2023大理白族自治州高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含解析

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【考試時間：7月6日   08：00～10：00】2022～2023學(xué)年下學(xué)期大理州普通高中質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試卷（全卷四個大題，共22個小題，共4頁；滿分150分，考試用時120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號等在答題卡上填寫清楚，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的相關(guān)信息，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．3．非選擇題用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 設(shè)集合，，若，則的范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合數(shù)軸分析即可.【詳解】由數(shù)軸可得，若，則.故選：B.2. 下列哪個量刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度（    ）A. 眾數(shù) B. 平均數(shù) C. 方差 D. 中位數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方差的定義判斷即可.【詳解】方差（標(biāo)準(zhǔn)差）刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度.
故選：C3. 若為奇函數(shù)，則（    ）A. 1或 B. 1 C. 0 D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義得出參數(shù)值.【詳解】為奇函數(shù)，，.故選：D4. 若復(fù)數(shù)滿足，則關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（    ）A. 復(fù)數(shù)的實部為 B. 復(fù)數(shù)的虛部為C. 復(fù)數(shù)的模長為 D. 復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點在第一象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及模的計算公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)實部為，虛部為，故A正確，B錯誤；，故C錯誤；復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點為，位于第四象限，故D錯誤；故選：A5. 某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有85%的學(xué)生喜歡足球或游泳，70%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（    ）A. 15% B. 63% C. 67% D. 70%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運算即可．【詳解】由題意可得如下所示韋恩圖： 所求比例為：，故選：C6. 某校高一年級900名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，則該校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均值為（    ）  A. 121.2 B. 120.4 C. 119 D. 115【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)計算公式即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為,故選：B7. 將函數(shù)向右平移（）個單位長度后得到一個關(guān)于對稱的函數(shù)，則實數(shù)的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出的取值，即可得解.【詳解】因為，將函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)，由函數(shù)關(guān)于對稱，所以，所以，又，．故選：A.8. 如圖，已知正方形的邊長為2，，分別是，的中點，平面，且，則與平面所成角的正弦值為（    ）    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】連接、，且、分別交于、，證明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性質(zhì)有平面，最后根據(jù)線面角的定義計算相關(guān)長度即可.【詳解】如圖，連接、，且、分別交于、.因為四邊形是正方形，、分別為和的中點，故為的中點，因為平面，平面，所以平面，所以到平面的距離就是點到平面的距離.，即，平面，平面，，平面，平面平面平面平面，作交于點，因為平面，平面平面，平面，所以線段的長就是點到平面的距離.正方形的邊長為.平面，平面，所以，在中，，根據(jù)，有，得，因為，平面，所以的長即為點到平面的距離，，即與平面成角的正弦值為.故選：D.    二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9. 已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用線性運算的坐標(biāo)表示，求出的坐標(biāo)，再逐項分析判斷作答.【詳解】因為向量，，則，，因此，A錯誤，B正確；由，知C錯誤；，D正確.故選：BD10. 若，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式判斷A，由于無法確定、是否相互獨立及，即可判斷B、C、D.【詳解】因為，，所以，故A正確；由于無法確定、是否相互獨立，故無法確定的值，但是，故B錯誤；又，故C正確，D錯誤；故選：AC11. 下列說法錯誤的是（    ）A. 若角，則角為第二象限角B. 將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是C. 若角為第一象限角，則角也是第一象限角D. 在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖象有1個交點【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)象限角的概念判斷A，根據(jù)任意角的定義判斷B，利用特例判斷C，根據(jù)正弦、正切函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：因為，所以角為第一象限角，故A錯誤；對于B: 將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是，故B錯誤；對于C：若為第一象限角，則位于第三象限，故C錯誤；對于D：在內(nèi)，令，即，顯然，所以，則，，即無解，又與均為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以在內(nèi)，方程也無解，又，所以在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖象有1個交點，故D正確；故選：ABC12. 下列選項中，正確的有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)判斷B，利用基本不等式及對數(shù)的運算性質(zhì)判斷C，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得到，再令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：由于，，所以，則，故B正確；對于C：因為，又，所以，故C錯誤；對于D：，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，即，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知，則_______.【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值．【詳解】∵.故答案為：．14. 某校為了解高一年級學(xué)生的每周平均運動時間（單位：小時），采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)如下：性別抽樣人數(shù)樣本平均數(shù)男2012女3010則總樣本平均數(shù)是______．【答案】10.8【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)公式計算作答.【詳解】依題意，總樣本平均數(shù)是.故答案為：10.815. 已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，平面，,則其外接球的半徑為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面，底面為等邊三角形，可知球心的位置，利用勾股定理即可求解.【詳解】設(shè)H為底面正的中心，取中點，過點H作,且，連接,由于平面，所以平面,故,由于,所以四邊形為正方形，故，因此,因此為外接球的球心，如圖，設(shè)外接球的半徑為R，由題可知，則,故答案為：   16. 在中，為其外心，，若，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合外心的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，平方可得,由于為外心，所以，所以,故答案為：四、解答題．（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 如圖，角的頂點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，若點的坐標(biāo)為（其中）．  （1）求的值；（2）若將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到角，求的值．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義求得，再由平方關(guān)系求得作答.（2）根據(jù)給定條件得，利用兩角和正切公式求解作答．【小問1詳解】依題意，由三角函數(shù)定義得，且為第二象限的角，則，所以.【小問2詳解】由（1）知，，而，所以.18. 如圖，多面體中，四邊形為矩形，，．求證：  （1）平面平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先由矩形的性質(zhì)得到，從而證明平面，再證平面即可；（2）依題意可得，即可得到平面，從而得證.【小問1詳解】因為四邊形為矩形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為四邊形為矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.19. 一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有3個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是．求：（1）這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率；（2）這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈包括兩種情況，分別計算其概率，然后相加，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)事件為這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈，則，故這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率為.【小問2詳解】設(shè)事件為這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈，則這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到了2個紅燈的概率為，這名學(xué)生在上學(xué)途中遇到了3個紅燈的概率為，所以.故這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率為.20. 已知銳角的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,且，.若.（1）求；（2）若點滿足，求的長．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用二倍角正弦化簡作答.（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合余弦定理求出c，再利用數(shù)量積的運算律求解作答.【小問1詳解】在銳角中，由及正弦定理，得，而，即，則，所以.【小問2詳解】由（1）及余弦定理，得，即，而，解得，又，所以.21. 如圖，長方體中，，，，點是棱上一點．  （1）當(dāng)點在上移動時，三棱錐體積是否變化？若變化，說明理由；若不變，求這個三棱錐的體積；（2）當(dāng)點移動到中點時，求直線與成角余弦值．【答案】（1）體積不變，    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)計算可得；（2）設(shè)，取的中點，連接、，即可得到，從而得到直線與成角即為（或其補角），再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】三棱錐的體積不變，，．．【小問2詳解】當(dāng)點移動到中點時，設(shè)，取的中點，連接、，顯然為的中點，所以，所以直線與成角即為（或其補角），因為，，，所以，所以直線與成角的余弦值為.  22. 已知函數(shù)（為正常數(shù)），且．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用給定的函數(shù)值，求出參數(shù)作答.（2）由（1）求出函數(shù)在上的取值集合，再利用二次函數(shù)性質(zhì)分段討論在上取值集合作答.【小問1詳解】依題意，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，所以的解析式是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，而的值域為，則當(dāng)時，時，，函數(shù)在上的取值集合為，又恒成立，此時函數(shù)的值域為，因此，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，取值集合為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)的值域為，因此，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)值域問題，先求出每一段在各自對應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)值集合，再求出這些集合的并集即可.