2022-2023學年河南省鶴壁市高中高二下學期第五次段考數(shù)學試題 一、單選題1．滿足等式的集合X共有（    ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)方程的實數(shù)根可得集合，則，由集合的并集與元素的關(guān)系即可得符合條件的所有集合.【詳解】解：方程的實數(shù)根有，解集構(gòu)成的集合為，即，則符合該等式的集合為，，，，故這樣的集合共有4個.故選：D.2．已知P，Q為R的兩個非空真子集，若?，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)條件畫出圖，根據(jù)圖形，判斷選項.【詳解】因為?，所以?，如圖，對于選項A：由題意知 P是 Q的真子集，故，，故不正確，對于選項B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.對于選項C：由是的真子集知，，，故不正確，對于選項D：Q是的真子集，故，，故不正確，故選：B3．已知，，若，則A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求解有最小值，得到答案.【詳解】由題意，可知，，且，因為，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，取得最小值，故選A．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（    ）A．17 B．16 C．15 D．14【答案】A【分析】先配湊，然后運用基本不等式求出最小值【詳解】，當且僅當，即，時，取得最小值.故選：.5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且函數(shù)在上是減函數(shù)，如果，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得在，上為減函數(shù)，結(jié)合奇偶性以及可得，解出的取值范圍，即可得答案．【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且函數(shù)在，上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，由（3），則不等式（3）（3），解之可得，故不等式的解集為，．故選：．【點睛】將奇偶性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.6．已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后對對數(shù)的真數(shù)分子有理化，快速判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而利用奇偶性和單調(diào)性求解不等式．【詳解】由題知函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)．因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因為，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是．故選：A7．在古希臘，人們把寬與長之比為的矩形稱為“黃金矩形”，這個比例被稱為黃金分割比例，黃金分割在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．希臘的一古建筑的復(fù)原正面圖如圖所示，圖中的矩形為黃金矩形．若黃金矩形的邊的長度超過，但不超過，則該古建筑的地面寬度（即線段的長）可能為（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】將位置關(guān)系表示在幾何平面關(guān)系中，結(jié)合黃金比例求解即可.【詳解】  設(shè)圓半徑為，所以，因為，所以，由題意可得，所以，因為，所以，所以.故選：B.8．對任意，函數(shù)滿足，若方程的根為，，，，則.（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x=1，再利用函數(shù)的對稱性求解.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x=1.因為方程的根為，，，，設(shè)+++=S，則S=+++,因為函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x=1，所以，所以2S=2n.所以S=n.所以+++=n.故選B【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．是的充分不必要條件B．若集合中只有一個元素，則C．已知，，則對應(yīng)的的集合為D．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為【答案】ABCD【分析】根據(jù)集合的基礎(chǔ)知識，以及充分，必要條件，命題的否定，判斷選項.【詳解】A.根據(jù)集合關(guān)系，以及充分，必要條件的定義，可知A正確；B.當時，不成立，當時，，解得：，故B正確；C.，得，所以命題對應(yīng)的集合是，所以對應(yīng)的的集合為，故C正確；D.，則，因為集合有2個元素，所以集合的個數(shù)為，故D正確. 故選：ABCD10．下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（    ）．A．若，則 B．若實數(shù)a、b、，則C． D．若實數(shù)a，，，則【答案】AD【分析】利用不等式的性質(zhì)和基本不等式對選項逐個判斷即可.【詳解】對于A選項，若，則，，所以，由不等式的基本性質(zhì)可得，A選項正確；對于B選項，由于a、b、m均為正實數(shù)，則，由于a、b的大小關(guān)系不確定，則的符號不確定，所以與的大小關(guān)系不確定，B選項錯誤；對于C選項，當時，，此時，故C選項錯誤；對于D選項，由于正實數(shù)a、b滿足，，當且僅當時等號成立，故D選項正確.故選：AD11．已知上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恒有成立，則下列說法正確的是（    ）A．在上是增函數(shù) B．的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在處取得最小值 D．函數(shù)沒有最大值【答案】BC【分析】由得函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)的周期性，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，然后可判斷各選項．【詳解】因為又是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，∵，∴，設(shè)是上任一點，它關(guān)于的對稱點是，，即也是函數(shù)圖象上的點，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；從而在上單調(diào)遞減，A錯誤；由上推導(dǎo)知在上遞減，由對稱性知在上遞增，又，即是周期函數(shù)，4是它的一個周期，從而在上遞增，在上遞減，因此是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，C正確，D錯誤．故選：BC．12．已知函數(shù)定義域為R，且.當時，.若函數(shù)在上的零點從小到大恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，則k的可能取值為（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】令，得到.作出的圖像，利用圖像法討論零點，分類討論求出k的值.【詳解】令，得到.由已知，，則的周期為2.其大致圖像如圖所示，由圖可知，令，得到.①當時，零點為1?3?5?7?…，滿足題意；②當時，零點為0?2?4?6?…，滿足題意；③當時，若零點從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，公差只能為1.由，得，此時；④當時，函數(shù)無零點，不符合題意.故選：ABD. 三、填空題13．若集合，則集合的非空真子集的個數(shù)為      .【答案】254【分析】先由且，得到的所有可能取值，確定集合中元素個數(shù)，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為且，所以，，，，因此，所以集合共含有個元素，因此，其非空真子集的個數(shù)為：個：故答案為【點睛】本題主要考查求解的非空真子集個數(shù)，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14．不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是       .【答案】【分析】根據(jù)題意，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，當時，不等式恒成立；當時，不等式恒成立，則滿足，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是           ．【答案】【分析】不等式恒成立，即為不大于xy的最小值，運用基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．【詳解】∵正實數(shù)x，y滿足，所以，即，當且僅當時等號成立，由恒成立，可得，解得故答案為：16．已知函數(shù)，若有4個零點，則m的取值范圍是          .【答案】【解析】畫出圖像，令，將“有4個零點”的問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同實數(shù)根來列不等式組，解不等式求得的取值范圍.【詳解】畫出的圖像如下圖所示，由于可知，當時，每個函數(shù)值都有兩個不同自變量與其對應(yīng).令，則“有4個零點”的問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同實數(shù)根.令，依題意在上有兩個不同實數(shù)根，由于其對稱軸，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題. 四、解答題17．已知．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）若，求的值域．【答案】（1）對稱軸為，最小正周期；（2）【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式進行化簡得到，由周期公式和對稱軸公式可得答案；(2)由x的范圍得到，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域.【詳解】（1）令，則的對稱軸為，最小正周期；（2）當時，，因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在取最大值，在取最小值，所以，所以．【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查周期性，對稱性，函數(shù)值域的求法，考查二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式變形后可得角；（2）利用余弦定理再求得關(guān)系，然后求得．【詳解】（1）由，得，則，即．∵，∴，又，∴．（2）在中，，由余弦定理得，∵，∴，∴．19．記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析 【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2） ∴ 20．如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點，點E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取中點，連接、，由三角形的中位線定理可得，進而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由線面垂直的性質(zhì)可得平面，從而推出平面，再由面面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）知平面，當三棱錐的體積最大時，設(shè)出，結(jié)合立體幾何的體積公式，和基本不等式可求出，建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與線面角的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）取中點，連接、，如圖所示：，點是的中點，，又是的中點，，又在直三棱柱中，有， 平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，則，設(shè)，則，，，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，即三棱錐的體積最大，此時，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則有，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.21．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點，過原點的直線(不與軸垂直)與橢圓交于?兩點，直線?與軸分別交于點?.問：軸上是否存在定點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，點坐標為.【分析】（1）由橢圓的離心率為，點在橢圓上，由求解.（2）設(shè)，則，得到直線的方程，直線的方程為，以及點坐標，點坐標，假設(shè)存在定點由求解.【詳解】（1）由題意得，解得,所以，橢圓的方程為；（2）設(shè)，由題意及橢圓的對稱性可知，則直線的方程為，直線的方程為，則點坐標為，點坐標為.假設(shè)存在定點使得，即，即，即，即，所以，所以存在點坐標為滿足條件.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系和存在性問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)解，求a的最大整數(shù)值．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，由二次方程根的情況，分類討論即可求解，（2）利用（1）的結(jié)論可判斷，進而根據(jù)兩個零點滿足，構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）的定義域為 ，，．①當，即時，恒成立，此時，在上單調(diào)遞減．②當 ，即時，由解得，．由解得，；由解得，或，此時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．③當 ，即時，由，解得或（舍），由，解得；由，解得，此時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）令，則．由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，此時在上至多有一個零點，不符合題意舍去．由于a是整數(shù)，故．當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，取，則；取，．若在上有兩個零點，則．∵，令，則．∴，則，∴在上單調(diào)遞增．又∵，，∴存在唯一的，使得，當時，，此時．若，則，．令，則在上單調(diào)遞增，又∵，∴，當時，．此時，，∴．∴當時，成立，∴a的最大整數(shù)值為．【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 

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