?專題05 方程與不等式概念與相關(guān)計算


知識導(dǎo)航



知識精講


考點1：等式與不等式性質(zhì)
1．等式的基本性質(zhì).
性質(zhì)①：若a=b,則a±m(xù)=b±m(xù);
性質(zhì)②：若a=b,則am=bm; 若a=b,則(d≠0).
2．不等式的基本性質(zhì)
（1）不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變.
（2）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.
（3）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號的方向改變.

【例1】寧寧同學(xué)拿了一個天平，測量餅干與糖果的質(zhì)量（每塊餅干的質(zhì)量都相同，每顆糖果的質(zhì)量都相同）
做了一下試驗．第一次：左盤放兩塊餅干，右盤放三顆糖果，結(jié)果天平平衡；第二次，左盤放一塊餅干和
一顆糖果，右盤放10克砝碼，結(jié)果天平平衡；第三次：左盤放一顆糖果，右盤放一塊餅干，下列哪一種方
法可使天平再度平衡（　?。?br /> A．左盤上加2克砝碼 B．右盤上加2克砝碼
C．左盤上加5克砝碼 D．右盤上加5克砝碼
【分析】根據(jù)第一個等式，可得1餅干與糖果的關(guān)系，根據(jù)第二個等式，可得1糖果的質(zhì)量，1餅干的質(zhì)量，再根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】解：①2餅干＝3糖果，1餅干＝1.5糖果，
②1餅干+1糖果＝10砝碼，把1餅干＝1.5糖果代入，得
1.5糖果+1糖果＝10砝碼，
1糖果＝4砝碼，
1餅干＝1.5糖果＝1.5×4＝6砝碼，
4砝碼+2砝碼＝6砝碼，
∴1糖果+2砝碼＝1餅干，
故選：A．
【例2】（2021·湖南常德市）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項進行判斷即可得到答案．
【詳解】
解：A.在不等式兩邊同時減去5，不等式仍然成立，即，故選項A不符合題意；
B. 在不等式兩邊同時除以-5，不等號方向改變，即，故選項B不符合題意；
C.當(dāng)c≤0時，不等得到，故選項C符合題意；
D. 在不等式兩邊同時加上c，不等式仍然成立，即，故選項D不符合題意；
故選：C．
方法技巧


1．運用等式的性質(zhì)的注意事項
（1）等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算.
（2）等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子.
（3）等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數(shù)或分母.
2．運用不等式的性質(zhì)注意以下要點：
（1）“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱.
（2）不等式的基本性質(zhì)：
① 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變;
② 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;
③ 不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.
針對訓(xùn)練


1．（2021·山東臨沂市）已知，下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別判斷即可．
【詳解】
解：∵a＞b，則
①當(dāng)a=0時，，故錯誤；
②當(dāng)a＜0，b＜0時，，故錯誤；
③若，則，即，故錯誤；
④若，則，則，故正確；
故選A．
2．下列判斷錯誤的是（　?。?br /> A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么
C．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】解：A、如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d，正確，故選項不符合題意；
B、如果a＝b，那么，正確，故選項不符合題意；
C、如果x＝3，那么x2＝3x，正確，故選項不符合題意；
D、當(dāng)x＝0時，不一定成立，故選項符合題意；
故選：D．

考點2：一次方程（組）概念與解法
1．一元一次方程的有關(guān)概念
（1）只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù),且a≠0).
（2）使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.
2．一元一次方程解法的一般步驟:
①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.
3．二元一次方程組的定義:形如和都是
4．二元一次方程組的解法:
① 用代入法解二元一次方程組的一般步驟:
a. 從方程組中任選一個方程,將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;
b. 將這個代數(shù)式代入另一個方程,消去一個未知數(shù),得到含有一個未知數(shù)的一元一次方程;
c. 解這個一元一次方程,求出一個未知數(shù)的值;
d. 將所求得的這個未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.
② 用加減法解二元一次方程組的一般步驟:
a. 方程組的兩個方程中,如果同一個未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊,使它們中同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);
b. 把兩個方程的兩邊分別相減或相加,消去一個未知數(shù),得到一個一元一次方程;
c. 解這個一元一次方程;
d. 將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中,求出另一個未知數(shù),從而得到方程組的解.

【例3】（2021·浙江溫州市）解方程，以下去括號正確的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】去括號得法則：括號前面是正因數(shù)，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號；括號前面是負(fù)因數(shù)，去掉括號和負(fù)號，括號里的每一項都變號．
【詳解】
解：
，
故選：D．
【例4】（2021·天津）方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用加減消元法解該二元一次方程組即可．
【詳解】
，
②-①得：，即，
∴．
將代入①得：，
∴．
故原二元一次方程組的解為．
故選B．
方法技巧


1．解一元一次方程的基本步驟.
①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)化為1.
2．解二元一次方程組關(guān)鍵在于熟練掌握用消元法和代入法
針對訓(xùn)練


1．（2021·廣東）二元一次方程組的解為___．
【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．
【詳解】
解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再將代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
2．（2021·重慶）方程的解是__________．
【分析】按照解一元一次方程的方法和步驟解方程即可．
【詳解】
解：，
去括號得，，
移項得，，
系數(shù)化為1得，，
故答案為：．

考點3：分式方程概念與解法
1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.
（2）常用方法：①去分母；②換元法.
（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.
（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.
（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.

【例5】（2021·廣東）方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：
去分母得：，
移項合并得：，
化系數(shù)為“1”得：，
檢驗，當(dāng)時，，
∴是原分式方程的解．
故選：D．
【例6】（2021·江蘇泰州市）解方程：+1＝．
【分析】先將分式方程化簡為整式方程，再求解檢驗即可．
【詳解】
解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），
（2）等式兩邊同時乘以（x-2）得2x+x-2=-5，
移項合并同類項得3x=-3，
系數(shù)化為1得x=-1
檢驗：當(dāng)x=-1時，x-2，
∴x=-1是原分式方程的解．
方法技巧


解分式方程的有關(guān)要點
（1）解分式方程的基本思想是要設(shè)法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.
（2）解分式方程時，方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根.
（3）分式方程的檢驗方法：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.
針對訓(xùn)練


1．（2021·湖北黃石市）分式方程的解是______．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：
去分母得：，
去括號化簡得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的根，
故填：．
2．（2021·江蘇南通市）解方程．
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗依次進行求解即可．
【詳解】
，
去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
則原方程的解為：．
考點4：一元二次方程概念與解法
1．一元二次方程
（1）概念:只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是二次,且系數(shù)不為0的整式方程,叫做一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項，a是二次項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意a≠0.
2．一元二次方程的解法
（1）基本思路:降次.
（2）方法:
① 直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是;?
② 配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,當(dāng)b2-4ac≥0時,用直接開平方法求解;?
③ 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為;?
④ 因式分解法:將方程右邊化為0,左邊化為兩個一次因式的積,令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程就得到原方程的解.

【例7】（2021·浙江麗水市）用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】
先把常數(shù)項移到方程的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方形式即可．
【詳解】
解：，
，
，
，
故選：D．
【例8】（2021·湖北十堰市）對于任意實數(shù)a、b，定義一種運算：，若，則x的值為________．
【分析】根據(jù)新定義的運算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【詳解】
解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案為：或2．
方法技巧


解答本考點的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握解一元二次方程的基本思路和步驟。注意以下要點：
（1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四種；
（2）求根公式法和因式分解法是最常用的兩種方法，重點在于掌握求根公式和因式分解的方法.
針對訓(xùn)練


1．（2021·山東棗莊市·中考真題）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個根，則的值為______．
【分析】
分4為等腰三角形的腰長和4為等腰三角形的底邊長兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．
【詳解】
解：由題意，分以下兩種情況：
（1）當(dāng)4為等腰三角形的腰長時，則4是關(guān)于的方程的一個根，
因此有，
解得，
則方程為，解得另一個根為，
此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；
（2）當(dāng)4為等腰三角形的底邊長時，則關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，
因此，根的判別式，
解得，
則方程為，解得方程的根為，
此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；
綜上，的值為8或9，
故答案為：8或9．
考點5：一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式是b2-4ac.
（1）當(dāng)b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;?
（2）當(dāng)b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;?
（3）當(dāng)b2-4ac

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