一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
2．已知命題，則是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱命題的否定的書寫規(guī)則來確定答案.
【詳解】命題，則是：
故選：C.
3．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)，然后利用共軛復數(shù)的定義計算.
【詳解】在復平面對應的點是，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，，
由共軛復數(shù)的定義可知，.
故選：D
4．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域為，得到，則，由求解.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
所以，
所以，
所以，
解得，
所以函數(shù)的定義域為，
故選：A
【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域的求法，屬于基礎題.
5．定義域為的奇函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，則
A．4034B．2020
C．2018D．2
【答案】C
【分析】先求出函數(shù)的周期，再結合已知條件求解.
【詳解】因為函數(shù)的圖像關于直線x=2對稱，所以，
所以
所以，
所以函數(shù)的周期是8,
所以.
故選C
【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性及函數(shù)的周期性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
7．若定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，，有，則下列說法一定正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】C
【分析】令得，令，得到，根據(jù)奇偶性定義即可得答案.
【詳解】對任意，有，
令，得.
令，，得.
整理得，故為奇函數(shù).
故選：C
8．從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2個數(shù)，事件為“第一次取到的是偶數(shù)”，事件為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)古典概型和條件概率公式可得.
【詳解】記第一次取出的數(shù)為m，第二次取出的數(shù)記為n，
則，
，
，
所以，
所以，
，
所以.
故選：C
二、多選題
9．下列各組函數(shù)中不是相等函數(shù)的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】計算函數(shù)定義域，化簡解析式，對比每個選項中的兩個函數(shù)得到答案.
【詳解】，函數(shù)定義域為R，，定義域為R，是相等函數(shù).
定義域為，定義域滿足，即，故不是相等函數(shù).
，，定義域都是R，解析式相同，是相等函數(shù).
，定義域為R，定義域為，不是相等函數(shù).
故選：BD.
10．若，則，．已知，且，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由正態(tài)分布的對稱性求出，再由原則求解即可.
【詳解】因為，且，
所以，解得．
．
故選：AC．
11．已知，，且，則（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
D．若恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是
【答案】ABCD
【分析】對于A和B，分別利用基本不等式求出最值即可；對于C，利用基本不等式轉化為進而求出結果；對于D，利用分離常數(shù)結合二次函數(shù)性質判斷即可
【詳解】對于A
因為，，且，
則，可得，
解得或（舍去）
則，當且僅當，取等號
故最小值為，
故A正確；
對于B
因為，，且，則，
則，
當且僅當，取等號
故最小值為，
故B正確；
對于C
，
當且僅當取等號，
所以不等式恒成立，轉化為，解得，
故C正確；
對于D
因為，，，則，，
將不等式變形得到恒成立，
當時，取等號，故，
D正確．
故選：ABCD．
12．有一座高度是10級（第1級~第10級）臺階的樓梯，小明在樓梯底部（第0級）從下往上走，每跨一步只能向上1級或者向上2級，且每步向上1級與向上2級的概率相同，設第n步后小明所在臺階級數(shù)為隨機變量，則（ ）
A．B．
C．D．中最大
【答案】ABD
【分析】每步向上1級與向上2級的概率都是，求出第n步后小明所在臺階級數(shù)隨機變量的概率，即可判斷A、C、D的正誤，再計算，可得B正確.
【詳解】小明每步向上1級與向上2級的概率都是，表示跨2步到達第2級臺階，
所以每步向上1個臺階，，故A正確；
的所有可能取值為2，3，4，，，
，所以，故B正確；
表示跨4步到達第6級臺階，所以有2步每步向上1個臺階，
有2步每步向上2個臺階，；
表示跨4步到達第7級臺階，所以有1步向上1個臺階，有3步每步向上2個臺階，
，故C錯誤；
由題意，表示跨5步到達第10級臺階，所以每步向上2個臺階，，
表示跨6步到達第10級臺階，所以有2步每步向上1個臺階，有4步每步向上2個臺階，
，以此類推可得，
，，
，其中最大，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題
13．已知二項式的展開式中第四項與第七項的二項式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項為 .
【答案】
【分析】依題意可得，，從而可求得，利用其通項公式即可求得展開式中的常數(shù)項．
【詳解】解：由題意可得，，解得，所以展開式的通項為
，由得，，所以常數(shù)項為第七項．
故答案為：
14．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,1)時, , 則 .
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得解.
【詳解】，，
函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,1)時, ,
則.
故答案為：
【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求值，關鍵在于準確分析出的范圍不在題目給定區(qū)間上，通過奇偶性求值.
15．函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，從而在上單調(diào)遞減，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得，這樣可解得，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性有，根據(jù)減函數(shù)的定義可得，這又可得到一個的范圍，然后這幾個的范圍求交集即可得到的取值范圍.
【詳解】當時，，在上單調(diào)遞減，
，
；
當時，單調(diào)遞減，
，
又是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
，
，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】本題考查了由分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.
16．若，則a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將不等式轉化為，令得到，原不等式即可轉化為恒成立，然后分和兩種情況討論即可.
【詳解】不等式化為，所以.
設，則，
令，則，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；所以.
令，則.
當時，，單調(diào)遞增；所以，解得，故滿足條件；
當時，當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以，
設，則，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，所以，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
四、解答題
17．已知等差數(shù)列的前項和為，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設公差為，依題意得到關于、的方程組，解得即可、，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）設公差為，由，，得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
故數(shù)列的前項和為.
18．已知向量（，），（，），.
(1)求函數(shù)的最大值及相應x的值；
(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.
【答案】(1)，時，取最大值 ；
(2).
【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)恒等變換可得的解析式，利用正弦函數(shù)的性質可求的最大值及相應的值；
（2）由（1）及角A的范圍可求角A，進而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的邊長值，代入三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1）依題意，，
即，
所以，當，
即，時，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，則，
因此，，則，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面積為.
19．為推動農(nóng)村可持續(xù)生態(tài)農(nóng)業(yè)的發(fā)展，廣東某農(nóng)場用五年的時間按照有機標準新改良了100畝土地，預計在改良后的土地上種植有機水果和其它作物，并根據(jù)市場需求確定有機水果的種植面積．農(nóng)場經(jīng)營采用的是CSA農(nóng)業(yè)經(jīng)營模式即社區(qū)支持農(nóng)業(yè)，農(nóng)場從CSA會員中隨機抽取了南方、北方會員共200人，調(diào)查數(shù)據(jù)如下．
(1)視頻率為概率，分別估計南方、北方會員中喜歡有機水果的概率；
(2)試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析喜歡有機水果是否與會員的區(qū)域有關．
附：，．
【答案】(1)喜歡有機水果的概率分別為，
(2)喜歡有機水果與會員的區(qū)域有關
【分析】（1）利用古典概率可求答案；
（2）計算卡方，和臨界值比較，根據(jù)小概率可得答案.
【詳解】（1）由題得南方會員中喜歡有機水果的概率；
北方會員中喜歡有機水果的概率為，
所以南方、北方會員中喜歡有機水果的概率分別為，．
（2）零假設：假設喜歡有機水果與會員的區(qū)域無關；
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不成立，
即認為是否喜歡有機水果與會員的區(qū)域有關.
20．為何值時，關于的方程的兩根：
(1)都為正數(shù)根；
(2)異號且負根絕對值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)兩根都在區(qū)間上.
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)或
【分析】根據(jù)判別式的符號確定方程根的個數(shù)，再根據(jù)根的分布情況對每一小問進行分析即可：
（1）滿足判別式大于等于零，且兩根之和、兩根之積都大于零；
（2）滿足判別式大于零，且兩根之和、兩根之積都小于零；
（3）滿足判別式大于零，處的函數(shù)值小于零；
（4）滿足判別式大于等于零，0和2處的函數(shù)值都大于零，且對稱軸在之間；
【詳解】（1）設函數(shù)，
方程有兩根設為，對稱軸.，由.
解得或；
由題意可得，
解得或.
（2）由題意可得，解得.
（3）由題意可得，即，解得.
（4）由題意可得，即，解得或.
21．南水北調(diào)中線工程建成以來，通過生態(tài)補水和減少地下水開采，華北地下水位有了較大的回升，水質有了較大的改善，為了研究地下水位的回升情況，對2015年-2021年河北平原地區(qū)地下水埋深進行統(tǒng)計，所得數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)散點圖知，該地區(qū)地下水位埋深與年份（2015年作為第1年）可以用直線擬合．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求線性回歸方程，并利用該回歸方程預測2023年河北平原地區(qū)地下水位埋深；
(2)從2016年至2021年這6年中任取3年，該地區(qū)這3年中每一年地下水位與該地區(qū)上一年地下水位相比回升超過0.5米的年份數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．
附相關表數(shù)據(jù)：．
參考公式：，其中．
【答案】(1)，米
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)最小二乘法求出和可得線性回歸方程，再代入可得結果；
（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式和期望公式可求出結果.
【詳解】（1），，，
，
所以，，
所以所求線性回歸方程為.
當時，米.
所以預測2023年河北平原地區(qū)地下水位埋深為米.
（2）因為，，
，，
，，
所以從2016年至2021年這6年中，每一年地下水位與該地區(qū)上一年地下水位相比回升超過0.5米的年份有，共個年份，
的所有可能取值為，
，，，
所以的分布列為：
.
22．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；
（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.
方法二：構造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調(diào)遞減；
當時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當且僅當時，等號成立，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
喜歡有機水果
不喜歡有機水果
南方會員
80
40
北方會員
40
40
0.05
0.025
0.005
3.841
5.024
7.879
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
埋深（單位：米）
25.74
25.22
24.95
23.02
22.69
22.03
20.36
1
2
3

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