2022-2023學年四川省蓬溪中學校高二下學期月考數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知，則是成立的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解一元二次不等式，再由充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可得：，因為推不出，而能推出，所以是成立的必要不充分條件故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)模長公式可得結(jié)果.【詳解】由，得，故.故選：A．3．通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（    ）A． B．3 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程寫出一條過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程求交點縱坐標，即可得弦長.【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.故選：B4．在一次數(shù)學競賽中，某班甲、乙、丙三名同學中的一人獲獎.甲說：“我沒有獲獎”；乙說：“我獲獎了”；丙說：“乙沒有獲獎”.如果三人中恰有二人的說法是錯誤的，則最終獲獎的是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．不確定【答案】A【分析】先假設(shè)說法正確，通過推理分析即可得出結(jié)論.【詳解】假設(shè)甲的說法是正確的，則乙、丙二人的說法是錯誤的，則乙沒獲獎，所以丙的說法是正確的，兩者矛盾，所以甲的說法是錯誤的；假設(shè)乙的說法是正確的，即獲獎的是乙，則甲、丙二人的說法是錯誤的，所以甲獲獎了，與三名同學中的一人獲獎矛盾，所以乙的說法是錯誤的；因為三人中恰有二人的說法是錯誤的，所以丙的說法是正確的，所以最終獲獎的是甲.故選：A.5．設(shè)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令求出，再令求出，即可得解.【詳解】因為，令，可得，令，可得，所以.故選：A6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.7．某校迎新晩會上有A，B，C，D，E，F共6個節(jié)目，為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目A，B不相鄰，節(jié)目D，F必須連在一起，則不同的節(jié)目編排方案種數(shù)為（    ）A．60 B．72 C．120 D．144【答案】D【分析】排列問題中相鄰元素捆綁法，不相鄰元素插空法.【詳解】先將兩個節(jié)目D，F捆綁成一個元素，與節(jié)目C，E進行全排列，再將節(jié)目A，B插入四個空檔中，所以共有種不同的結(jié)果.故選：D．8．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意都有成立，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得答案．【詳解】由，則，設(shè)  ，則在上單調(diào)遞減.則，即 ，即.故選：A.9．某公司將包括2名女員工在內(nèi)的5名員工派往3個不同的地方學習，要求每人去一個地方，每個地方至少去一人，則2名女員工必須在一起學習的不同的分配方案有（    ）A．24 B．32 C．36 D．48【答案】C【分析】分1,1,3三組，1,2,2三組討論，并利用排列組合公式即可得到答案.【詳解】如果5人分成1,1,3三組，則分配方法有： 種，如果5人分成1,2,2三組，則分配方法有： 種，由加法原理可得：不同分配方法數(shù)為種.故選：C10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（    ）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C． 11．已知雙曲線的右頂點為A，左?右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點為M，且，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用漸近線的斜率求得，再利用余弦定理求得，進而求得，從而得到關(guān)于的齊次方程，解之即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為，如圖，  由題意可得，直線OM的方程為，有，即有，又，解得，在中，，由余弦定理，得，因此，即有，又，則，，又，于是，所以，即，則，兩邊同時除以，得，即，解得（舍去）或，所以該雙曲線的離心率，故選：B.12．已知函數(shù)有兩個極值點，且，，那么關(guān)于的方程的不同實根的個數(shù)是（    ）A．6個 B．4個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再作出圖象，而由方程可知，再利用圖象即可得到根的個數(shù).【詳解】，令得，不妨令，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，方程可得，而，，由的單調(diào)性并作出圖象可知直線分別過點，與函數(shù)圖象均有兩個交點，故方程的根的個數(shù)是4個.  故選：B. 二、填空題13．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是      ．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義可知，復(fù)數(shù)的虛部是.故答案為：14．若，則正整數(shù)x的值是        ．【答案】1或4【分析】解方程2x－1＝x或2x－1＋x＝11，即得解.【詳解】解：∵，∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．經(jīng)檢驗，x＝1或x＝4滿足題意.故答案為：1或4．15．已知，若對使得，則實數(shù)的取值范圍是                .【答案】【分析】利用單調(diào)性可得到，，結(jié)合題意可得，即可求解【詳解】當時，單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得此時也單調(diào)遞增，所以；當時，單調(diào)遞減，所以.因為對使得，所以，即，解得.故答案為：16．已知、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，點關(guān)于直線的對稱點為，則當最大時，的面積為          .【答案】/【分析】將對稱性和橢圓的定義結(jié)合起來，得到PM，PN的和為定值，從而知當M、N、P三點共線時，MN的值最大，然后通過幾何關(guān)系求出，結(jié)合余弦定理即可求出三角形的面積.【詳解】根據(jù)橢圓的方程可知，，連接PM，PN，則，所以當M、N、P三點共線時，|MN|的值最大此時又因，可得在中，由余弦定理可得，，即，解得，故答案為：.  【點睛】方法點睛：焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來． 三、解答題17．有4名男生，5名女生．(1)從中選出5名代表，有多少種選法？(2)從中選出5名代表，男生2名，女生3名且某女生必須在內(nèi)有多少種選法？(3)從中選出5名代表，男生不少于2名，有多少種選法？(4)分成三個小組，每組依次有4、3、2人有多少種分組方法？【答案】(1)126(2)36(3)105(4)1260 【分析】（1）根據(jù)組合的意義可求解；（2）從4名男生中選兩名，再從余下的4名女生中選兩名即可；（3）考慮恰有2名男生和恰有3名男生和恰有4名男生三種情況，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得答案.（4）從9人中先選4人為一組，再從余下的5人中選3人為一組，余下2人為一組即可.【詳解】（1）由題意得從中選出5名代表，有種選法.（2）從中選出5名代表，男生2名，女生3名且某女生必須在內(nèi)，則有種選法；（3）從中選出5名代表，男生不少于2名，包括恰有2名男生和恰有3名男生和恰有4名男生三種情況，故共有種選法.（4）有4名男生，5名女生,分成三個小組，每組依次有4、3、2人，有種分法.18．在二項式的展開式中，已知第2項與第8項的二項式系數(shù)相等．(1)求展開式中各項系數(shù)之和；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(3)求展開式中的有理項．【答案】(1)0(2)(3)有理項為，， 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可得，令，即可得各項系數(shù)之和；（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)當時，二項式系數(shù)最大，結(jié)合展開式的通項公式運算求解；（3）結(jié)合展開式的通項公式運算求解，令，運算求解.【詳解】（1）依題意，由組合數(shù)的性質(zhì)得，令，得展開式中各項系數(shù)之和為.（2）因為二項式的展開式的通項為，因為，所以二項式的展開式中二項式系數(shù)最大的項為.（3）由（2）可得：二項式的展開式的通項為，令，得，當時，；當時，；當時，.綜上所述：二項式展開式中的有理項為，，19．已知函數(shù).(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求在上的最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值為無極小值；(2)答案見解析 【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負即可求解函數(shù)的單調(diào)性，進而可求解極值，（2）由函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可求解.【詳解】（1）由題設(shè),令，，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的極大值為無極小值；（2），，，由于， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，②當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，若時，，若時，，綜上所述：當時，；當時，.20．如圖，直線與橢圓交于、兩點，記的面積為.(1)若線段的中點為，求此時直線的方程；(2)當，時，求直線的方程.【答案】(1)(2)或或或 【分析】（1）利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形的面積公式可得出、的方程組，解出這兩個參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：設(shè)點、，若直線與坐標軸垂直，則線段的中點在坐標軸上，不合乎題意，所以，，，由，兩個等式作差可得，即，所以，，故直線的方程為，即.（2）解：設(shè)點、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達定理可得，，所以，，①原點到直線的距離為，由，②聯(lián)立①②可得，因此，直線的方程為或或或.21．已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．(1)證明：點F在直線上；(2)設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程．【答案】(1)證明見解析.(2)圓M的方程為：. 【分析】（1）利用斜率相等即可證得結(jié)果；（2）利用向量數(shù)量積和內(nèi)切圓的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，已知點A關(guān)于x軸的對稱點為D，則點D的坐標為，由，可得整理可得，即.則，由，可知點F在直線上.（2）由，可得，即可得，由于A，B在拋物線上，，所以，不妨設(shè)A，B在x軸上方，則，可知AB的直線方程為，而，故，則DB的直線方程為，由于x軸是的角平分線，可知內(nèi)切圓的圓心必然在x軸上，故設(shè)圓心坐標為，由于角平分線上的點到角的兩邊距離相等，則，解得或（舍），則可得，的內(nèi)切圓M的方程為.  22．已知函數(shù)，設(shè)為兩個不相等正數(shù)，且．(1)求的取值范圍．(2)當時，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)后，分和判斷導(dǎo)數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由題意可知不合題意，當時，求出的最大值，由題意可得，從而可求出的取值范圍；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增，從而可得，不妨設(shè)，再根據(jù)的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）由，得，①時，，在單調(diào)遞減，不符合題意，②時，令，；令，；令，當變化時，，的變化情況如下表所示.     +0單調(diào)遞增單調(diào)遞減當時，取得極大值也是最大值，即，當時，，當時，.因為，所以，解得.故的取值范圍為（2）當，由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)則所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，不妨設(shè)，，即，又因為，所以，因為，在上單調(diào)遞減，所以，即得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合的單調(diào)性可得結(jié)論，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題. 

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