面平面.（2）由（1）得平面，所以直線AP與平面所成角即為，故，解得．作，，連接PN如圖．  則平面ABC，又平面ABC，故．又，平面PMN，故平面PMN，故∠PNM為二面角P-AB-C的平面角，又，，故，故，即二面角P-AB-C的余弦值為.21．甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽，約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空:每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)抽簽，第一場比賽甲輪空.(1)求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四場比賽就決出冠軍的概率；(3)求甲最終獲勝的概率.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的情況有2種①乙勝丙、乙勝甲、乙勝丙②乙勝丙、甲勝乙、甲勝丙，再利用相互獨立事件概率的乘法運算即可得出答案.（2）首先分析出只需四場比賽就決出冠軍的情況，再利用相互獨立事件概率的乘法運算即可得出答案.（3）首先分析出甲最終獲勝的情況，再利用相互獨立事件概率的乘法運算即可得出答案.【詳解】（1）記事件A為甲勝乙，則，，事件B為甲勝丙，則，，事件C為乙勝丙，則，，前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為.（2）只需四場比賽就決出冠軍的概率為：.（3）由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，第一場比賽甲當裁判，以后的比賽相對于甲，可視乙丙為同一人，設(shè)甲勝為事件D，甲當裁判為事件E，所以甲最終獲勝的概率.22．已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作．①求函數(shù)的最小值；②若函數(shù)在內(nèi)恰有6個零點，求m的值．【答案】（1），；（2）①；②或．【分析】(1)根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，再列出關(guān)于x的不等式即可得解；(2)由(1)結(jié)合給定圖象變換求出的解析式，再求出并作變形即可得解；求出并令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解.【詳解】（1）觀察圖象得，最小正周期為T，，則，而，則，，又，于是得，所以，由，，得，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由題意得，①，當，即時取最小值-1，所以的最小值為；②依題意，，令，可得，令，得，由于，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，，且，，由知、異號，不妨設(shè)，，若，則，，無解，在內(nèi)有四個零點，不符題意；若，則，在內(nèi)有2個零點，在內(nèi)有4個零點，符合題意，此時，得；若，，在有4個零點，則在內(nèi)應(yīng)恰有2個零點，必有，此時，，，綜上所述有或． 

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