2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】對兩個集合進(jìn)行化簡，然后求它們的交集即可．【詳解】由題意A∩B＝即A∩B＝{2，3，4}故選：C．【點睛】本題考查交集及其運算，求交集即求兩個集合中的共同元素，正確理解定義是解決本題的關(guān)鍵．2．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．對應(yīng)的點在復(fù)平面的第二象限 B．C．的實部為1 D．的虛部為【答案】D【分析】先求出，再由復(fù)數(shù)的運算法則及幾何意義直接求解判斷即可．【詳解】，，所以對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在復(fù)平面的第三象限，且，的實部為，虛部為，故選：D．3．一個圓臺的正視圖如圖所示，則其體積等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，由圓臺的體積公式，可直接求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，該圓臺的上底面面積為，該圓臺的下底面面積為，該圓臺的高為，因此圓臺的體積為．故選：C．4．已知是實數(shù)，則“”是“”的（    ）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【詳解】都是實數(shù)，由“”有成立，反之不成立，例如.所以“”是“”的充分不必要條件，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的判斷，在解題的過程中，關(guān)鍵點是要注意對數(shù)式有意義的條件.5．如圖在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F分別為AB，CD的中點，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由向量減法法則可知，結(jié)合向量的加法法則從而可選出正確答案.【詳解】連接OE，OF.因為，所以.故選:C.6．某校開設(shè)A類選修課4門，B類選修課2門，每位同學(xué)從中選3門.若要求兩類課程中都至少選一門，則不同的選法共有（    ）A．32種 B．20種 C．16種 D．14種【答案】C【分析】應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，從中選1門、中選2門或中選2門、中選1門，分別求得選法種數(shù)，再加總即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①若從類課程中選1門，從類課程中選2門，有（種）選法；②若從類課程中選2門，從類課程中選1門，有（種）選法.綜上，兩類課程中都至少選一門的選法有（種）.故選：C.7．已知函數(shù)有4個不同的零點，則m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致圖象，有4個不同的零點等價于與一共四個交點，由數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示. 由，解得或. 由的圖象可知，當(dāng)時，有1個根，所以要有3個根，故實數(shù)m的取值范圍為.故選：B.8．關(guān)于曲線．給出下列三個結(jié)論：① 曲線恰好經(jīng)過個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）② 曲線上任意一點到原點的距離都不大于③ 曲線上任意一點到原點的距離都不小于2其中，正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】將曲線，看成關(guān)于的方程，利用方程有解，得到的范圍，再分別研究對應(yīng)的整數(shù)和的情況；根據(jù)基本不等式，得到的范圍，從而判斷出曲線上一點到原點的距離范圍.【詳解】曲線，看成關(guān)于的二次方程則，得所以整數(shù)的取值為，當(dāng)時，或，滿足題意當(dāng)時，不是整數(shù)，不滿足題意當(dāng)時，或，滿足題意當(dāng)時，不是整數(shù)，不滿足題意當(dāng)時，或，滿足題意故曲線過的整點為，，，，，，共6個，故命題①正確.，當(dāng)時，，即，得，即當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立所以得曲線上任意一點到原點的距離都不大于，命題②正確.當(dāng)時，，即，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立所以得曲線上任意一點到原點的距離都不小于，故命題③錯誤；故選：C.【點睛】本題考查判斷二次方程根的情況，基本不等式求最值，屬于中檔題. 二、多選題9．某次辯論賽有7位評委進(jìn)行評分，首先7位評委各給出某選手一個原始分?jǐn)?shù)，評定該選手成績時從7個原始分?jǐn)?shù)中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分．則這5個有效評分與7個原始評分相比，數(shù)字特征可能不同的是（    ）A．極差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．方差【答案】ACD【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義進(jìn)行判斷.【詳解】因為5個有效評分是7個原始評分中去掉一個最高分、去掉一個最低分，所以中位數(shù)不變，平均數(shù)、方差、極差可能發(fā)生變化.故B錯誤.故選：ACD.10．下列說法正確的是（    ）A．某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6：5：5：4，則應(yīng)從一年級中抽取90名學(xué)生B．10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率為C．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得=3，=3．5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是=0.4x+2.3D．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件【答案】ABC【分析】根據(jù)分層抽樣、概率、線性回歸直線方程、互斥事件與對立事件的概念分別進(jìn)行判斷．【詳解】A．由分層抽樣，應(yīng)制取人數(shù)為，A正確；B．恰好取到1件次品的概率為，B正確；C．∵，直線=0.4x+2.3過中心點，可能是回歸直線方程，C正確；D．一紅球一黑球這個事件即是至少有一個紅球，也是至少有一個黑球，因此它們不互斥，D錯誤．故選：ABC．【點睛】本題考查命題的真假判斷，解題時需掌握分層抽樣、概率、線性回歸直線方程、互斥事件與對立事件的概念等知識，要求較高，屬于中檔題．11．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，使不等式成立的充分不必要條件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出，求出該不等式在上的解集，即可得出合適的選項.【詳解】令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，則，由得，即，所以，，即，解得.當(dāng)時，則有.故選：ABC.12．已知數(shù)列中，，且，，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．B．是單調(diào)遞減數(shù)列C．D．若，則（表示不超過x的最大整數(shù)）【答案】ACD【分析】由條件兩邊取倒數(shù)，變形可判斷A選項的正誤；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷B選項的正誤；利用裂項求和法可判斷C選項的正誤；求出的表達(dá)式，可判斷D選項的正誤.【詳解】在數(shù)列中，，且，，則，，，依此類推，可知對任意的，.對于A選項，，A選項正確；對于B選項，，即，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，B選項錯誤；對于C選項，由A選項可知，，所以，，C選項正確；對于D選項，，所以，，由，且得，，又是單調(diào)遞增數(shù)列，則時，，則，當(dāng)時，，不滿足要求，當(dāng)時，從而，得，D選項正確.故選：ACD. 三、填空題13．的展開式中含項的系數(shù)是          ．【答案】5【分析】先求展開式的通項公式，即可求含項的系數(shù).【詳解】展開式的通項公式，可得取，解得，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：514．已知拋物線的焦點為，是拋物線上一點，若的延長線交軸的正半軸于點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，且，則                ．【答案】2【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)交軸于點，利用三角形相似得到，再利用拋物線的定義即可求解.【詳解】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)交軸于點，為坐標(biāo)原點．由題可得，因為，則，所以，所以．由拋物線的定義可得，又，所以，因為準(zhǔn)線與軸平行，且到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，所以平分，則有，故答案為：.15．函數(shù)的最小正周期為              .【答案】【分析】利用，并結(jié)合二倍角的正切公式得出，然后利用正切型函數(shù)的周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期.【詳解】，因此，函數(shù)的最小正周期為.故答案為.【點睛】本題考查正切型函數(shù)周期的計算，解題的關(guān)鍵就是將三角函數(shù)的解析式化簡，考查運算求解能力，屬于中等題.16．若函數(shù)有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是      ．【答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，將函數(shù)極值點問題轉(zhuǎn)化為零點問題，分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究，即可得到結(jié)果.【詳解】若函數(shù)有且僅有一個極值點，只需有一個零點，且在此零點兩側(cè)，函數(shù)符號不同．當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值點，所以，令，則，即．記，則，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且，又，，故的大致圖象如下圖所示：由圖可知，若有且僅有一個極值點，則，得．所以的取值范圍為．故答案為:  四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）若為等差數(shù)列，且①求該等差數(shù)列的公差；②設(shè)數(shù)列滿足，則當(dāng)為何值時，最大？請說明理由；（2）若還同時滿足：①為等比數(shù)列;②；③對任意的正整數(shù)存在自然數(shù)，使得、、依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）①；②當(dāng)或時，最大；（2）.【分析】（1）①利用等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，建立方程組，即可求得該等差數(shù)列的公差；②求出的通項公式，進(jìn)而得到的通項公式，利用，判斷的單調(diào)性，進(jìn)而得解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合，初步確定的通項，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得的通項公式.【詳解】（1）①由，，得﹐解得，，該等差數(shù)列的公差.②由①知，所以，則，所以，且當(dāng) 時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)或時，最大.（2）因為是等比數(shù)列，則，又，所以或，由，得，解得，由，得，解得，從而或或或，又因為、、依次成等差數(shù)列，得，而公比，所以，即，從而（*）當(dāng)時，（*）式不成立；當(dāng)時，解得；當(dāng)時，（*）式不成立；當(dāng)時，（*）式不成立．綜上所述，滿足條件的.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式、數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本公式的應(yīng)用及運算求解能力，熟記公式是本題的解題關(guān)鍵，屬于中檔題.18．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，角A為銳角．(1)求角A的大??；(2)若的外接圓面積為，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題設(shè)結(jié)合正弦定理及兩角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；（2）由的外接圓面積得出外接圓半徑，由求出，由正弦定理可得，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，即，即，∵，∴，∴，又∵A為銳角，∴．（2）由于的外接圓面積為，故外接圓半徑為，∵，∴由正弦定理可得．19．在四棱錐中，平面平面，，，為中點，，.  （1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）由并結(jié)合平面幾何知識可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得平面平面．（2）根據(jù)，建立以為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系，通過求出平面和平面法向量的夾角并結(jié)合圖形可得所求二面角的余弦值．試題解析：（1）由條件可知，，，，.，且為中點，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則，，，，∴，，，，設(shè)為平面的一個法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一個法向量．∴.由圖形知二面角為銳角，∴二面角的余弦值為.點睛：用空間向量求解立體幾何問題的注意點（1）建立坐標(biāo)系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點的坐標(biāo)．（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論．20．2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績.某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況（評價結(jié)果僅有“好評”“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）： 好評差評合計男性 80200女性90  合計  400(1)把列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”？(2)若將頻率視為概率，從抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量表示被抽到的女性觀眾的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”(2)分布列見解析， 【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算卡方，與7.879比較后得到結(jié)論；（2）計算出所有給出“好評”的觀眾中隨機(jī)抽取1人為女性的概率，得到，得到的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望值.【詳解】（1）列聯(lián)表補充完整如下： 好評差評合計男性12080200女性90110200合計210190400因此有的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”.（2）從抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中隨機(jī)抽取1人為女性的概率，且各次抽取之間互相獨立，故，所以，，故的分布列為：0123所以.或.21．橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓C的方程；(2)A，B，P三點在橢圓C上，O為原點，設(shè)直線的斜率分別是，且，若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由條件可得，，，解出即可；（2）設(shè)，由條件可得，，然后將代入橢圓方程可得，然后可得答案.【詳解】（1）因為，，所以可解得所以橢圓C的方程.（2）設(shè)， 即    ，即又，即，22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性，并比較與的大?。?/span>(2)若，為兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．【答案】(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）對已知等式進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解證明即可.【詳解】（1）∵，∴的定義域為且，令時，，當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，在上遞減，∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為又∵所以，即，所以，即，所以；（2）由可得：，即：令，，則有要證：    只需證：，即證：因為，所以只需證：即證：設(shè)，則：，，∴，要證，只要證，即．只要證即證（其中），令，，∴在單調(diào)遞增，，即（其中）成立，所以不等式成立．故原不等式成立．【點睛】關(guān)鍵點睛：對已知等式進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解證明是解題的關(guān)鍵. 

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