2022-2023學(xué)年河南省焦作市武陟縣第一中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，則（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】求出，即可求出的值.【詳解】由題意，，∴，，∴，故選：D.2．若復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A． B．5 C． D．3【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘除法法則求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：B3．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（    ）A．80 B．160 C．240 D．320【答案】D【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，原式化為從而求出展開式的常數(shù)項(xiàng)；【詳解】解：因?yàn)?/span>展開式的通項(xiàng)為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：D．4．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再代入特殊值計(jì)算，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意得的定義域?yàn)?/span>R，，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)B，D．又，排除選項(xiàng)C.故選：A．5．在長方體中，，現(xiàn)分別以AB，CD為軸，截去底面半徑為3的兩個(gè)四分之一圓柱，得到如圖所示幾何體，則該幾何體的表面積為（   ）      A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將該幾何體的5個(gè)面的面積分別計(jì)算出來，然后相加，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，該幾何體共有5個(gè)面，其中兩個(gè)曲面的面積均為以3為底面半徑，以6為母線長的圓柱的側(cè)面的四分之一，所以其面積和為；兩側(cè)的平面圖形可看作矩形面積的兩倍減去一個(gè)半徑為3的圓，其面積為；頂部的平面圖形為矩形，其面積為，故該幾何體的表面積為.故選：C.6．定義：表示不大于的最大整數(shù)，已知函數(shù)，，則（    ）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的最大值為0C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的最小值為【答案】B【分析】考慮，，，四種情況，得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)的單調(diào)性和最值，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，，和均為減函數(shù)，故函數(shù)單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，，同理，函數(shù)單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，.函數(shù)在上單調(diào)遞減，不可能在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；，，函數(shù)在不可能是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最大值為0，B正確；函數(shù)沒有最小值，D錯(cuò)誤.故選：B.7．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△的面積為，則雙曲線C的漸近方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由已知條件及余弦定理、雙曲線的定義得到，由△的面積為得到，然后利用及得到，即可求得雙曲線C的漸近線方程.【詳解】在△中，，由余弦定理得：，得，又△的面積，所以.因?yàn)?/span>O是的中點(diǎn)，所以，兩邊同時(shí)平方得：，由，則，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.8．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】計(jì)算得到，根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意知： ，故故選：【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的值域，恒成立問題和存在問題，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用. 二、多選題9．如圖，在正方體中，下列結(jié)論中正確的有（   ）  A．平面B．平面C．與底面ABCD所成角的正切值是D．與BD為異面直線【答案】BCD【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、線面角、異面直線等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?/span>平面，所以AC與平面不平行，所以A錯(cuò)誤.連接，，易證，.因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以B正確.因?yàn)?/span>底面ABCD，所以是與底面ABCD所成的角，設(shè)該正方體的棱長為1，則，，所以，所以C正確.由異面直線的定義可知，與BD為異面直線，所以D正確.故選：BCD  10．已知函數(shù)f(x)＝2 cos2x－cos (2x－θ)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（    ）A．點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B．函數(shù)f(x)的最大值為2C．函數(shù)f(x)的最小正周期是2π D．直線x＝是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式 , 再結(jié)合函數(shù)的定義與性質(zhì)判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)， 所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以，     因?yàn)?/span>圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)，     所以令得 當(dāng) 時(shí)，所以點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以A正確；因?yàn)?/span>，所以的最大值為2，所以B 正確；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以C 錯(cuò)誤；因?yàn)?/span> 圖象的對(duì)稱軸方程是 所以令，得，當(dāng)時(shí)，，所以直線 是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以D正確.故選:ABD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3．則下列說法正確的是（    ）A．拋物線的方程是 B．拋物線的準(zhǔn)線是C．的最小值是 D．線段AB的最小值是6【答案】BC【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得p，進(jìn)而得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程；求得，設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式可得線段AB的最小值，可得圓Q的半徑，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，得拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，可得，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤，B正確；由題知直線的斜率存在，，設(shè)，，直線的方程為，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，故線段AB的最小值是4，即D錯(cuò)誤；所以圓Q的半徑為，在等腰中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即C正確，故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，課程中心方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.12．已知直線，圓，則以下命題正確的是（    ）A．直線l恒過定點(diǎn) B．直線l與圓C恒相交C．圓C被x軸截得的弦長為 D．圓C被直線l截得的弦最短時(shí)，【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件求出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)及圓的圓心、半徑，再求圓心到直線的距離，由此判斷直線與圓的位置關(guān)系，利用弦長公式求弦長即可判斷B，C，D.【詳解】依題意，直線：可化為，由解得，，即直線過定點(diǎn)，A不正確；因?yàn)榉匠?/span>可化為，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，，即點(diǎn)P在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，B正確；圓心到x軸的距離，則圓被軸截得的弦長為，C正確；由于直線過定點(diǎn)，圓心，則直線PC的斜率，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，由圓的性質(zhì)知，，于是得，解得，D錯(cuò)誤.故選：BC. 三、填空題13．某公司借助手機(jī)微信平臺(tái)推廣自己的產(chǎn)品，對(duì)今年前5個(gè)月的微信推廣費(fèi)用與月利潤（單位：百萬元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：2456830406070經(jīng)計(jì)算，微信推廣費(fèi)用與月利潤滿足線性回歸方程.則的值為          ．【答案】50【分析】先求得樣本中心，再根據(jù)樣本中心在回歸直線上求解.【詳解】，因?yàn)闃颖局行?/span>在回歸直線上，所以，解得，故答案為：50【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸直線方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．的展開式中的系數(shù)為      （用數(shù)字作答）．【答案】-800【分析】要得到含的項(xiàng)，需在的展開式中取第4項(xiàng)，在的展開式中取第2項(xiàng)，從而利用二項(xiàng)式定理求解即可．【詳解】由題意知，在的展開式中取第4項(xiàng)，即，的展開式中取第2項(xiàng)，即，故的系數(shù)為．故答案為：-80015．已知圓柱的底面圓O的半徑為4，矩形為圓柱的軸截面，C為圓O上一點(diǎn)，，圓柱的表面積為，則三棱錐的體積與其外接球的體積之比為      .【答案】【分析】通過圓柱的表面積求出圓柱的高，進(jìn)一步求出三棱錐的體積，根據(jù)三棱錐中有兩個(gè)共斜邊的直角三角形確定其外接球的球心，求出外接球的體積即可得解.【詳解】如圖所示，由題意知圓柱的表面積，故.在中，，所以，所以，所以，由題意知平面，平面，所以，結(jié)合，AA1、AC在面AA1C內(nèi)，得平面，平面，所以.取的中點(diǎn)，則由與為直角三角形知，為三棱錐外接球的球心，球的半徑，所以外接球的體積，所以.故答案為：16．已知等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，的最小值為      ．【答案】3【分析】先求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可以得出數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而可求得其前項(xiàng)和，解不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，數(shù)列是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比．又，所以，故，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．由，得，所以，的最小值為3．故答案為：3． 四、解答題17．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asin B＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝c2，求sin C的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化簡已知等式即得A=.(2)先根據(jù)△ABC的面積S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．【詳解】(1)因?yàn)?/span>asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化簡得tan A＝－，因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以A＝.(2)因?yàn)?/span>A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sin C＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.18．已知數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為，公比，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量，結(jié)合條件，列式求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，，即可求得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以.，兩式相除得，解得，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，則，故，則，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.19．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，.  (1)若，求BD；(2)求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理可得，然后在中，由余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，即，則，所以或，又，所以，故，所以.在中，由，，，可得，，所以，即.（2）.由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故四邊形ABCD面積的最大值為.20．致敬百年，讀書筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競賽”活動(dòng)．并對(duì)某年級(jí)的100位學(xué)生競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績?cè)?/span>內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績人數(shù)510152520205(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)； 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男10  女 35 合計(jì)   (2)某班級(jí)實(shí)行學(xué)分制，為鼓勵(lì)學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎(jiǎng)?lì)~外賺學(xué)分”趣味活動(dòng)方案：規(guī)定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)概率為（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎(jiǎng)1次學(xué)分加5分，中獎(jiǎng)2次學(xué)分加10分．若學(xué)生甲成績?cè)?/span>內(nèi)，請(qǐng)列出其本次讀書活動(dòng)額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望值為2.5分 【分析】（1）根據(jù)成績分段表得到優(yōu)秀人數(shù)，結(jié)合列聯(lián)表中的男生優(yōu)秀人數(shù)求得女生優(yōu)秀人數(shù)，然后可以完成列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算K2的觀測值k0，與相應(yīng)臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）先根據(jù)成績分段表求得p的值，然后利用二項(xiàng)分布列計(jì)算X的各個(gè)取值的概率，列出分布列，根據(jù)分布列計(jì)算期望即可.【詳解】（1） 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男104050女153550合計(jì)2575100假設(shè): 此次競賽成績與性別無關(guān).,所以沒有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列為：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）21．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到C的漸近線的距離為1.(1)求C的方程.(2)若直線與C的右支相切，切點(diǎn)為P，與直線交于點(diǎn)Q，問x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn) 【分析】（1）先由題意求出C的漸近線方程，，再根據(jù)點(diǎn)F到漸近線的距離為1求出b，得，即可得C的方程；（2）先由題意判斷直線的斜率存在，設(shè)出的方程，與C的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與C相切求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，假設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)并借助向量的數(shù)量積將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡求解，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意，雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的右焦點(diǎn)為，可得，所以到漸近線的距離，所以，所以C的方程為.（2）解：由題意易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立與C的方程，消去y，得，因?yàn)橹本€與C的右支相切，所以，（雙曲線右支上的點(diǎn)需滿足的條件），得，則，設(shè)切點(diǎn)，則，，設(shè)，因?yàn)?/span>Q是直線與直線的交點(diǎn)，所以，，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)，使得，則，故存在，使得，即，所以x軸上存在定點(diǎn)，使得.22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.  

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