?2021-2022學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)會(huì)元學(xué)校八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的。）
1．下列四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
3．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5?3a5＝5a5
4．如圖所示，∠1＝∠2＝145°，則∠3＝（　?。?br />
A．80° B．70° C．60° D．50°
5．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依據(jù)是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如圖，地面上有三條公路AB，BC，AC，要想在修建一個(gè)加油站方便三條公路上的車輛加油（到AB、BC、AC三條公路的距離相等），應(yīng)該把加油站修建在（　　）

A．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)
C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)
D．△ABC三條中線的交點(diǎn)
7．如圖，BP、CP是△ABC的外角角平分線，若∠P＝60°，則∠A的大小為（　?。?br />
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如圖，AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，且點(diǎn)O到AB的距離OD＝2，△ABC的周長為28，則△ABC的面積為（　　）

A．7 B．14 C．21 D．28
9．如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則∠1與∠2的和為（　?。?br />
A．45° B．60° C．90° D．100°
10．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（　　）cm/s時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．

A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 12．如圖，點(diǎn)A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補(bǔ)充一個(gè)條件：　 　．

14．已知等腰三角形的一個(gè)外角是70°，則它頂角的度數(shù)為　 ?。?br /> 15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊AC上，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，且BE＝BC．若AD＝6cm，則CD的長為 　 　cm．

16．如圖，任意畫一個(gè)∠BAC＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正確的結(jié)論為　 ?。ㄌ顚懶蛱?hào)）

三、解答題（本題有9個(gè)小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計(jì)算步驟）
17．計(jì)算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2?x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
18．如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求證：AB＝CD．

19．如圖，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度數(shù)；
（2）若AE＝5，△BCD的周長17，求△ABC的周長．

20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）在圖中畫出△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PC最?。?br /> （3）△ABC的面積為　 ?。?br />
21．如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分線AD．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積等于　 ?。?br />
22．如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的高．
（1）若AD是邊BC上的中線，AE＝3cm，S△ABC＝6cm2，求DC的長；
（2）若AD是∠BAC的平分線，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度數(shù)．

23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC邊上的中線，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)D
（1）求證：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的長．

24．如圖1，D為等邊△ABC的邊AC上一點(diǎn)，E為直線AB上一點(diǎn)，CD＝BE．
（1）求證：△ADE是等邊三角形；
（2）如圖2，DE交CB于點(diǎn)P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的長．

25．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限作等腰Rt△ABC．

（1）如圖1，若OB＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　 ??；
（2）如圖2，若OB＝8，點(diǎn)D為OA延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰Rt△BDE，連接AE，求證：AE⊥AB；
（3）如圖3，以B為直角頂點(diǎn)，OB為直角邊在第三象限作等腰Rt△OBF，連接CF，交y軸于點(diǎn)P，求線段BP的長．


參考答案
一、單選題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的。）
1．下列四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，直接根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念即可得出答案．
解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意．
故選：C．
2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（　?。?br /> A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
【分析】由于三角形三邊滿足兩短邊的和大于最長的邊，只要不滿足這個(gè)關(guān)系就不能構(gòu)成三角形．根據(jù)這個(gè)關(guān)系即可確定選擇項(xiàng)．
解：A、∵1+1＝2＜3，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
B、∵2+3＝5，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
C、∵3+4＝7＜9，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
D、∵5+6＝11＞10，
∴可以構(gòu)成三角形，符合題意；
故選：D．
3．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5?3a5＝5a5
【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，冪的乘方與積的乘方的法則，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合題意；
B、（a3）2＝a6，故B符合題意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合題意；
D、2a5?3a5＝6a10，故D不符合題意；
故選：B．
4．如圖所示，∠1＝∠2＝145°，則∠3＝（　?。?br />
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根據(jù)三角形的外角和等于360°計(jì)算即可．
解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三個(gè)外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝∠2＝145°，
∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，
故選：B．
5．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依據(jù)是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作圖過程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共邊CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故選：A．
6．如圖，地面上有三條公路AB，BC，AC，要想在修建一個(gè)加油站方便三條公路上的車輛加油（到AB、BC、AC三條公路的距離相等），應(yīng)該把加油站修建在（　　）

A．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)
C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)
D．△ABC三條中線的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，同時(shí)加油站的位置到三條路距離相等，從而得到加油站修建在△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．
解：三角形中到三邊的距離相等的是三角形的內(nèi)心，即為三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．
故選：B．
7．如圖，BP、CP是△ABC的外角角平分線，若∠P＝60°，則∠A的大小為（　?。?br />
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．
【解答】證明：∵BP、CP是△ABC的外角的平分線，
∴∠PCB＝∠ECB，∠PBC＝∠DBC，
∵∠ECB＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠PCB+∠PBC＝（∠A+∠ABC+∠A+∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝60°，
故選：B．
8．如圖，AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，且點(diǎn)O到AB的距離OD＝2，△ABC的周長為28，則△ABC的面積為（　?。?br />
A．7 B．14 C．21 D．28
【分析】連接OC，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE＝OF＝OD＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
解：連接OC，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，

∵AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面積＝△AOC的面積+△AOB的面積+△BOC的面積
＝×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF
＝×（AB+AC+BC）×2
＝28．
故選：D．
9．如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則∠1與∠2的和為（　?。?br />
A．45° B．60° C．90° D．100°
【分析】首先證明△ABC≌△DFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠1＝∠BAC，再根據(jù)余角的定義可得∠BAC+∠2＝90°，再根據(jù)等量代換可得∠1與∠2的和為90°．
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故選：C．
10．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（　?。ヽm/s時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．

A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分①BD、PC是對(duì)應(yīng)邊，②BD與CQ是對(duì)應(yīng)邊兩種情況討論求解即可．
解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝×24＝12cm，
設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16﹣4t）cm
①當(dāng)BD＝PC時(shí)，16﹣4t＝12，
解得：t＝1，
則BP＝CQ＝4，
故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：4÷1＝4（cm/s）；
②當(dāng)BP＝PC時(shí)，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8cm，
∴t＝8÷4＝2．
故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為12÷2＝6（cm/s）．
故選：D．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為?。ī?，﹣2）?。?br /> 【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案．
解：點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），
故答案為：（﹣1，﹣2）．
12．如圖，點(diǎn)A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補(bǔ)充一個(gè)條件：　AB＝EF?。?br />
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AC∥DF，得∠A＝∠F，從而解決此題．
解：補(bǔ)充條件：AB＝EF．
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS）．
故答案為：AB＝EF．
14．已知等腰三角形的一個(gè)外角是70°，則它頂角的度數(shù)為　110°　．
【分析】三角形內(nèi)角與相鄰的外角和為180°，三角形內(nèi)角和為180°，等腰三角形兩底角相等，110°只可能是頂角．
解：等腰三角形一個(gè)外角為70°，那相鄰的內(nèi)角為110°，
三角形內(nèi)角和為180°，如果這個(gè)內(nèi)角為底角，內(nèi)角和將超過180°，
所以110°只可能是頂角．
故答案為：110°．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊AC上，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，且BE＝BC．若AD＝6cm，則CD的長為 　3　cm．

【分析】連接BD，根據(jù)HL證明Rt△BCD與Rt△BED全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
解：連接BD，

在Rt△BCD與Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD＝DE，
在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣60°＝30°，AD＝6cm，
∴DE＝3cm，
∴CD＝3cm，
故答案為：3．
16．如圖，任意畫一個(gè)∠BAC＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正確的結(jié)論為?、佗冖堍荨。ㄌ顚懶蛱?hào)）

【分析】由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù)，①正確；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，過點(diǎn)P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分線的性質(zhì)可知AP是∠BAC的平分線，②正確；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四邊形內(nèi)角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正確；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正確；即可得出結(jié)論．
解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正確；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
過點(diǎn)P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴AP是∠BAC的平分線，②正確；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD與△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正確；
在Rt△BHP與Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
兩式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正確；
沒有條件得出AD＝AE，③不正確；
故答案為：①②④⑤．

三、解答題（本題有9個(gè)小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計(jì)算步驟）
17．計(jì)算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2?x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
【分析】（1）先進(jìn)行積的乘方與冪的乘方的運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）利用同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
解：（1）（﹣3x3）2﹣x2?x4﹣（x2）3
＝9x6﹣x6﹣x6
＝7x6．
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a2x+y
＝a2x×ay
＝（ax）2×ay
＝（﹣2）2×3
＝4×3
＝12．
18．如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求證：AB＝CD．

【分析】由∠1＝∠2知∠AOB＝∠COD，再結(jié)合OA＝OC、OB＝OD，利用“SAS”判定△AOB≌△COD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【解答】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD，即∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，
∵，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
19．如圖，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度數(shù)；
（2）若AE＝5，△BCD的周長17，求△ABC的周長．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°列式求出∠BCD的度數(shù)；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，AB＝2AE，把△BCD的周長轉(zhuǎn)化為AC、BC的和，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠BCD＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°；

（2）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝10，
∵△BCD的周長＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝17，
∴△ABC的周長＝10+17＝27．
20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）在圖中畫出△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PC最?。?br /> （3）△ABC的面積為　5?。?br />
【分析】（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得；
（2）連接AC1，與直線l的交點(diǎn)即為所求；
（3）利用割補(bǔ)法求解可得．
解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．


（2）連接AC1，則AC1與l的交點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．

（3）△ABC的面積為3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，
故答案為：5．
21．如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分線AD．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積等于　15?。?br />
【分析】（1）利用基本作圖，作∠BAC的平分線即可；
（2）過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝3，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
解：（1）如圖，線段AD為所求；

（2）過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×3×10＝15．
故答案為15．
22．如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的高．
（1）若AD是邊BC上的中線，AE＝3cm，S△ABC＝6cm2，求DC的長；
（2）若AD是∠BAC的平分線，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，得＝6，得BC＝4．由AD是邊BC上的中線，得CD＝＝2（cm）．
（2）設(shè)∠B＝x，則∠C＝x+30°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝150°﹣2x．由AD是∠BAC的平分線，得∠BAD＝＝75°﹣x，那么∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．由AE是BC邊上的高，得∠AED＝90°，那么∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝15°．
解：（1）∵＝6，
∴×3＝6．
∴BC＝4．
∵AD是邊BC上的中線，
∴CD＝＝2（cm）．
（2）設(shè)∠B＝x，則∠C＝x+30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣（x+30°）＝150°﹣2x．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝＝75°﹣x．
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．
∵AE是BC邊上的高，
∴∠AED＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝180°﹣（75°+90°）＝15°．
23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC邊上的中線，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)D
（1）求證：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的長．

【分析】（1）由“AAS”可證△DBC≌△ECA，可得AC＝BC；
（2）由全等三角形的性質(zhì)和中線的性質(zhì)可求解．
【解答】證明：（1）∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC＝∠ACE＝∠AFC＝90°，
∵∠DCB+∠ACF＝90°，∠ACF+∠EAC＝90°，
∴∠DCB＝∠EAC，且DC＝AE，∠DBC＝∠ACE＝90°
∴△DBC≌△ECA（AAS）
∴AC＝BC
（2）∵AE是BC邊上的中線，
∴CE＝BE＝BC＝AC＝6cm，
∵△DBC≌△ECA
∴DB＝CE＝6cm
24．如圖1，D為等邊△ABC的邊AC上一點(diǎn)，E為直線AB上一點(diǎn)，CD＝BE．
（1）求證：△ADE是等邊三角形；
（2）如圖2，DE交CB于點(diǎn)P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的長．

【分析】（1）只要證明△ADE是等邊三角形即可；
（2）過點(diǎn)D作DQ∥AB，交BC于點(diǎn)Q，證△DQP≌△EBP（AAS），得QP＝BP，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
∵CD＝BE，
∴AB﹣BE＝AC﹣CD，
即AD＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△ADE是等邊三角形
（2）解：過點(diǎn)D作DQ∥AB，交BC于點(diǎn)Q，如圖2所示：
則∠CDQ＝∠A＝60°，∠CQD＝∠ABC＝60°，∠DQP＝∠EBP，
∴△DCQ是等邊三角形，
∴DQ＝CQ＝CD＝BE．
∵∠DPQ＝∠EPB，∠DQP＝∠EBP，
∴△DQP≌△EBP（AAS），
∴QP＝BP，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP＝90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠CPD＝30°，
∴CQ＝CD＝PC＝2，
∴QP＝PC﹣CQ＝2，
∴BP＝QP＝2．

25．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限作等腰Rt△ABC．

（1）如圖1，若OB＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ?。?，14）??；
（2）如圖2，若OB＝8，點(diǎn)D為OA延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰Rt△BDE，連接AE，求證：AE⊥AB；
（3）如圖3，以B為直角頂點(diǎn)，OB為直角邊在第三象限作等腰Rt△OBF，連接CF，交y軸于點(diǎn)P，求線段BP的長．
【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，可求解；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得BO＝DF＝8，OD＝EF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO＝45°，∠EAF＝∠AEF＝45°，可得結(jié)論；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO＝GC，AO＝BG＝4，再由“AAS”可證△CPG≌△FPB，可得PB＝PG＝4．
解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，

∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，
∴OH＝14，
∴點(diǎn)C（6，14），
故答案為：（6，14）；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，

∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°，
∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO＝DF＝8，OD＝EF，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），
∴OA＝OB＝8，
∴∠BAO＝45°，
∵OA＝DF＝8，
∴OD＝AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE；
（3）過點(diǎn)C作CG⊥y軸G，

由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝8，
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP＝GP，
∴BP＝BG＝4．



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